第二章一阶微分方程的初等解法 教学目的：掌握能有初等解法的方程的类型及其求解的一般方法 §2.1变量分离方程与变量变换 教学目的：掌握变量分离方程和可化为变量分离方程的两种微分方程的求解。 2.1.1变量分离方程 形如： 盘oe 的方程称为变量分离方程，这里f(x),P(y)分别是x,y的连续函数。 求解方法： )如果y)≠0，则方程(2.转化为：0)=f(y)本 两边积分得到： 2). 因此，(2.2)是(2.1)的通解。 (2)如果存在。，使(%)=0，则y=%也是(2.1)的解，如包含在(2.2)中，则不必另写，若不包含 在(22)中，则必须补上。 如果是初值问题，则将初值条件代入求其特解 例1：解方程，会=)户Qox的适解以及满足初始条件)0=1的特解 解：若学0，则空=6s,两边积分得卧y=十。 1 (c为任意常数)，易知y=0也是方程 的解。此解并未包含在y= 中，所以，所求方程的适解为 sinx+c v=- ,(c为任意常数)及y=0。 sinx+c 第1页共21页
第 1 页 共 21 页 第二章 一阶微分方程的初等解法 教学目的：掌握能有初等解法的方程的类型及其求解的一般方法 §2.1 变量分离方程与变量变换 教学目的：掌握变量分离方程和可化为变量分离方程的两种微分方程的求解。 2．1．1 变量分离方程 形如： ( ) ( ) (2.1) dy f x y dx = 的方程称为变量分离方程，这里 f x y ( ), ( ) 分别是 x y, 的连续函数。 求解方法： （1）如果 ( y) 0 ，则方程 (2.1) 转化为： ( ) ( ) dy f x dx y = ， 两边积分得到： ( ) ( ) (2.2) dy f x dx c y = + ， 因此， (2.2) 是 (2.1) 的通解。 （2）如果存在 0 y ，使 ( y0 ) = 0 ，则 0 y y = 也是 (2.1) 的解，如包含在 (2.2) 中，则不必另写，若不包含 在 (2.2) 中，则必须补上。 如果是初值问题，则将初值条件代入求其特解。 例 1：解方程： 2 cos dy y x dx = 的通解以及满足初始条件 y(0 1 ) = 的特解。 解：若 y 0 ，则 2 cos dy xdx y = ，两边积分得到： 1 sin y x c = − + （ c 为任意常数），易知 y = 0 也是方程 的解。此解并未包含在 1 sin y x c = − + 中，所以，所求方程的通解为 1 sin y x c = − + （ c 为任意常数）及 y = 0
将0-1代入得到y1一n为所我。或可以转化为定积分亭-cos1由来求解。 1 例2：求解微分方程(x2+1(y2-1)在+)=0，并作出积分曲线族的草图 解：当因子x(y2-)≠0时，用它除以方程的两端即得到等价的方程 +=0 再积分上得到+n+a-小C,差少-小，亦即yc兮，共中 C=±e9≠0. 当因子x(y2-1)=0时，得x=0和y=士1是方程的两个特解，当C=0时y=1包含在通解之中， 但x=0未包合其中，所以。方程的适积分为>户=1+C其中c为任意常数，以及方程的特解=0。 从原微分方程发，发从方程虫三_仁+儿-》出发，可以作出积分自线的大致国形。 dx y 2.1.2可化为变量分离方程的类型 （1)形如： 产-s周 的方程称为齐次方程，这里g(u)是u的函数 解法：令 w=(2) 则y=心于是， 将(2.3)(2.4)代入原方程得到： 安+u=g间 整理后为： 密 第2页共21页
第 2 页 共 21 页 将 y(0 1 ) = 代入得到 1 1 sin y x = − 为所求。或可以转化为定积分 2 1 0 cos y x dy t dt y = 来求解。 例 2：求解微分方程 ( )( ) 2 2 x y dx xydy + − + = 1 1 0 ，并作出积分曲线族的草图。 解：当因子 ( ) 2 x y − 1 0 时，用它除以方程的两端即得到等价的方程 2 2 1 0 1 x y dx dy x y + + = − 再积分上式，得到 2 2 2 1 x x y C + + − = ln ln 1 ，推出 2 2 2 1 1 x C x e y e − = ，亦即 2 2 2 1 x e y C x − = + ，其中 1 0 C C e = . 当因子 ( ) 2 x y − = 1 0 时，得 x y = = 0 1 和 是方程的两个特解，当 C = 0 时 y =1 包含在通解之中， 但 x = 0 未包含其中，所以，方程的通积分为 2 2 2 1 x e y C x − = + 其中 c 为任意常数，以及方程的特解 x = 0 。 