课程代码：B052717,B052817 座位号： 新疆大学2005一2006学年第二学期期末考试 《数学分析(II)》试卷A及其答案 姓名： 学号： 专业： 学院 数学与系统科学学院 班级： 2006年7月3日 装 题号 二 三四五六七八总分 订 得分 线 得分评卷人 内 叙述题（本大题共5小题，每题6分，共30分】 答 订料 ,请叙述“二维空间”的定义 答将有序实数对的集合{红，)|x∈R,y∈R称为二维空间，表为R×R 题 或p2 2,请叙述坐标平面中点集E的“内点”的定义. 无 答设EC2 ∈R.若3r>0,有U,r)CE,则称p是E的内点 3开区城的定义 效 答设E是中的点集.若E的任意点都是它的内点，并且E内任意两点都 能用属于E的折线连接起来，则称E是开区域 线 数学分析山试题第1页（共8页）
C ¾ S K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ¾ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** §èµB052717, B052817 Òµ #õÆ 2005—2006 Æc1ÆÏÏ"Á 5êÆ©Û(II)6Áò A 9ÙY 6¶µ ÆÒµ ;µ Ƶ êÆXÚÆÆ ?µ 2006 c 7 3 F KÒ n o Ê 8 Ô l o© © © µò 0, k U(p, r) ⊂ E, K¡ p ´ E S:. 3. Qã R2 ¥“m«” ½Â. E ´ R2 ¥:8. e E ?¿:Ñ´§S:, ¿ E S?¿ü:Ñ U^áu E òëå5, K¡ E ´m«. êÆ©Û(II)ÁK 1 1 £ 8 ¤
4请叙述中的“有限覆盖定理 答有限覆盖定理：若严中的开区域集合{S}覆盖有界闭区域D,则{S}中存 在有限个开区域也覆盖D. 5.请叙述“二元函数f红，)在点(0物)的极限”定义. 答设函数f(x,)在区域D有定义，(o,%)是D的聚点.若3A∈R,e> 0,36>0,(x,)∈D:lx-xol<d,ly-0l<6且(x,)≠(xo,o, 有f(c,)-A4<E,则称f(x,)在点(xo:0)存在极限，极限是A,表为 y吧nf在，)=A或要，f红，)=A 数学分析山试题第2页（共8页）
4. Qã R2 ¥“ kCX½n” . kCX½n: e R2 ¥m«8Ü {S} CXk.4« D, K {S} ¥ 3km«CX D. 5. Q㓼ê f(x, y) 3: (x0, y0) 4” ½Â. ¼ê f(x, y) 3« D k½Â, (x0, y0) ´ D à:. e ∃A ∈ R, ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀(x, y) ∈ D : |x − x0| < δ, |y − y0| < δ, (x, y) 6= (x0, y0), k |f(x, y) − A| < , K¡ f(x, y) 3: (x0, y0) 34, 4´ A, L lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = A, ½ limx→x0 y→y0 f(x, y) = A. êÆ©Û(II)ÁK 1 2 £ 8 ¤
得分评卷人 二、计算题（本大题共8小题，每题5分，共40分） ∫+i=/e+id=/e+ia+)=中+1+e 1 =e+1)+c 2.求∫(VE+1)2dr 解由不定积分的性质推出 装 (Vi+lpde=f(r+2Vi+d=frde+f2Vid+f dr =++x+6 2 线 3.求x2 cos rdr 内 解由分部积分公式得到 答 ∫awris=/dsns=2inx-∫2：s血d 题 =2sin+2xdcosr 无 =z2sinx+2x cosr-2 cosrdr * 效 =2sin +2x cosr -2sin+c. 4.求∫号dc 答若令x=t,则计算出 线 ∫器=∫盘-∫=片+e=品+ 数学分析山试题第3页（共8页）
C ¾ S K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ¾ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** © µò< !OK ( K 8 K, zK 5 ©, 40 ©) 1. ¦ R √4 x + 1dx ) dؽȩúªOÑ Z √4 x + 1dx = Z (x + 1) 1 4 dx = Z (x + 1) 1 4 d(x + 1) = 1 1 + 1 4 (x + 1)1+ 1 4 + c = 4 5 (x + 1) 5 4 + c. 2. ¦ R ( √ x + 1)2dx ) dؽȩ5íÑ Z ( √ x + 1)2 dx = Z (x + 2√ x + 1)dx = Z xdx + Z 2 √ xdx + Z dx = x 2 2 + 4 3 x 3 2 + x + c. 3. ¦ R x 2 cos xdx ) d©ÜÈ©úª Z x 2 cos xdx = Z x 2 d sin x = x 2 sin x − Z 2x sin xdx = x 2 sin x + Z 2xd cos x = x 2 sin x + 2x cos x − Z 2 cos xdx = x 2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + c. 4. ¦ R cos x sin2 x dx e- sin x = t, KOÑ Z cos x sin2 x dx = Z d sin x sin2 x = Z 1 t 2 dt = − 1 t + c = − 1 sin x + c. êÆ©Û(II)ÁK 1 3 £ 8 ¤
