第十四章偏导数和全微分 第十五章极值和条件极值 第十六章隐函数存在定理、函数相关 1.1 函数 第十七章含参变量的积分 访问主页 第十八章含参变量的广义积分 标题页 第十九章积分的定义和性质 第二十章重积分的计算及应用 第2页共340页 返回 第二十一章曲线积分和曲面积分的计算 全屏显示 关闭 第二十二章各种积分的联系和场论初步 退出
❦ 1.1. ➻ ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 2 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✶ ➏ ♦ Ù ➔ ✓ ê Ú ✜ ❻ ➞ ✶ ➏ ✃ Ù ✹ ❾ Ú ❫❻✹ ❾ ✶ ➏ ✽ Ù Û ➻ ê ⑧ ✸ ➼ ♥ ✦ ➻ ê ❷ ✬ ✶ ➏ Ô Ù ➵ë❈ þ ✛ ➮ ➞ ✶ ➏ ❧ Ù ➵ë❈ þ ✛ ✷ ➶ ➮ ➞ ✶ ➏ ✃ Ù ➮ ➞✛➼ ➶ Ú ✺ ➓ ✶ ✓ ➏ Ù ➢ ➮ ➞ ✛ ❖ ➂ ✾❆❫ ✶ ✓ ➏ ➌ Ù ➢ ❶ ➮ ➞ Ú ➢ → ➮ ➞ ✛ ❖ ➂ ✶ ✓ ➏ ✓ Ù ❼ ➠ ➮ ➞ ✛ é ❳ Ú ⑤ Ø Ð Ú
第二部分 多变量微分学 第十四章 偏导数和全微分 1.1. 雨数 §1.偏导数和全微分的概念 访问主页 一、偏导数的定义 标题页 对一元函数f(x),我们讨论了它关于的导数，也就是f(x)关于x的变化率.对于 多元函数，同样需要讨论它的变化率.但由于自变量的增多，情况较一元函 数复杂，常常要考虑各个方向的变化率对此，我们可以先考虑关于其中一 第3页共340页 个自变量的变化率.以二元函数ù=fx)为例，我们可以把看作y不变，这时它 返回 就是x的一元函数，对求x导，所得导数就称为二元函数(x,y)关于x的导数. 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 3 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✶✓Ü➞ õ❈þ❻➞➷ ✶➏♦Ù ➔✓êÚ✜❻➞ § 1. ➔✓êÚ✜❻➞✛❱❣ ➌✦➔✓ê✛➼➶ é➌✄➻êf(x),➲❶❄Ø✡➜✬✉✛✓ê,➃Ò➫f(x)✬✉x✛❈③➬.é✉ õ✄➻ê,Ó✘■❻❄Ø➜✛❈③➬.✂❞✉❣❈þ✛❖õ, ➐➵✖➌✄➻ ê❊✱,⑦⑦❻⑧➘❼❻➄➉✛❈③➬.é❞,➲❶➀➧❦⑧➘✬✉Ù➙➌ ❻❣❈þ✛❈③➬.➧✓✄➻êu=f(x)➃⑦,➲❶➀➧r✇❾yØ❈,ù➒➜ Ò➫x✛➌✄➻ê, é➛x✓,↕✚✓êÒ→➃✓✄➻êf(x,y)✬✉x✛✓ê
定义对函数u-f(x,y),如给x以增量△x,于是函数相应地得一改变量 △zu=f(x+△x,y)）-f(x,) △zu 若极限lim lim f亿+△x,)-f(工，边存在则此极限值就称为函 A元 △ 数f(x,y)在点(x,y)处关于x的偏导数，记为： 91.1. 雨数 也可记为 访问主页 f(z,)或uz(x,) 标题页 类似地，如果极限 “炒 lim f(x,y+△-f(x,) △x→0 △g 第4页共340页 存在，则此极限值就称为函数f(x,y)在点(x,y)处关于y的偏导数，记为： 返回 或 全屏显示 0y文∂列 关闭 也可记为 退出 f(工，或(a
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 4 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼➶ é➻êu-f(x,y),❳❽x➧❖þ∆x,✉➫➻ê❷❆✴✚➌❯❈þ ∆xu = f(x + ∆x, y) − f(x, y) ❡✹⑩ lim ∆x→0 ∆xu ∆x = lim ∆x→0 f(x + ∆x, y) − f(x, y) ∆x ⑧✸,❑❞✹⑩❾Ò→➃➻ êf(x,y)✸✿(x,y)❄✬✉x✛➔✓ê,P➃: ∂u ∂x➼ ∂f ∂x ➃➀P➃ fx(x, y)➼ux(x, y) ❛q✴,❳❏✹⑩ lim ∆x→0 f(x, y + ∆y) − f(x, y) ∆y ⑧✸,❑❞✹⑩❾Ò→➃➻êf(x,y)✸✿(x,y)❄✬✉y✛➔✓ê,P➃: ∂u ∂y➼ ∂f ∂y ➃➀P➃ fy(x, y)➼uy(x, y)