从原微分方程出发，或从方程 ( )( ) 2 2 dy x y 1 1 dx xy + − = − 出发，可以作出积分曲线的大致图形。 2．1．2 可化为变量分离方程的类型 （1）形如： dy y g dx x = 的方程称为齐次方程，这里 g u( ) 是 u 的函数。 解法：令 (2.3) y u x = ， 则 y ux = 于是， (2.4) dy du x u dx dx = + ， 将 (2.3 2.4 )( ) 代入原方程得到： ( ) du x u g u dx + = ， 整理后为： du g u u ( ) dx x − =
为变量代换型。这样求解的最根本的原因是：如果微分方程： M(x,y)k+N(x,y)y=0(*) 中的函数M(x,y)和N(x,)都是x和y的同次（如m次）函数，即 M(红，y)=tM(x,y),N(,y)=tN(x,y),则称方程(*)为齐次方程。然而，对于齐次方程($)，标 准的变量替换是y=心，其中山为未知函数，x仍为自变量，故将y=心代入方程()，就得 x[M(,4)+N(,4)]+xN(L,4）du=0, 这是一个变量分离方程。 例2：求解方程：x吹+2厅=(x0), 此外u=0也是方程(2.5)的解，且不包含在通解中。代回到原来的变量，即得原方程的通解 y=x[ln(-x)+c](n(-x)+c>0)及其y=0. 或可以对称地表达为 x[In(-x)+cT In(-x)+c>0 y= 0 ln(-x)+c≤0 （2)形知少=+1长，这里4,4，4,66，均为常数。 dx ax+by+cz 分三种情祝讨论：①G=G2=0的情形。 第3页共21页
第 3 页 共 21 页 为变量代换型。这样求解的最根本的原因是：如果微分方程： M x y dx N x y dy ( , , 0 ) + = ( ) ( ) 中 的 函 数 M x y ( , ) 和 N x y ( , ) 都 是 x 和 y 的 同 次 （ 如 m 次 ） 函 数 ， 即 ( , , , , , ) ( ) ( ) ( ) m m M tx ty t M x y N tx ty t N x y = = ，则称方程 () 为齐次方程。然而，对于齐次方程 () ，标 准的变量替换是 y ux = ，其中 u 为未知函数， x 仍为自变量，故将 y ux = 代入方程 () ，就得 ( ) ( ) ( ) 1 1, 1, 1, 0 m m x M u uN u dx x N u du + + + = ， 这是一个变量分离方程。 例 2：求解方程： 2 0 ( ) dy x xy y x dx + = 解：将原方程改写为： 2 0 ( ) dy y y x dx x x = − + ， 令 y u x = ，代入得到 2 2.5 ( ) 2 du du dx x u dx x u = − = − （当 u 0 时） 两边积分得通解： u x c = − + ln ( ) ，（ c 为任意常数），即 ( ) ( ( ) ) 2 u x c x c = − + − + ln ln 0 ， 此外 u = 0 也是方程 (2.5) 的解，且不包含在通解中。代回到原来的变量，即得原方程的通解 ( ) ( ( ) ) 2 y x x c x c = − + − + ln ln 0 及其 y = 0。 或可以对称地表达为 ( ) ( ) ( ) 2 ln ln 0 0 ln 0 x x c x c y x c − + − + = − + （2）形如 1 1 1 2 2 2 dy a x b y c dx a x b y c + + = + + ，这里 1 2 1 2 1 2 a a b b c c , , , , , 均为常数。 分三种情况讨论：① 1 2 c c = = 0 的情形