5.求∫中 解设c=+品+，红∈，则 1 a(x+1)2+bc(x+1)+cc (+1)2 x(x+12 a2+2x+1)+be2+)+ce x(x+1)2 =(a+0r'+(atb+o)r+a x(x+1)2 →a=1;a+b=0→b=-a=-1: 2a+b+c=0→c=-2a-b=-2+1=-1 所以 +那++ 1 从而 ∫-∫-/+女-∫ 1 1 =-+)-/++) 1 =n-n++z++d sin 5 sin 2rdr=cos(5-2r)-cos(5x+2)d 1 1 2x3 cos 3rd(3r)-2x cos7rd(Tz) 1 =后n3r-4m7z+e 数学分析四试题第4页（共8页）
5. ¦ R 1 x(x+1)2 dx ) 1 x(x+1)2 = a x + b x+1 + c (x+1)2 , ∀x ∈ R, K 1 x(x + 1)2 = a(x + 1)2 + bx(x + 1) + cx x(x + 1)2 = a(x 2 + 2x + 1) + b(x 2 + x) + cx x(x + 1)2 = (a + b)x 2 + (2a + b + c)x + a x(x + 1)2 =⇒ a = 1; a + b = 0 ⇒ b = −a = −1; 2a + b + c = 0 ⇒ c = −2a − b = −2 + 1 = −1. ¤± 1 x(x + 1)2 = 1 x + −1 x + 1 + −1 (x + 1)2 . l Z 1 x(x + 1)2 dx = Z 1 x dx − Z 1 x + 1 dx − Z 1 (x + 1)2 dx = ln |x| − Z 1 x + 1 d(x + 1) − Z 1 (x + 1)2 d(x + 1) = ln |x| − ln |x + 1| + 1 x + 1 + d. 6. ¦ R sin 5x sin 2xdx ) Z sin 5x sin 2xdx = Z 1 2 [cos(5x − 2x) − cos(5x + 2x)]dx = 1 2 Z cos 3xdx − 1 2 Z cos 7xdx = 1 2 × 3 Z cos 3xd(3x) − 1 2 × 7 Z cos 7xd(7x) = 1 6 sin 3x − 1 14 sin 7x + c. êÆ©Û(II)ÁK 1 4 £ 8 ¤
求三岳的收敛辛径和收线区同 解 -m20+) -2(1+典)-20+0=2 :.该幂级数的收敛半径为2. 当x=2时，立忌=立器=三发散 当x=-2时，立二=立器=之以是交错级数。 装 因为是>点，n=1,23,并且m台=0，所以由Leibniz判别法知 订 道-业收敛 线 等白黄级款的收线区同为上22 内 求u=cosr2的二阶偏导数 解 答 u 1 d 2、女e 、3 , Pu 无 效 数学分析山试题第5页（共8页）
C ¾ S K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ¾ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** 7. ¦ P∞ n=1 x n n2n Âñ»ÚÂñ«m. ) ∵ r = limn→∞ 1 n2n 1 (n+1)2n+1 = limn→∞ (n + 1)2n+1 n2 n = limn→∞ 2 1 + 1 n = 2 limn→∞ 1 + limn→∞ 1 n = 2(1 + 0) = 2 ∴ T?êÂñ» 2. x = 2 , P∞ n=1 x n n2n = P∞ n=1 2 n n2n = P∞ n=1 1 n uÑ. x = −2 , P∞ n=1 x n n2n = P∞ n=1 (−2)n n2n = P∞ n=1 (−1)n n ´?ê. Ï 1 n > 1 n+1 , n = 1, 2, 3, · · · , ¿ limn→∞ 1 n = 0, ¤±d Leibniz O{ P∞ n=1 (−1)n n Âñ. nþ, T?êÂñ«m [−2, 2). 8. ¦ u = 1 y cos x 2 ê. ) ∂u ∂x = 1 y d dx cos x 2 = − 2x y sin x 2 , ∂u ∂y = cos x 2 d dy 1 y = − 1 y 2 cos x 2 . ∂ 2u ∂x2 = − 2 y sin x 2 − 4x 2 y cos x 2 , ∂ 2u ∂x∂y = 2x y 2 sin x 2 , ∂ 2u ∂y∂x = 2x y 2 sin x 2 , ∂ 2u ∂y2 = 2 y 3 cos x 2 . êÆ©Û(II)ÁK 1 5 £ 8 ¤
得分评卷人 三、证明题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 上证明银数三收效 证明>0，n=1,2,3, “立中m是正项级数 典穿=鸣m典中典四琴 n3 1 lim 1 1 =1+0=1∈0，+o, 而立品收线。 由比较判别法知道三中m收敛。 2证明：级数立器发散。 证明50器212 “立=是正项级数 学管治器（一） =8=()=8=(+)门 -=0+)门->1 由判别法知造言器发截 数学分析四试题第6页（共8页）
