新疆大学：《常微分方程》课程教学资源（授课教案）第三章一阶微分方程的解的存在定理.doc_大学文库

第三章一阶微分方程的解的存在定理本章内容介绍在第二章我们介绍了能用初等积分法求解的一阶微分方程的若干类型，但是，对许多微分方程，例如形式上很简单的里卡蒂方程y=x2+y严就不能用初等积分法求解，于是就产生了这样一个问题： (1)一个不能用初等积分法求解的徽分方程是否意味着没有解呢？而在实际问题中，所需要研究的是满足某种初始条件的解，所以我们又会遇到这样一个问题： (2)当方程有解时，它的解是否唯一呢？例如：微分方程的奇解问题，过它上的每一点都至少两条积分曲线存在。无从谈起。西(cac,789 -1857)在19世纪20年代第唯一性定理。人们称之为柯西问题。密= (即：考虑初值问题： y()=% ,若函数f(x,)在包含(，片)的凸形区域D内对y有连续的偏微商，则初值问题的解存在并且是唯一的) 在1876年，利普希茨((lipschit忆，1832-1903)减弱了柯西定理，（即把函数f(x,y)在包含(o,%)的凸形区域内对y有连续的偏微商的条件减弱到对y满足利普希茨条件)得到了新的解的存在唯一性定理。在1893年皮卡(picard,1856-1941)用逐次逼近法对定理给出了一个新证明。此外，佩亚诺(pean0,1858 一1932)在更一般的条件下建立了柯西问题解的存在性定理（即只要求∫(x,y)在区域D内连续）（不顾及唯一性)本章主要介绍和证明一阶方程的解的存在唯一性定理，并介绍解的一般性质，如解的延拓、解自己看书，若时间允许，我只作简单介绍。 S3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学目的：正确理解、掌握解的存在唯一性定理，掌握证明唯一性定理所用的皮卡的逐步迭代法的思想。 3.1.1存在唯一性定理 (1)首先考虑导数已解出的一阶微分方程：盗=)B0, 这里f(x,)是在矩形域R:|x-x≤a,|y-≤b上的连续函数。我们先介绍一个条件，函数f(x,y)称为在R上关于y满足利普希茨条件(Lipschitz)简称李氏条件，第1页共21页

第 1 页共 21 页第三章一阶微分方程的解的存在定理本章内容介绍在第二章我们介绍了能用初等积分法求解的一阶微分方程的若干类型，但是，对许多微分方程，例如形式上很简单的里卡蒂方程 2 2 y x y  = + 就不能用初等积分法求解，于是就产生了这样一个问题：（1）一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？而在实际问题中，所需要研究的是满足某种初始条件的解，所以我们又会遇到这样一个问题：（2）当方程有解时，它的解是否唯一呢？例如：微分方程的奇解问题，过它上的每一点都至少两条积分曲线存在。所以，这是一个基本问题，不解决这个问题，对于微分方程的进一步研究（无论定性还是定量）就无从谈起。柯西（cauchy,1789－1857）在 19 世纪 20 年代第一个成功建立了微分方程初值问题解的存在和唯一性定理。人们称之为柯西问题。（即：考虑初值问题： ( ) ( 0 0 ) , dy f x y dx y x y   =   =  ，若函数 f x y ( , ) 在包含 ( x y 0 0 , ) 的凸形区域 D 内对 y 有连续的偏微商，则初值问题的解存在并且是唯一的）在 1876 年，利普希茨（lipschitz,1832-1903）减弱了柯西定理，（即把函数 f x y ( , ) 在包含 ( x y 0 0 , ) 的凸形区域内对 y 有连续的偏微商的条件减弱到对 y 满足利普希茨条件）得到了新的解的存在唯一性定理。在 1893 年皮卡（picard,1856－1941）用逐次逼近法对定理给出了一个新证明。此外，佩亚诺（peano，1858 －1932）在更一般的条件下建立了柯西问题解的存在性定理（即只要求 f x y ( , ) 在区域 D 内连续）（不顾及唯一性）本章主要介绍和证明一阶方程的解的存在唯一性定理，并介绍解的一般性质，如解的延拓、解对初值的连续性和可微性等，此外，还引进奇解的概念及介绍求奇解的两种方法。我们只是定性研究一阶方程的解的存在唯一性定理及解的一般性质，对于奇解的概念与解法同学们自己看书，若时间允许，我只作简单介绍。 §3。1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学目的：正确理解、掌握解的存在唯一性定理，掌握证明唯一性定理所用的皮卡的逐步迭代法的思想。 3．1．1 存在唯一性定理（1）首先考虑导数已解出的一阶微分方程： ( , 3.1 ) ( ) dy f x y dx = ，这里 f x y ( , ) 是在矩形域 0 0 R x x a y y b : , −  −  上的连续函数。我们先介绍一个条件，函数 f x y ( , ) 称为在 R 上关于 y 满足利普希茨条件（Lipschitz）简称李氏条件