事实上：少-+6如。4+6 ”kar+6ya,+6 是=8因此只要作安装子，则方起我化为支量分尚方配。 ②8A=0,即马=点的情形， la:b. 不妨令马=久=k,则方程可化为 a b. 西ka,x+b月t=fa,x+b) ax+by+c: 令ax+y=,则方程化为密-4+A回是安最分离方是 ③只A±0，及G,9不全为零的情形. a 联立方程ar+4y+G=0 ax+y+G=0求解方程组的交点（位，），易知a,B不同时为。作变换=- Y=y-B 原方程化为 -假) dY_ax+bY_ 再利用变量代换即可求解。 例3：求解方程：少=-y+1 dxx+y-3 解，解方程组-+1=0 d I+u 即y=u此，化方程为受-2”7血，两边积分.智h产=-nr+2-+2 因此，X2(u2+2u-)=±e令±e=G,并回代原变量就得y2+2X灯-X2-G (y-2）+2(x-1)(0y-2)-(x-1)=c 容易验证W+21-1=0,即：Y2+2XW-X2=0也是方程的解，显然包含在Y2+2XW-X2=G中 故方程的通解为 y2+2y-x2-6y-2x=c, 其中c为任意常数。 第4页共21页
第 4 页 共 21 页 事实上： 1 1 1 1 2 2 2 2 y a b dy y a x b y x g dx a x b y x y a b x + + = = = + + ，因此只要作变换 y u x = ，则方程就化为变量分离方程。 ② 1 1 1 1 2 2 2 2 0, a b a b a b a b = = 即 的情形， 不妨令 1 1 2 2 a b k a b = = ，则方程可化为 ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 dy k a x b y c f a x b y dx a x b y c + + = = + + + 令 2 2 a x b y u + = ，则方程化为 2 2 ( ) du a b f u dx = + 是变量分离方程。 ③ 1 1 2 2 0, a b a b 及 1 2 c c, 不全为零的情形。 联立方程 1 1 1 2 2 2 0 0 a x b y c a x b y c + + = + + = 求解方程组的交点 ( , ) ，易知 , 不同时为零。作变换 X x Y y = − = − 原方程化为 1 1 2 2 dY Y a X bY g dX a X b Y X + = = + 再利用变量代换即可求解。 例 3：求解方程： 1 3 dy x y dx x y − + = + − 解：解方程组 1 0 3 0 x y x y − + = + − = 得 x y = = 1, 2 ，令 1 2 x X y Y = + = + 代入方程有 dY X Y dX X Y − = + 再令 Y u X = ， 即 Y uX = ，化方程为 2 1 1 2 dX u du X u u + = − − ，两边积分，得 2 2 ln ln 2 1 X u u c = − + − + 因此， ( ) 2 2 2 1 c X u u e + − = 令 1 = e c ，并回代原变量就得 2 2 1 Y XY X c + − = 2 ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 y x y x c − + − − − − = 2 2 1 2 1 ， 容易验证 2 u u + − = 2 1 0 ，即： 2 2 Y XY X + − = 2 0 也是方程的解，显然包含在 2 2 1 Y XY X c + − = 2 中 故方程的通解为 2 2 y xy x y x c + − − − = 2 6 2 ， 其中 c 为任意常数
注：有些方程需要变形后成为上述形式。 例4、求解微分方程少。2+32+ do 3x'y+2y-y 解：将原方程变形为-2x+3y+1-2x2+392+1dy+)_2(x2-+30>+ xk3x+2y2-13x2+2y2-1dx2-1）3(x2-1）+2(y+ 令y=护+1，X=-1,2X+ dx3X+2Y ,就可化为与例2一样的情形求解（略） 上述方法还可以应用于更一般的方程。例如： 0盘-a++e小含m+*e=→盘=a+b要-密=o创+a 恤gow-0.+会-会会-f8 会，◆w=y4盗密会f间-u m))◆=-2m+安到2+密 (v)M(x,y)(t+)+N(x,y)(x-J)=0,其中M,N为x,y的齐次函数，不妨设M是m次， 成为盘 2.1.3应用举例 例5探照灯反射镜面的形状 在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线水平反射出去，以保证探照灯有良好的 方向性，试求反射镜面的几何形状。 解：取光源所在处为坐标原点，而x轴平行于光的反射方向，如图，设所求曲面由曲线=儿因 ==0 绕x轴旋转而成，则求反射镜面的问题归结为求y平面上的曲线y=f(x)的问题。过曲线y=f(x)上 任意一点M(x,y)作切线NT,则由光的反射定律：入射角=反射角，推得=2,从而OM=ON 又因为盘m4-及0A=X个=O-F+了行到酒致y=)所位清足的分 方程式 1 本x++F 为了求解方便该方程亦可以表达为 第5页共21页