同样，对于二元以上的多元函数，例如u-u(x,y,z),当只有自变量变化x而 固定y,z,则 Ou =lim u(x+Ax,y,z)-u(x,y,z) 》11.函数 0x-△r0 △z 是u关于x的偏导数 由以上定义可见，求f(x,)只不过是在fx,y)中把y看作常数，而关于x求 访问主页 导数，这时用的就是一元函数的求导公式和运算法则 标题页 刚1气体的状态方程为)=管，讨论御关于V和T的偏导数 W炒 解在温度不变的等温过程中，压力关于体积的瞬时变化率为P, 广同样，在体积V不变的等容过程中，压力P关于温度T的圆 RT 第5页共340页 时变化率为p= RT 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 5 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Ó✘➜é✉✓✄➧þ✛õ✄➻ê➜⑦❳u-u(x,y,z)➜✟➄❦❣❈þ❈③x✌ ✛➼y,z,❑ ∂u ∂x = lim ∆x→0 u(x + ∆x, y, z) − u(x, y, z) ∆x ➫u✬✉x✛➔✓ê. ❞➧þ➼➶➀❸➜➛fx(x, y)➄Ø▲➫✸f(x,y)➙ry✇❾⑦ê➜✌✬✉x➛ ✓ê➜ù➒❫✛Ò➫➌✄➻ê✛➛✓ú➟Ú✩➂④❑. ⑦1 í◆✛●✕➄➜➃p = RT V ,❄Øp✬✉VÚT✛➔✓ê. ✮ ✸➜ÝØ❈✛✤➜▲➜➙➜Øå✬✉◆➮✛❪➒❈③➬➃pv = RT V V = − RT v 2 ;Ó✘, ✸◆➮VØ❈✛✤◆▲➜➙,Øåp✬✉➜ÝT✛❪ ➒❈③➬➃pt = RT V V = − R v
设在，)=y+2+求别8影#求0,1.1.0,102.0 0x'0则 解 时，把y看成常量，所以 求6时 ∂f =y+2x,fz(0,1)=1,fz(1,0)=2 访问主页 Ox 标题页 求时，把×看成常量，所以 炒 8y of 8y =x+3y2,f(0,2)=12,f(2,0)=2 第6页共340页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 6 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦2 ✗f(x, y) = xy+x 2+y 3 ,➛ ∂f ∂x, ∂f ∂y ,➾➛fx(0, 1), fx(1, 0), fy(0, 2), fy(2, 0) ✮ ➛ ∂f ∂x➒,ry✇↕⑦þ,↕➧ ∂f ∂x = y + 2x, fx(0, 1) = 1, fx(1, 0) = 2 ➛ ∂f ∂y➒,rx✇↕⑦þ,↕➧ ∂f ∂y = x + 3y 2 , fy(0, 2) = 12, fy(2, 0) = 2
例3设u=ln(x+y2+z3)求uz,u,uz 解三元函数的偏二数，是只有一个自变量变化而其余自变量看作常量时 函数的变化率，因此 1.1.雨数 1 2y 322 ++,=+2+=+2+2 由一元函数可二必定连续的结论可知，若f(x,y)在点(x,y)关于x(或y)可二， 访问主页 则fx,y)在点(x,y)关于x(或y)连续.不过要注意.此时并不能推出fx,y)关于 标题页 两个变量是连续的例如考虑下列函数 炒 第7页共340页 x2+7z2+2≠0 xy 返回 f(x,)= 0,x2+y2=0 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 7 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦3 ✗u = ln(x + y 2 + z 3 )➛ux, uy, uz ✮ ♥✄➻ê✛➔✓ê,➫➄❦➌❻❣❈þ❈③✌Ù④❣❈þ✇❾⑦þ➒ ➻ê✛❈③➬,Ï❞ ux = 1 x + y 2 + z 3 , uy = 2y x + y 2 + z 3 , uz = 3z 2 x + y 2 + z 3 ❞➌✄➻ê➀✓✼➼ë❨✛✭Ø➀⑧,❡f(x,y)✸✿(x,y)✬✉x(➼y)➀✓➜ ❑f(x,y)✸✿(x,y)✬✉x(➼y)ë❨.Ø▲❻✺➾. ❞➒➾Ø❯íÑf(x,y)✬✉ ü❻❈þ➫ë❨✛.⑦❳⑧➘❡✎➻ê f(x, y) = xy x 2 + y 2 , x2 + y 2 6= 0 0, x2 + y 2 = 0
由偏导数的定义知道 1函数 f(△x,0)-f(0,0) 0-0 f(0,0)=lim lim ≥0 △x→0 △x △x-0△x 同理可求得f,(0,0)=0,但在第四章中已经指出此函数当x→0，y→0时二 访问主页 标题页 炒 重极限不存在，因而它在(0,0)点是不连续的 第8页共340页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 8 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❞➔✓ê✛➼➶⑧✗ fx(0, 0) = lim ∆x→0 f(∆x, 0) − f(0, 0) ∆x = lim ∆x→0 0 − 0 ∆x = 0 Ó♥➀➛✚fy(0, 0) = 0,✂✸✶♦Ù➙➤➨➁Ñ❞➻ê✟x → 0, y → 0➒✓ ➢✹⑩Ø⑧✸,Ï✌➜✸(0,0)✿➫Øë❨✛