第 2 页共 21 页如果存在常数 L  0 ，使得不等式 f x y f x y L y y ( , , 1 2 1 2 ) −  − ( ) ，对于所有 ( x y x y R , , , 1 2 ) ( ) 都成立， L 称为利普希茨常数。定理 1 如果 f x y ( , ) 在 R 上连续且关于 y 满足利普希茨条件，则方程 (3.1) 存在唯一的解 y x = ( ) ，定义于区间 0 x x h −  上，连续且满足初始条件  ( x y 0 0 ) = (3.2) ，这里 ( ) ( ) , min , , max , x y R b h a M f x y M    = =     分析：证明的主要思想是：（1）证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程： ( ) 0 0 , x x y y f x y dx = +  的连续解；（2）证明积分方程的解的存在唯一性。采用的方法是皮卡逐步逼近法。构造皮卡序列：任取一个连续函数 0 ( x) 代入上面积分方程的右端的 y ，得到函数： ( ) ( ( )) 0 1 0 0 , x x   x y f x x dx = +  ，显然 1 ( x) 也是连续函数，如果   1 0 ( x x ) = ( ) ，则 y x =0 ( ) 就是积分方程的解。否则，再将 1 ( x) 代入积分方程的右端的 y ，得到函数： ( ) ( ( )) 0 2 0 1 , x x   x y f x x dx = +  ，如果   2 1 ( x x ) = ( ) ，则 y x =1 ( ) 就是积分方程的解，否则，继续这个步骤，得到函数： ( ) ( ( )) ( ) 0 0 1 , 3.3 x n n x   x y f x x dx = +  − ，于是得到函数序列： 0 ( x) ，1 ( x) ，.， n ( x)，.，称这样构造的序列为皮卡序列，如果   n n +1 ( x x ) = ( ) ，则 y x =n ( ) 就是积分方程的解。如果始终不发生这样的情况，我们可以证明这个函数序列收敛到一个极限函数，即： lim n ( ) ( ) n   x x → = ，因而，对 (3.3) 取极限，就得到： ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) 0 0 0 1 2 0 1 0 1 0 lim lim , lim , , 3.4 x x x n n n n n n x x x     x y f x x dx y f x x dx y f x x dx − − → → → = + = + = +    即： ( ) ( ( )) 0 0 , x x   x y f x x dx = +  ，所以， y x = ( ) 就是积分方程的解，从而存在性得到证明。这种一步一步地求出方程的解的方法，就称为逐步逼近法。由 (3.3) 所确定的函数 n ( x) 称为初值问题的第 n 次近似解。在定理的条件下，以上步骤是可以实现的。本教材将定理的证明分成五步，下面为研究方便，我们只就区间 0 0 x x x h   + 来讨论，对于 0 0 x h x x −   的讨论类似。命题 1：设 y x = ( ) 是方程 (3.1) 的定义于区间 0 0 x x x h   + 上，满足初始条件  ( x y 0 0 ) = 的解