第 5 页 共 21 页 注：有些方程需要变形后成为上述形式。 例 4． 求解微分方程 3 2 2 3 2 3 3 2 dy x xy x dx x y y y + + = + − 解：将原方程变形为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 3 1 1 2 1 3 1 3 2 1 3 2 1 1 3 1 2 1 ydy x y dy x y d y x y xdx x y dx x y d x x y + + + + + − + + = = = + − + − − − + + 令 2 2 Y y X x = + = − 1, 1 ，得 2 3 3 2 dY X Y dX X Y + = + ，就可化为与例 2 一样的情形求解（略） 上述方法还可以应用于更一般的方程。例如： （i） ( ) dy f ax by c dx = + + ，令 ( ) du dy du ax by c u a b bf u a dx dx dx + + = = + = + （ii） yf xy dx xg xy dy ( ) + = ( ) 0 ，令 ( ) ( ) 1 dy du du u f u xy u y x dx dx dx x g u = + = = − （iii） ( ) 2 dy x f xy dx = ，令 ( ) dy du du xy u y x x f u u dx dx dx = + = = − （iv） 2 dy y xf dx x = ，令 2 2 2 y dy du u xu x x dx dx = = + ，得到 2 ( ) du u x f u dx + = （v） M x y xdx ydy N x y xdy ydx ( , , 0 )( + + − = ) ( )( ) ，其中 M N, 为 x y, 的齐次函数，不妨设 M 是 m 次， N 是 n 次，变形为： ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , dy M x y x N x y y dx N x y x M x y y + = − 2．1．3 应用举例 例 5 探照灯反射镜面的形状 在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线水平反射出去，以保证探照灯有良好的 方向性，试求反射镜面的几何形状。 解：取光源所在处为坐标原点，而 x 轴平行于光的反射方向，如图，设所求曲面由曲线 ( ) 0 y f x z = = 绕 x 轴旋转而成，则求反射镜面的问题归结为求 xy 平面上的曲线 y f x = ( ) 的问题。过曲线 y f x = ( ) 上 任意一点 M x y ( , ) 作切线 NT ，则由光的反射定律：入射角＝反射角，推得 1 2 = ，从而 OM ON = ， 又因为， 2 tan dy MP dx NP = = 及 2 2 OP x MP y OM x y = = = + , , 得到函数 y f x = ( ) 所应满足的微分 方程式 2 2 dy y dx x x y = + + ， 为了求解方便该方程亦可以表达为
d小yy 令广，化为支量分离方程求解。 例6已知p()是定义在-0<x<+o上的连续函数，p'(O)存在，且满足p(1+s)=p()p(s) 求此函数p(d)。 解：令s=0代入方程p(t+s）=p(t)p(s）,得到p(t=p(t)p(0),即p(t=0或p(0)=1 显然，p(=0是满足题意条件。当(≠0时，有p(0)=1成立。 所u0=gt+p0=g0Io8-」-go0o-oo1-p0po 即得，o0=p0ah→p0=ce,由于p(0)=l,所以，o0=e 01) 作业P31:2、3、5、6、8、12、13、15、17、18、19、20、21. $2.2线性方程与常数变易法 教学目的：熟练掌握用常数变易法求线性方程的方法。正确理解常数变易法的思想方法。 1.一阶线性微分方程： 称形如： 密-Pey+Q倒e, 其中P(x),2(x)在区间I=(a,b)上连续，为一阶线性微分方程。当Q(x)=0时，(2.6)变为 盘-Pe少（仁7）为价木次线性方起，布Q)20.搭为价济次线性方。 2。线性方程的性质： 性质1齐次线性方程(27)的解或者恒等于零，或者恒不等于零。 性质2线性方程的解是整体存在的。 性质3齐次线性方程(27)的任何解的线性组合仍是它的解：齐次线性方程(2.7)的任何解与非齐次 线性方程(2.6)的任一解之和是非齐次线性方程(2.6)的解：非齐次线性方程(2.6)的任意两解之差是 第6页共21页
