第二节 微分方程模型 对我国人口总数发展趋势的估计， 捕食者与被捕食者的生态问题 经典力学模型 数学摆（单摆） 求一曲线使其上任意一点的切线介于两坐标 轴之间的部分等于定长1。 ○本节重点与难点 结束 上面拔下一页2目录 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 第二节 微分方程模型 本节重点与难点 对我国人口总数发展趋势的估计. 求一曲线使其上任意一点的切线介于两坐标 轴之间的部分等于定长l 。 经典力学模型 捕食者与被捕食者的生态问题 数学摆(单摆)
§2微分方程模型 微分方程产生于三百多年前，它是数学理论（特别是积分学）联 系实际的重要渠道.在微积分发明以后，Newton力学第二定律的 数学表达式： 便是一个微分方程。许多物体运动规律只有微分方程才能表达出 来。20世纪以前，几何学，力学和物理学中的许多问题也只有通 过建立微分方程才能解释其规律。现在几乎在自然科学和工程技 术的每一部都有或多或少的微分方程问题。下面通过实例说明微 分方程是如何从物理学，力学和几何学等方面的问题引导出来的。 通过例子要求同学们掌握如何根据实际问题建立其数学模型.也就 是微分方程模型。 结束 帮助 返叵
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 便是一个微分方程。许多物体运动规律只有微分方程才能表达出 来。20世纪以前，几何学，力学和物理学中的许多问题也只有通 过建立微分方程才能解释其规律。现在几乎在自然科学和工程技 术的每一部都有或多或少的微分方程问题。下面通过实例说明微 分方程是如何从物理学，力学和几何学等方面的问题引导出来的。 通过例子要求同学们掌握如何根据实际问题建立其数学模型.也就 是微分方程模型。 微分方程产生于三百多年前，它是数学理论(特别是积分学)联 系实际的重要渠道.在微积分发明以后，Newton力学第二定律的 数学表达式: 2 2 d x m F dt = §2 微分方程模型
§2微分方程模型 例1.对我国人口总数发展趋势的估计. 人口问题是一个很复杂的生物学和社会学问题.用数学方法来 研究它，目前只是一个尝试.我们在这里介绍一个比较粗糙的数 学模型 令N(t)表示某一个国家在时间t的人口总数.严格的说，N(t)是 一个不连续的阶梯函数.但是一个人的增减与全体人数比较微 小，我们将把N(t)视为光滑的函数，这样就可应用微积分的方法 记r=(t,W)为人口增长率（出生率与死亡率之差）.由于在△t 时间内的平均增长率为 AN 其中△W为人口的增量，所以 △t.N △N dN r lim -0△t.N N dt 结束 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 例1.对我国人口总数发展趋势的估计. 人口问题是一个很复杂的生物学和社会学问题.用数学方法来 研究它，目前只是一个尝试.我们在这里介绍一个比较粗糙的数 学模型. ( ) , ( ) ( ) ( , ) N t t N t N t r r t N t N N t N = . ， ， 令 表示某一个国家在时间 的人口总数.严格的说 是 一个不连续的阶梯函数.但是一个人的增减与全体人数比较微 小,我们将把 视为光滑的函数,这样就可应用微积分的方法 记 为人口增长率(出生率与死亡率之差).由于在 时间内的平均增长率为 其中 为人口的增量 所以 0 1 lim t N dN r t N N dt → = = ， §2 微分方程模型
§2微分方程模型 即 dN =rN (1.8) dt 这就是人口总数N所满足的微分方程。最简单的模型是 假设r为常数k>0.于是容易求出初值问题： dN _=kN, (1.9) d N(to)=N。,(1.10) 的解为 N=N ek(-to) (1.11) 这表明人口是按指数曲线增长的，这就是马尔萨斯人口论的 根据.这一理论已被实践证明是错误的， 显然，人口的增长率是会随人口基数的增大而下降的.因此 人们又提出了一个新的模型：假设 r=a-bN, (1.12) 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 这表明人口是按指数曲线增长的，这就是马尔萨斯人口论的 根据.这一理论已被实践证明是错误的. 显然，人口的增长率是会随人口基数的增大而下降的.因此 人们又提出了一个新的模型:假设 0 0 (1.9) ( ) (1.10) dN kN dt N t N = = ， ， 0 ( ) 0 (1.11) k t t N N e − = r a bN = − ， (1.12) (1.8) dN rN dt = 0 这就是人口总数 所满足的微分方程。 最简单的模型是 假设 为常数 .于是容易求出初值问题: N r k 即 的解为 §2 微分方程模型