第 3 页共 21 页则 y x = ( ) 是积分方程 ( ) ( ) 0 0 0 0 , 3.5 x x y y f x y dx x x x h = +   +  的定义于 0 0 x x x h   + 上的连续解，反之亦然。证明：因为 y x = ( ) 是方程 (3.1) 的解，故有 ( ) ( , ( )) d x f x x dx    ，两边从 0 x 到 x 取定积分得到 ( ) ( ) ( ( )) 0 0 0 0 , x x    x x f x x dx x x x h −    +  ，把初始条件  ( x y 0 0 ) = 代入上式即有： ( ) ( ( )) 0 0 0 0 , x x   x y f x x dx x x x h  +   +  因此， y x = ( ) 是 (3.5) 定义于 0 0 x x x h   + 上的连续解。反之，若 y x = ( ) 是 (3.5) 的连续解，则有， ( ) ( ( )) ( ) 0 0 0 0 , 3.6 x x   x y f x x dx x x x h  +   +  对 (3.6) 微分得到 ( ) ( , ( )) d x f x x dx    ，又把 0 x x = 代入 (3.6) ，得到  ( x y 0 0 ) = 因此， y x = ( ) 是方程 (3.1) 定义于 0 0 x x x h   + 上，且满足初始条件 (3.2) 的解。证毕。我们知道函数 f x y ( , ) 是定义在 R 上的函数，于是有这样的问题，皮卡序列能否形成？即取 0 0 ( x y ) = ， 0 0 y y y b  −  ，代入积分方程有意义，可以得到 1 ( x) ，而 1 0 ( x y y b ) −  能否成立呢？若不成立， f x x ( ,1 ( )) 就没有意义，所以也就无法构造皮卡序列了。所以下面要证 n ( ) 0  x y y b  −  ，对所有的 n 都成立。命题 2：对于所有的 n，(3.3) 中的函数 n ( x) 在 0 0 x x x h   + 上有定义、连续且满足不等式 n ( ) 0  x y b −  证明：（用数学归纳法证明）当 n =1 时， ( ) ( ) 0 1 0 0 , x x    x y f y d = +  ，显然在 0 0 x x x h   + 上有定义、连续且有： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 0 0 0 , , x x x x      x y f y d f y d M x x Mh b − =   −     假设当 n k = 时命题 2 成立，考察当 n k = +1 时有 ( ) ( ( )) 0 1 0 , x k k x      x y f d + = +  由假设，可知 k+1 ( x) 在 0 0 x x x h   + 上有定义、连续且有 ( ) ( ( )) ( ) 0 1 0 0 , x k k x      x y f d M x x Mh b + −   −    所以，命题 2 得证

第 4 页共 21 页在 (3.4) 中我们看到等号 (1)     =   ，即有 ( ( )) ( ( )) 0 0 1 1 lim , lim , x x n n n n x x f x x dx f x x dx   − − → → =   成立，这必须要求 lim n ( ) ( ) n   x x → = 是一致收敛。否则极限符号是不能与积分号交换次序。所以接下来就有命题 3。命题 3：函数序列 n ( x) 在 0 0 x x x h   + 上是一致收敛的。根据序列 n ( x) 在 0 0 x x x h   + 上的一致收敛性等价于级数 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3.7 k k k    x x x  − = + −     一致收敛，所以，只须证明级数 (3.7) 在 0 0 x x x h   + 上一致收敛，为此由 (3.3) 知 ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) 0 1 0 0 0 , 3.8 x x       x x f d M x x −   −  及 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) 0 2 1 1 0 , , x x          x x f f d −  −  ，利用利普希茨条件及 (3.8) 得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 1 1 0 0 0 2 ! x x x x ML          x x L d L M x d x x −  −  − = −   设对于正整数 n ，不等式 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 ! n n n n ML x x x x n   − −  − − 成立，则由利普希茨条件，当 0 0 x x x h   + 时，有 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 1 0 0 , , ! 1 ! x n n n n x n n x x n n n n x x x x f f d ML ML L d x d x x n n                 + − + − −  −  −  − = − +    于是由数学归纳法得知，对所有的正整数 k ，有如下的估计 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 3.9 ! k k k k ML x x x x x x x h k   − −  −   + − 从而可知，当 0 0 x x x h   + 时， ( ) ( ) ( ) 1 1 3.10 ! k k k k ML x x h k   − −  − 而正项级数 1 1 ! k k k h ML k  − =  是收敛的，由维氏判别法，级数 (3.5) 在 0 0 x x x h   + 上一致收敛，因而序列 n ( x) 也在 0 0 x x x h   + 上一致收敛。证毕。现设 lim n ( ) ( ) n   x x → = ，由于 n ( x) 在 0 0 x x x h   + 上一致收敛于  ( x) ，所以  ( x) 也在