第 6 页 共 21 页 2 2 2 sgn 1 dx x x x x y y dy y y y + + = = + + ， 令 x v y = ，化为变量分离方程求解。 例 6 已知 (t) 是定义在 − + x 上的连续函数， (0) 存在，且满足 (t s t s + =) ( ) ( ) 求此函数 (t)。 解：令 s = 0 代入方程 (t s t s + =) ( ) ( ) ，得到 (t t ) = ( ) (0) ，即 (t) = 0 或 (0 1 ) = 显然， (t) = 0 是满足题意条件。当 (t) 0 时，有 (0 1 ) = 成立。 所以： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 0 lim lim lim 0 s s s t s t t s t s t t s s s → → → + − − − = = = = 即得： ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0 d t t dt t ce t = = ，由于 (0 1 ) = ，所以， ( ) (0)t t e = 作业 P31：2、3、5、6、8、12、13、15、17、18、19、20、21. §2.2 线性方程与常数变易法 教学目的：熟练掌握用常数变易法求线性方程的方法。正确理解常数变易法的思想方法。 1．一阶线性微分方程： 称形如： ( ) ( ) (2.6) dy P x y Q x dx = + ， 其中 P x Q x ( ), ( ) 在区间 I a b = ( , ) 上连续， 为一阶 线性 微分方 程。当 Q x( ) 0 时， (2.6) 变为 ( ) (2.7) dy P x y dx = 称为一阶齐次线性方程，若 Q x( ) 0，(2.6) 称为一阶非齐次线性方程。 2．线性方程的性质： 性质 1 齐次线性方程 (2.7) 的解或者恒等于零，或者恒不等于零。 性质 2 线性方程的解是整体存在的。 性质 3 齐次线性方程 (2.7) 的任何解的线性组合仍是它的解；齐次线性方程 (2.7) 的任何解与非齐次 线性方程 (2.6) 的任一解之和是非齐次线性方程 (2.6) 的解；非齐次线性方程 (2.6) 的任意两解之差是
齐次线性方程(2.7)的解。 性质4齐次线性方程(27）的通解与非齐次线性方程(2.6)的任一特解之和构成非齐次线性方程 (2.6)的通解。 性质5线性方程初值问题的解是存在且唯一的。 3.一阶线性微分方程的解 对于(2.7)可用分离变量法求得通解为 y=ce地(2,8)(c是任意常数 对于(2.6)可用常数变易法求解。常数变易法的思路：令其解为 y=c(x)(2.9) 微分得到 de(()p()(2.10). dx dx 将(2.9)(2.10)代入(2.6)得到 d因。ne+c问)P)en=Pce)ee+Q(). r 整理得： ()2()e 积分后得到： c)=e(dr+c(21)） 这里c是任意常数，将(2.1山)代入(2.9)得到 y=e*（e(x)edk+(2.12) 是方程(2.6)的通解。 这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。 创1.求程会2，的适 第7页共21页
第 7 页 共 21 页 齐次线性方程 (2.7) 的解。 性质 4 齐次线性方程 (2.7) 的通解与非齐次线性方程 (2.6) 的任一特解之和构成非齐次线性方程 (2.6) 的通解。 性质 5 线性方程初值问题的解是存在且唯一的。 3．一阶线性微分方程的解 对于 (2.7) 可用分离变量法求得通解为 ( ) (2.8) P x dx y ce = （ c 是任意常数） 对于 (2.6) 可用常数变易法求解。