我们知道，如果一元函数在一点有导数，那么这导数就是函数所表示的曲线 在对应点的切线的斜率.由此可以推出，二元函数u=f(x,y)在一点(xo,o)的 偏导数有下面的几何意义（图14-1） u=f(x,y)的图形是空间中的曲面 M0(xo,0,o)=M(x0,0,f(z0,0) 31.1. 雨数 是曲面上的点当y=%时0=f(x,0),表示曲面上过点M6的一条曲线，它 是曲面u=fx,y)和平面y=6的交线，把它看作平面曲线其自变量是x,因变 访问主页 量是u,u关于x的导数f(x0,0)正好是曲线在点Mo的斜率，这样便得到曲线 标题页 在点Mo的一个切向量Tx,它在x轴和y轴上的坐标分别是1和f(x0,o),并且 它在平面y=0上，即曲线 第9页共340页 x=x,y=yo,u=f(x,y0) 返回 在点M6的切向量Tx为(1,0，f(x0,y0) 全屏显示 同样曲面和平面x=x0的交线x=x0,y=y,u=f(x0,)的切向 关闭 量T,为(0,1，f(x0,0) 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 9 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➲❶⑧✗,❳❏➌✄➻ê✸➌✿❦✓ê,❅♦ù✓êÒ➫➻ê↕▲➠✛➢❶ ✸é❆✿✛❷❶✛✒➬.❞❞➀➧íÑ, ✓✄➻êu=f(x,y)✸➌✿(x0, y0)✛ ➔✓ê❦❡→✛❆Û➾➶(ã14-1) u=f(x,y)✛ã✴➫➌♠➙✛➢→ M0(x0, y0, u0) = M0(x0, y0, f(x0, y0)) ➫➢→þ✛✿.✟y = y0➒u0 = f(x, y0),▲➠➢→þ▲✿M0✛➌❫➢❶,➜ ➫➢→u=f(x,y)Ú➨→y = y0✛✂❶,r➜✇❾➨→➢❶.Ù❣❈þ➫x,Ï❈ þ➫u,u✬✉x ✛✓êfx(x0, y0)✔Ð➫➢❶✸✿M0✛✒➬,ù✘❇✚✔➢❶ ✸✿M0✛➌❻❷➉þTx,➜✸x➯Úy➯þ✛❿■➞❖➫1Úfx(x0, y0),➾❹ ➜✸➨→y = y0þ,❂➢❶ x = x, y = y0, u = f(x, y0) ✸✿M0✛❷➉þTx➃(1, 0, f(x0, y0)) Ó ✘ ➢ → Ú ➨ →x = x0✛ ✂ ❶x = x0, y = y, u = f(x0, y)✛ ❷ ➉ þTy➃(0, 1, f(x0, y0))
全微分的定义 对一元函数y=f(z),我们曾研究过y关于x的微分，它具有两个特 性，即：①)它与自变量的改变量成比例，()当自变量的改变量趋于零 访问主页 时，它与函数的改变量之差是较自变量的改变量更高阶的无穷小 标题页 现在我们讨论多元函数的情形，例如，对二元函数=(x,)，我们也 从同样的思想出发，引进如下定义。 第10页共340页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✜❻➞✛➼➶ é➌✄➻ê y = f(x) ➜➲❶◗ï➘▲ y ✬✉ x ✛❻➞➜➜ä❦ü❻❆ ✺➜❂➭(i) ➜❺❣❈þ✛❯❈þ↕✬⑦➜(ii)✟❣❈þ✛❯❈þ➟✉✧ ➒➜➜❺➻ê✛❯❈þ❷☛➫✖❣❈þ✛❯❈þ➁♣✣✛➹→✂✧ ②✸➲❶❄Øõ✄➻ê✛➐✴➜⑦❳➜é✓✄➻ê u = f(x, y) ➜➲❶➃ ❧Ó✘✛❣➂Ñ✉➜Ú❄❳❡➼➶✧
定义若函数u=f(红，)的全改变量△u可表示为 1.1.雨数 △u=f(x+△x,y+△y)-f(x,)=A△x+B△y+o(V△x2+△y2) 访问主页 且其中A,B与△x,△y无关而仅与x,y有关，则称函数f(x,)在点(c,) 标题页 可微，并称A△x+B△y为f(x,)在点(z,)的全微分，记为du或 W炒 df(x,),即 du=df(x,y)=A△x+B△y 第11页共340页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 11 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼➶ ❡➻ê u = f(x, y) ✛✜❯❈þ ∆u ➀▲➠➃ ∆u = f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y) = A∆x + B∆y + o( p ∆x 2 + ∆y 2 ) ❹Ù➙ A, B ❺ ∆x, ∆y ➹✬✌❂❺ x, y ❦✬➜❑→➻ê f(x, y) ✸✿ (x, y) ➀❻➜➾→ A∆x + B∆y ➃ f(x, y) ✸✿ (x, y) ✛✜❻➞➜P➃ du ➼ df(x, y) ➜❂ du ≡ df(x, y) = A∆x + B∆y