第 5 页共 21 页 0 0 x x x h   + 上连续，且 ( ) 0  x y b −  ，再根据 f x y ( , ) 的连续性，有 (3.4) 中等号 (2)     =   成立，就得到 ( ) ( ( )) 0 0 , x x   x y f x x dx = +  成立，从而  ( x) 是积分方程 (3.3) 的一个解。下证该解是连续的。命题 4  ( x) 是积分方程 (3.3) 的定义于 0 0 x x x h   + 上的连续解。证明：由利普希茨条件， f x x f x x L x x ( , ,     n n ( )) −  − ( ( )) ( ) ( ) 以及 n ( x) 在 0 0 x x x h   + 上一致收敛于  ( x) ，即知序列  f x f x x n n ( )  ( , ( )) 在 0 0 x x x h   + 上一致收敛于 f x x ( , ( )) 因而对 (3.4) 式两边取极限，得到： ( ) ( ( )) ( ( )) 0 0 0 1 0 1 lim lim , lim , x x n n n n n n x x    x y f x x dx y f x x dx − − → → → = + = +   即： ( ) ( ( )) 0 0 , x x   x y f x x dx = +  这就是说，  ( x) 是积分方程 (3.3) 的定义于 0 0 x x x h   + 上的连续解。以上四个命题解决了初值问题的解的存在性。下面解决唯一性问题。命题 5 设  ( x) 是积分方程 (3.3) 的定义于 0 0 x x x h   + 上的另一个连续解，则   ( x x )  ( ) ， 0 0 x x x h   + 证明：先证  ( x) 也是序列 n ( x) 的一致收敛的极限函数。由于 ( ) ( ) ( ( )) ( ) 0 0 0 0 1 , , 1 x n n x       x y x y f d n = = +   − ，而 ( ) ( ( )) 0 0 , x x      x y f d = +  则有： ( ) ( ) ( ( )) ( ) 0 0 0 , x x       x x f d M x x −   −  ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 0 0 2 0 0 , , 2! x x x x x x x x f f d L d ML ML x d x x                 −  −  −  − = −    ，现假设 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 ! n n n ML x x x x n   − − −  − ，那么成立， ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 0 0 , , ! 1 ! x x n n n x x n x n n x x x f f d L d ML ML x d x x n n                 − − + −  −  −  − = − +   

第 6 页共 21 页故由数学归纳法得知，对所有的正整数 n ，有下式成立。 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 ! n n ML x x x x n   + −  − + 因此，在 0 0 x x x h   + 上有 ( ) ( ) ( ) 1 1 ! n n ML x x h n   + −  + 成立，当 n → 时， ( ) 1 0 1 ! n ML n h n + → + 因而 n ( x) 在 0 0 x x x h   + 上一致收敛于  ( x) ，根据极限的唯一性即得，   ( x x ) = ( ) 命题 5 成立，所以唯一性得到证明。有了这个定理，我们就可以对方程 (3.1) 定性分析其解的存在性，例如，里卡蒂方程： dy 2 2 x y dx = + 虽不能用初等积分法求解，但根据该定理可以知道，它在 ( x y, ) 平面上经过每一点，有且只有一个解。注：1、存在唯一性定理中数 h 的几何意义，令正数 M 为 f x y ( , ) 在 R 上的一个上界，则微分方程 (3.1) 在 R 内各点 P 的切线斜率界于 −M 和 M 之间，由此可以看出，若 y x = ( ) 是初值问题 ( , ) ( 0 0 ) dy f x y x y dx = =  的一个解，因此，为了保证其解在矩形 R 内，我们只需作下面的限制： M x x h −  0 ，亦即 0 b x x M −  ，所以要令 min , b h a M   =     ，则在区间 0 x x h −  上的积分曲线 y x = ( ) 就停留在 R 内。事实上，它停留在 R 内的两个角形区域之中。 2、由于利普希茨条件难于检验，常用 f x y ( , ) 在 R 上有对 y 有连续的偏微商来代替。这就是柯西给出的存在唯一性定理的条件。事实上，如果在 R 上 f y   存在且连续，则 f y   在 R 上有界。设在 R 上 f L y    ，由微分中值定理 ( ) ( ) ( 2 1 2 ( )) 1 2 1 2 1 2 , , , 0 1 f x y y y f x y f x y y y L y y y    + − − = −  −    ，反之，结论不一定正确。例如， f x y y ( , ) = 对 y 满足李氏条件，但当 y = 0 时，它对 y 没有微商。 3、若方程为线性方程 ( ) ( ) dy P x y Q x dx = + ，当 P x Q x ( ), ( ) 在区间  ,  上为连续函数时，定理 1 中条件自然成立，而且任一初值 ( x y x 0 0 0 , , , )    所确定的解在整个区间  ,  上都有定义。（自己证明）（2）现考虑一阶隐方程 F x y y ( , , 0 3.5 ) = ( ) 根据隐函数存在定理，若在 ( x y y 000 , , ) 的某一领域内， F 连续且 F x y y ( 000 , , 0 ) =