© µò 0, n = 1, 2, 3, · · · ∴ P∞ n=1 1 n3+100 ´?ê. ∵ limn→∞ 1 n3+100 1 n3 = limn→∞ n 3 n3 + 100 = limn→∞ 1 1 + 100 n3 = limn→∞ 1 limn→∞ 1 + limn→∞ 100 n3 = 1 1 + 0 = 1 ∈ [0, +∞), P∞ n=1 1 n3 Âñ. ∴ d'O{ P∞ n=1 1 n3+100 Âñ. 2. y²: ?ê P∞ n=1 3 nn! nn uÑ. y² un = 3 nn! nn , n = 1, 2, 3, · · · , ∵ 3 nn! nn > 0, n = 1, 2, 3, · · · ∴ P∞ n=1 3 nn! nn ´?ê. ∵ limn→∞ un+1 un = limn→∞ 3 n+1(n+1)! (n+1)n+1 3nn! nn = limn→∞ 3(n + 1)n n (n + 1)n+1 = limn→∞ 3 n n + 1n = 3 limn→∞ n + 1 n −n = 3 limn→∞ 1 + 1 n n−1 = 3 limn→∞ 1 + 1 n n−1 = 3 e > 1. ∴ d D’Alembert O{ P∞ n=1 3 nn! nn uÑ. êÆ©Û(II)ÁK 1 6 £ 8 ¤
3.证明：级数三（器）”收敛。 证明国为（当）”>0，n=1,23,所以立（器）”是正项级数.山= (出)”，n=1,2,3,. 典片景1 im1+im是 、由Cay判别法知道立（器）》”收敛 4证明领餐宫(-小血收敛 装 证明因为s如>0，n=1,2,3.,所以它(-1)”sim是交错级数 订 因为six在0，引是单调增加的连续函数，所以 1 线 n=1,2,3. 内 ▣血片n片-m0-0 答 从商，由Lt血判别法推出宫(-lrs血是收效的 题 无 效 数学分析山试题第7页（共8页）
C ¾ S K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ¾ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** 3. y²: ?ê P∞ n=1 n+1 2n+1 n Âñ. y² Ï n+1 2n+1 n > 0, n = 1, 2, 3, · · · , ¤± P∞ n=1 n+1 2n+1 n ´?ê. un = n+1 2n+1 n , n = 1, 2, 3, · · · . ∵ limn→∞ √n un = limn→∞ n + 1 2n + 1 = limn→∞ 1 + 1 n 2 + 1 n = limn→∞ 1 + limn→∞ 1 n limn→∞ 2 + limn→∞ 1 n = 1 2 0, n = 1, 2, 3, · · · , ¤± P∞ n=1 (−1)n sin 1 n ´?ê. Ï sin x 3 [0, π 2 ] ´üNO\ëY¼ê, ¤± 1 n > 1 n + 1 ⇒ sin 1 n > sin 1 n + 1 , n = 1, 2, 3, · · · , limn→∞ sin 1 n = sin limn→∞ 1 n = sin 0 = 0. l , d Leibniz O{íÑ P∞ n=1 (−1)n sin 1 n ´Âñ. êÆ©Û(II)ÁK 1 7 £ 8 ¤
得分评卷人 四、综合题（本大题共10分） 给定函数 xy≠0. 证明：该函数在(0,0)点存在两个偏导数，但是它在(0,0)点不连续 证明由偏导数的定义和极限的性质推出 色+80-i △x -巴0+4P+P-0+的 △r (△x)2 -dimto Ar dim Ar =0. 盟一点o+0 △y = 02+(0+△y)2-(02+02) -只g-只4=0 即f红，)在(0,0)点存在两个偏导数.但是 g》-g,0=四+的=四0 ge》=fe动-g1=1, 所以f(红，)在(0,0)点不存在极限，从而它在该点不连续 数学分析四试题第8页（共8页）
© µò< o!nÜK £ K 10 © ¤ ½¼ê f(x, y) = x 2 + y 2 xy = 0, 1 xy 6= 0. y²: T¼ê3 (0, 0) :3ü ê, ´§3 (0, 0) :ØëY. y² d ê½ÂÚ45íÑ ∂f ∂x (0,0) = lim ∆x→0 f(0 + ∆x, 0) − f(0, 0) ∆x = lim ∆x→0 (0 + ∆x) 2 + 02 − (02 + 02 ) ∆x = lim ∆x→0 (∆x) 2 ∆x = lim ∆x→0 ∆x = 0, ∂f ∂y (0,0) = lim ∆y→0 f(0, 0 + ∆y) − f(0, 0) ∆y = lim ∆y→0 0 2 + (0 + ∆y) 2 − (02 + 02 ) ∆y = lim ∆y→0 (∆y) 2 ∆y = lim ∆y→0 ∆y = 0, = f(x, y) 3 (0, 0) :3ü ê. ´ limx→0 y=0 f(x, y) = limx→0 f(x, 0) = limx→0 (x 2 + 02 ) = limx→0 x 2 = 0, limx→0 y=x f(x, y) = limx→0 f(x, x) = limx→0 1 = 1, ¤± f(x, y) 3 (0, 0) :Ø34, l §3T:ØëY. êÆ©Û(II)ÁK 1 8 £ 8 ¤