常数变易法的思路：令其解为 ( ) ( ) (2.9) P x dx y c x e = 微分得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.10) dy dc x P x dx P x dx e c x P x e dx dx = + ， 将 (2.9 2.10 )( ) 代入 (2.6) 得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dc x P x dx P x dx P x dx e c x P x e P x c x e Q x dx + = + ， 整理得： ( ) ( ) dc x P x dx ( ) Q x e dx − = 积分后得到： ( ) ( ) ( ) (2.11) P x dx c x Q x e dx c − = + 这里 c 是任意常数，将 (2.11) 代入 (2.9) 得到 ( ) ( ) ( ) (2.12) P x dx P x dx y e Q x e dx c − = + 是方程 (2.6) 的通解。 这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。 例 1．求方程 2 dy y dx x y = − 的通解
解：原方程不是未知函数)y的线性方程，但我们将它改写为：止-2x-y,把x看成未知函数，这样该 少y 方程就是一个线性方程，即可求得它的通解为x=y(c-ny）,其中c为任意常数。 注：(1)为了确定起见，通常把通解(2.12)中的不定积分写成变上限积分的定积分，即 y=e同e式s+dse,®y=ae+ee(6e) 利用这种形式，容易得到初值问题： 少=P(y+Q()y()=。的解为： y=ye+(s)d） 其中P(x),Q(x)在区间1上连续。 (2)在求解微分方程时，应注意形式的变通。 例2.设微分方程 盘+=) 其中a>0为常数，而f(x)是以2π为周期的连续函数，试求方程(2.13)的2π周期解。（略去不讲》 解：易写出(2.13)的通解 y(x)=ce+["ef(s)ds (2.14). 现在选择常数c,使y(x)成为2π周期函数。即 y(x+2π)=y(x)(2.15) 要证(2.14)对所有的x成立，只需对某一特定的x成立，即只要求 y(2π)=y(0)(2.16) 事实上，因为y(x)是(2.13)的解，y(x+2)也是(2.13)的解，令(x)=y(x+2π)-y(x),则 y=(x)是相应齐次方程的解，如果(2.16)成立，则u(x)满足初始条件4(0)=0，将(2.14)代入(2.16) 得到6=一。一付达国代到1用.成得到所求2x周期解y=,在利用了句的期。 第8页共21页
第 8 页 共 21 页 解：原方程不是未知函数 y 的线性方程，但我们将它改写为： dx 2 x y dy y = − ，把 x 看成未知函数，这样该 方程就是一个线性方程，即可求得它的通解为 ( ) 2 x y c y = − ln ，其中 c 为任意常数。 注：（1）为了确定起见，通常把通解 (2.12) 中的不定积分写成变上限积分的定积分，即 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 x s x x P t dt P t dt x x y e Q s e ds c x I − = + ，或 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x x x s P t dt x P t dt x y ce Q s e ds x I = + 利用这种形式，容易得到初值问题： ( ) ( ) ( 0 0 ) dy P x y Q x y x y dx = + = 的解为： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 x x x s P t dt x P t dt x y y e Q s e ds x I = + 其中 P x Q x ( ), ( ) 在区间 I 上连续。 （2）在求解微分方程时，应注意形式的变通。 例 2．设微分方程 ( ) (2.13) dy ay f x dx + = ， 其中 a 0 为常数，而 f x( ) 是以 2 为周期的连续函数，试求方程 (2.13) 的 2 周期解。（略去不讲） 解：易写出 (2.13) 的通解 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2.14 x ax a x s y x ce e f s ds − − − = + ， 现在选择常数 c ，使 y x( ) 成为 2 周期函数。