第 7 页共 21 页 ( 000 , , ) 0 F x y y y      ，则方程 F x y y ( , , 0 ) = 则可以唯一的确定一个二元函数 y f x y  = ( , ) ，并且， f x y ( , ) 在 ( x y 0 0 , ) 的某一领域内连续，且 y f x y 0 0 0  = ( , ) ， f F F y y y    = −     显然是有界的。所以根据定理 1，方程 (3.5) 的满足初始条件的解存在唯一，得到如下定理：定理 2 如果在点 ( x y y 000 , , )  的某一邻域中， ① F x y y ( , , ) 对所有变元 ( x y y , , ) 连续，且存在连续偏导数， ② F x y y ( 000 , , 0 ) = ，③ ( 000 , , ) 0 F x y y y      ，则方程 F x y y ( , , 0 ) = 存在唯一解， ( ) 0 y y x x x h = −  （ h 为足够小的正数）满足初始条件 y x y y x y ( 0 0 0 0 ) ( )  = =  注：这里所讲的解的存在唯一是指过 ( x y 0 0 , ) 且以 0 y  为已知方向的积分曲线有且只有一条。例 1 讨论 sin x e x 能否称为 y f x y  − = ( ) 0 在区间 −a a,  中的解，其中 a  0 f x( ) 在 (− + , ) 内连续。分析：将原方程变形为 ( ) ( ) ( ) ln dy f x dx f x dx y f x dx c y Ce y  =  = +  =  ，寻找 f x( ) ，使得 sin x y e x = ，事实上，可以验证这样的 f x( ) 就根本不存在。我们可以利用唯一性定理证明它不是方程 y f x y  = ( ) 的解。易知 y = 0 是方程的平凡解，考虑初值问题： ( ) (0 0 ) y f x y y   =   =  ，由解的存在唯一性定理，存在唯一的解 y y x x h h h =  −  ( ), , , 0   若 sin x y e x = 是方程的解，且 ( ) 0 y e 0 sin0 0 = = ，则与唯一性矛盾，所以 sin x y e x = 不是其解。例 2．讨论方程 1 3 3 2 dy y dx = 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过 (0,0) 的一切解。解：已知 ( ) 1 3 3 , 2 f x y y = 在整个 ( x y, ) 平面内连续，但 2 3 1 2 f y y  − =  在 y  0 的平面上连续，所以当 y  其中   0 时，解的存在唯一性定理条件成立