§2微分方程模型 其中正的常数a和b称为生命系数.一些生态学家测得的 自然值为0.029，而b的值则取决于各国的社会经济条件， 在这一假设下，方程(1.8)成为 、 =(a-bN)N. (1.13) dt 这是一个变量分离的方程.初值问题(1.13)+(1.10)的解为： 。09.00055B590g56909g99g9”5◆09.99,0909609家 N= aN) (1.14) a-bNo+aN ea() 据文献记载，美国和法国增用这个公式预报过人口的变化， 结果是相当符合实际的；而比利时则不堪符合，只是因为当时比 利时向刚果进行着大量移民至于这个公式是否适应于我国，还 有特于实践的检验， 结束 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 据文献记载，美国和法国增用这个公式预报过人口的变化， 结果是相当符合实际的;而比利时则不堪符合，只是因为当时比 利时向刚果进行着大量移民.至于这个公式 是否适应于我国，还 有特于实践的检验. = − ( ) . (1.13) dN a bN N dt − − = − + 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 (1.14) a t t a t t aN e N a bN aN e 0.029 a b a b 其中正的常数 和 称为生命系数.一些生态学家测得 的 自然值为 ,而 的值则取决于各国的社会经济条件. 在这一假设下，方程(1.8)成为 这是一个变量分离的方程.初值问题(1.13)+(1.10)的解为： §2 微分方程模型
§2微分方程模型 根据1980年5月1日公布的数字，我国人口总数在1979年底 为97,092万人.假设当时的人口增长率为1.45%，即取 t=1979,N。=9.7092×103,=0.0145 则由(1.12)式可得； bW=a-m=0.029-0.0145=0.0145. (1.15) 这样一来，可利用(1.14)式对我国的人口总数作出估算.我们将 部分计算结果列成下表： 年底) 1987 1988 1990 1995 2000 2020 2050 2500 人口（亿 10.82 10.96 11.24 11.91 12.57 14.88 17.21 19.41 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 这样一来，可利用(1.14)式对我国的人口总数作出估算.我们将 一部分计算结果列成下表: 8 0 0 0 t N r = = = 1979 9.7092 10 0.0145 ， ， 0 0 bN a r = − = − = 0.029 0.0145 0.0145. (1.15) 年(底) 1987 1988 1990 1995 2000 2020 2050 2500 人口(亿) 10.82 10.96 11.24 11.91 12.57 14.88 17.21 19.41 根据1980年5月1日公布的数字，我国人口总数在1979年底 为97,092万人.假设当时的人口增长率为1.45%，即取 则由(1.12)式可得； §2 微分方程模型
§2微分方程模型 最近两年，我国又公布了两次人口数字：1987年7月的抽样 调查结果为10.72亿（注意上表中的10.82亿是1987年底的估算 值)；1988年底的统计数字为10.9614亿(1989年2月19日公布)。 这说明上述估算有一定的可信度。按照这个估计，1995年底 是我国人口总数将接近12亿，到2020年底时，将接近15亿， 而最终趋势是19.42亿.事实上，从(1.13)式可以看出， lim N(t)= 从(6.14)式可算出b的值，再取a=0.029,代入上式可得： 819.42(亿 结束 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 最近两年，我国又公布了两次人口数字：1987年7月的抽样 调查结果为10.72亿(注意上表中的10.82亿是1987年底的估算 值)；1988年底的统计数字为 10.9614亿 (1989年2月19日公布)。 这说明上述估算有一定的可信度。按照这个估计，1995年底 是我国人口总数将接近12亿，到2020年底时，将接近15亿， 而最终趋势是19.42亿.事实上，从(1.13)式可以看出， lim ( ) x a N t → b = 从(6.14)式可算出 b 的值，再取 a =0.029，代入上式可得: 19.42( ) a b 亿 §2 微分方程模型