即 y x y x ( + = 2 2.15 ) ( ) ( ) ， 要证 (2.14) 对所有的 x 成立，只需对某一特定的 x 成立，即只要求 y y (2 0 2.16 ) = ( ) ( ) 事实上，因为 y x( ) 是 (2.13) 的解， y x( + 2 ) 也是 (2.13) 的解，令 u x y x y x ( ) = + − ( 2 ) ( ) ，则 y u x = ( ) 是相应齐次方程的解，如果 (2.16) 成立，则 u x( ) 满足初始条件 u(0 0 ) = ，将 (2.14) 代入 (2.16) 得到 ( ) 0 2 2 1 1 as a c e f s ds e − − = − 回代到 (2.14) ，就得到所求 2 周期解 y y x = ( ) ，在利用 f x( ) 的周期性
可以简化为 ()()ds 4,伯努利(Bernoulli)方程 形如： 惠-P+er2n) 的方程，称为伯努利(Bernoul1i)方程，这里P(x),Q(x)为x的连续函数，n≠O,1是常数 利用变量代换可将伯努利方程化为线性方程，事实上当y≠0时，用y"乘(2.17)的两边，得到 广盘广P)Q,入变量代类，从后会-小少空代入原方程变形为 =1-m)P(x):+-m)Q() dx 此方程为线性方程，可以求其通解，当n>0时，y=0是它的解。 制出表方和会=6生一灯的适银， 解：令：=八则去-少会代入眼方程得到会兰，它的道解为：学+号 回代原方程得到艺-。=c是原方程的通解，此外还有解)=0： y 8 补充：里卡蒂方程 假如价微分方程：安=化列的右端商数化)是一个关于)的=次多项式，则称比方程为 二次方程，它可以写成如下形式： 密=pr+g+r因18. 其中函数p(x),q(x)和r(x)在区间I上连续，而且p(x)不恒为零，方程(2.18)称作里卡蒂(Riccati 1676-1754)方程。 这己是形式最简单的非线性方程，但是，一般而言，它己不能用初等积分方法求解，对一些特殊类型 的里卡蒂方程我们有以下初等变换的技巧。 定理1已知里卡蒂方程的一个特解y=(x),则可用积分法求得它的通解。 证明：对方程(2.18)作变换y=u+p(x),其中u是新的未知函数，代入方程(2.18)，得到 会会-p[+2m国加+小由于-p(闭是因，从上式清去相美线 以后，或有，密-[2(a间+9小+p,这是一个台务科方积真可以按上述方法求解。 第9页共21页
第 9 页 共 21 页 可以简化为 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 x a x s a x y x e f s ds e + − − = − 4．伯努利（Bernoulli）方程 形如： ( ) ( ) (2.17) dy n P x y Q x y dx = + 的方程，称为伯努利（Bernoulli）方程，这里 P x Q x ( ), ( ) 为 x 的连续函数， n 0,1 是常数。 利用变量代换可将伯努利方程化为线性方程，事实上当 y 0 时，用 n y − 乘 (2.17) 的两边，得到 ( ) ( ) n n dy 1 y y P x Q x dx − − = + ，引入变量代换， 1 n z y − = ，从而 (1 ) dz dy n n y dx dx − = − 代入原方程变形为 (1 1 ) ( ) ( ) ( ) dz n P x z n Q x dx = − + − 此方程为线性方程，可以求其通解，当 n 0 时， y = 0 是它的解。 例 4：求方程 2 6 dy y xy dx x = − 的通解。 解：令 1 z y − = ，则 dz dy 2 y dx dx − = − ，代入原方程得到 dz 6 z x dx x = − + ，它的通解为 2 6 8 c x z x = + 回代原方程得到 6 8 8 x x c y − = 是原方程的通解，此外还有解 y = 0。 补充：里卡蒂方程 假如一阶微分方程： ( , ) dy f x y dx = 的右端函数 f x y ( , ) 是一个关于 y 的二次多项式，则称此方程为 二次方程，它可以写成如下形式： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2.18 dy p x y q x y r x dx = + + ， 其中函数 p x q x ( ), ( ) 和 r x( ) 在区间 I 上连续，而且 p x( ) 不恒为零，方程 (2.18) 称作里卡蒂（Riccati 1676-1754）方程。 