第 9 页共 21 页定理： ( ) ( ) ( 0 0 ) dy P x y Q x dx y x y   = +   =  ，其中 P x Q x ( ), ( ) 是区间  ,  上的连续函数，且 x0  ,  ，则方程在  ,  存在唯一的满足初始条件 y x y ( 0 0 ) = 的连续解 y x = ( ) 。证明：令   ( ) 0 ( ) , max x M P x y Q x    = + ，   ( ) , max x L P x    = 第一步：证明该微分方程的解等价于积分方程： ( ) ( ) 0 0 x x y y P s y Q s ds = + +      的解. 如果设 y x = ( ) 是微分方程的解，则满足： ( ) ( ) ( ) ( ) d x P x x Q x dx  = +  ，从 0 x 到 x 积分，可得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 x x    x x P s s Q s ds − = +      ，而  ( x y 0 0 ) = ，故： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 x x   x y P s s Q s ds = + +      ，从而说明 y x = ( ) 是积分方程的解。反之，若 y x = ( ) 是积分方程的解，则满足 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 x x   x y P s s Q s ds = + +      ，微分得到： ( ) ( ) ( ) ( ) d x P x x Q x dx  = +  ，且当 0 x x = 时，有  ( x y 0 0 ) = 成立，所以 y x = ( ) 是微分方程的解。第二步：先构造皮卡序列： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   0 0 0 0 1 , [ ] x n n x x y x x y P s s Q s ds      −  =    = + +    对 n =1,2,3, 显然，皮卡序列  ( ) 1,2, n  x n = 在区间  ,  上连续。第三步：证明皮卡序列  ( ) 1,2, n  x n = 在区间  ,  上一致收敛。先证 x x  0 ,  ，对于 x x , 0  可类似证明。考虑级数： 0 1 0 ( ) ( ) ( )   1 [ ] , k k k     x x x x x  − = + −   以及它的部分和序列： 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( )   1 [ ] , n k k n k      x x x x x x − = + − =   ，下证该级数在区间 x0 ,  上一致收敛。因为， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 0 x x     x x P s y Q s ds M x x M −  +  −  −      以及 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 1 1 0 0 2! x x x x LM x x P s s y ds LM s x ds      − −  −  −    成立

第 10 页共 21 页不妨假设： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 2 ! n n x n n n n x L M x x P s s s ds n       − − − − − −  −   成立，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 1 1 1 ! n n x n n n n x L M x x P s s s ds n       + − − −  −  +  成立. 然而级数 ( ) 1 1 ! n n n L M n    − = −  是收敛的，所以函数项级数： 0 1 0 ( ) ( ) ( )   1 [ ] , k k k     x x x x x  − = + −   一致收敛。现设： lim n ( ) ( ) n   x x → = ，由 n ( x) 的连续性，可知    ( x x )  ,  是连续函数。第四步：证明    ( x x )  ,  是积分方程的连续解。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 0 1 0 lim lim lim x n n n n x x x n x x n x y P s s Q s ds y P s s Q s ds y P s s Q s ds     − → → − → = + +     = + + = + +            第五步：证明解的唯一性：假设 y x = ( ) 也是积分方程的解，则 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 x x   x y P s s Q s ds = + +      成立，同理可以计算 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 ! n n x n n x L M x x P s s s ds n n       − − −  −  → →   而皮卡序列  ( ) 1,2, n  x n = 在区间  ,  上收敛于  ( x) ，由极限的唯一性，可知   ( x x )  ( )。 6．证明格朗瓦耳不等式：设 K 为非负常数， f t g t ( ), ( ) 为区间    t 上的连续非负函数，且满足不等式： ( ) ( ) ( ) t f t K f s g s ds t   +      ，则有： ( ) ( ( ) ) exp t f t K g s ds t        证明：（证法 1）考虑微分方程： ( ) ( ) ( ) ( ) dV t g t V t dt V K    =   =  的解为： ( ) ( ( ) ) exp t V t K g s ds  =     t 也是积分方程 ( ) ( ) ( ) t V t K g s V s ds  = +  的解，根据条件 ( ) ( ) ( ) t f t K f s g s ds t   +      可知， f t V t ( )  ( ) ，所以， ( ) ( ( ) ) exp t f t K g s ds t        成立。（证法 2）因为： 0 ( ) ( ) ( ) t f t K f s g s ds t    +      ，所以： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t f t g t g t K f s g s ds   + 

新疆大学：《常微分方程》课程教学资源（授课教案）第三章 一阶微分方程的解的存在定理

新疆大学：《常微分方程》课程教学资源（授课教案）第三章一阶微分方程的解的存在定理