§2微分方程模型 例2.捕食者与被捕食者的生态问题， 假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅 以前者为食物，则我们称前者为被捕食者（简称为食饵），后者为捕 食者（简称为捕者）。例如农作物的害虫与它们的天敌或海洋中的非 肉食鱼与掠肉鱼都可以看成这样的两个物种. 现在我们来建立捕者和食饵之间的数学模型。假设捕者的总数以 x(t)表示，食饵的总数以y(t)表示（此处假设x(t)和y(t)为光滑函数， 如同在例1中所假设的那样，并且设x(t)>0,y(t)>0)。由于食饵自 身的食物充足，并且有足够的生存空间，所以在不考虑捕者的情 况下，其增长率为一个常数4（如马尔萨斯方程(1.8）所描述的)， 但捕者的存在势必降低了它的增长率，且为了简单，设这种降 低与捕者数量x(t)成正比。这样食饵的增长率为： r,=4-δx(1.16) 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 例2.捕食者与被捕食者的生态问题. 假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅 以前者为食物，则我们称前者为被捕食者(简称为食饵)，后者为捕 食者(简称为捕者)。例如农作物的害虫与它们的天敌或海洋中的非 肉食鱼与掠肉鱼都可以看成这样的两个物种. (1.16) y r x = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0) (1.8) ( ) x t y t x t y t x t y t x t 。 现在我们来建立捕者和食饵之间的数学模型。假设捕者的总数以 表示,食饵的总数以 表示(此处假设 和 为光滑函数， 如同在例1中所假设的那样,并且设 由于食饵自 身的食物充足，并且有足够的生存空间, 所以在不考虑捕者的情 况下，其增长率为一个常数 (如马尔萨斯方程 所描述的)， 但捕者的存在势必降低了它的增长率，且为了简单，设这种降 低与捕者数量 成正比。这样食饵的增长率为: §2 微分方程模型
§2微分方程模型 其中4和δ为正的常数.类似的讨论可以得出捕者的增长率为： r=-九+0y (1.17) 其中入和o为正的常数.将方程(1.8)中的N(t)分别取为x()与y(t), 并将其中的增长率r分别以(1.17和(1.16)来表示，就得到捕者与 食饵所满足的微分方程组： k =x(-+oy), dt (1.18) y dt =y(u-6x). 观察(1.18)中的两个方程，发现右端都与无关.这启发我们把这 两个方程相除，得到只含变量x与的方程 少Jy(u-δx) (1.19) d x(-元+oy) 结束 上一页返回下一页< 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 (1.17) x r y = − + ， 其中 和 为正的常数.类似的讨论可以得出捕者的增长率为: 观察(1.18)中的两个方程，发现右端都与t无关.这启发我们把这 两个方程相除，得到只含变量x与y的方程 其中和为正的常数.将方程(1.8)中的N(t)分别取为x(t)与y(t) ， 并将其中的增长率r 分别以(1.17)和(1.16)来表示，就得到捕者与 食饵所满足的微分方程组: ( ) (1.18) ( ). dx x y dt dy y x dt = − + = − ， ( ) . (1.19) ( ) dy y x dx x y − = − + §2 微分方程模型
§2微分方程模型 这是一个变量分离的方程，.它可以化为 :(-2+o)=(世-o)k, 由此积分后，得到方程(6.18)的通解为 H(x,y)=6x+oy-ulnx-aIny=h (1.20) 其中h为任意常数。 为了在平面(c,y)上作出曲线族1.20)的图形，我们可 以把它看成三维空间（化，z)中的曲面z=H(化y)与平面z=h 的截痕在平面(cy)上的投影.容易看出 (1)limH(x,y)=+o∞，imH(x,y)=+o∞， x>0+ y>0+ 以及 lim H(x,y)=+o; x++V 》。 (x>0,>0) (2)函数H(x,y)当x>0,y>0时有唯一的逗留点(x,y)月 x- (1.21) 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 这是一个变量分离的方程，它可以化为 为了在平面(x,y)上作出曲线族(1.20)的图形，我们可 以把它看成三维空间(x,y,z)中的曲面z=H(x,y)与平面z=h 的截痕在平面(x,y)上的投影.容易看出 0 0 (1) lim ( , ) lim ( , ) x y H x y H x y → + → + = + = + ， ， 2 2 ( 0, 0 ) lim ( , ) x y x y H x y + → 以及 = +； (2) 函数H x y x y x y ( , ) 0, 0 ( ) 当 时有唯一的逗留点 ， ： x y (1.21) = = ， ， 由此积分后，得到方程(6.18)的通解为 其中h为任意常数。 ( ) ( ) , dy dx y x − + = − H x y x y x y h ( , ) ln ln (1.20) = + − − = §2 微分方程模型