这已是形式最简单的非线性方程，但是，一般而言，它已不能用初等积分方法求解，对一些特殊类型 的里卡蒂方程我们有以下初等变换的技巧。 定理 1 已知里卡蒂方程的一个特解 y x = ( ) ，则可用积分法求得它的通解。 证明：对方程 (2.18) 作变换 y u x = + ( ) ，其中 u 是新的未知函数，代入方程 (2.18) ，得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 du d p x u x u x r x dx dx + = + + + ，由于 y x = ( ) 是 (2.18) 的解，从上式消去相关的项 以后，就有， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 du p x x q x u p x u dx = + + ，这是一个伯努利方程，就可以按上述方法求解
定理2设里卡蒂方程少+a=bx”(亿，19)，其中a≠0,6，m都是常数，又设x≠0和y≠0，则当 0-之2”收=2-时，方程219)可以通过适当的支换化为夜量分离的方 -4k 6解防程①y=-少 解①由方程可知)y=公是方程的一个特解。作变换)=+ 1 -,代入方程得到： 一京-P生}京·整理得路-兰方程两道时豫以有到 但.e小 dx x u 1 1 所以，-xn时+G,故原方程的解为y2x十xn可+G 练习：求解微分方程y=y2-x2-1 解：由方程可知，y=-x是方程的一个解，作变换y=u-x可知，d-1=2-2r+x2-x2-1 即：=-2，从西化为白务利方程两动同晚以心得到兰=-吾+1→品 [ef+小e[时r+d小从w7e-jer 所以聚方程的解严子c-E内 作业：P374、6、7、8、10、11、13、14、15、16、17、22 §2.3恰当方程与积分因子 教学目的：会求解恰当方程，掌握求积分因子的方法。 1.恰当方程的定义： 考虑对称形式的一阶微分方程 M(x,y)k+N(x,y)=0(220) 第10页共21页
第 10 页 共 21 页 定理 2 设里卡蒂方程 ( ) 2 2.19 dy m ay bx dx + = ，其中 a b m 0 , , 都是常数，又设 x 0 和 y 0 ，则当 ( ) 4 4 0, 2, , 1,2, 2 1 2 1 k k m k k k − − = − = + − 时，方程 (2.19) 可以通过适当的变换化为变量分离的方程。 例 5 解方程 （1） 2 2 1 4 y y x = − − 解 （1）由方程可知 1 2 y x = 是方程的一个特解，作变换 1 2 y u x = + ，代入方程得到： 2 2 2 2 1 1 1 2 4 4 u u u x x x x − = − + + − ，整理得到： 2 u u u x = − − ，方程两边同除以 2 u 得到 2 1 1 1 1 1 1 d u u u ux dx x u = − − = + ，从而求得： 1 1 1 1 ln dx dx x x e e dx c x dx c x x cx u x − = + = + = + 所以， 1 ln u x x cx = + ，故原方程的解为 1 1 2 ln y x x x cx = + + 练习：求解微分方程 2 2 y y x = − −1 解：由方程可知， y x = − 是方程的一个解，作变换 y u x = − 可知， 2 2 2 u u ux x x − = − + − − 1 2 1 即： 2 u u ux = − 2 ，从而化为伯努利方程，两边同除以 2 u 得到， 2 1 2 1 1 2 1 d u x u x u u dx u = − + = − 1 2 2 xdx xdx 2 2 x x e e dx c e e dx c u − − = − + = − + ，从而 2 2 1 x x u e c e dx − = − ， 所以原方程的解为： 2 2 1 x x y x e c e dx − = − − 作业： P37 4、6、7、8、10、11、13、14、15、16、17、22 §2.3 恰当方程与积分因子 教学目的：会求解恰当方程，掌握求积分因子的方法。 1．恰当方程的定义： 考虑对称形式的一阶微分方程 M x y dx N x y dy ( , , 0 2.20 ) + = ( ) ( )