第三章 一外段分方金的部的存在突理 §1.解的存在唯一性定理与逐步逼近法 2.解的延拓 §3.解对初值的连续性和可微性 结束 帮助■ 上一面回下一页 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 §1. 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 §2. 解的延拓 §3. 解对初值的连续性和可微性
§1.解的存在雅一性定理与逐步 通近法 讲授内容：一阶微分方程解的存在唯一性定理 与逐步逼近法 讲授重点：存在唯一性定理的证明 结束 帮助
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 §1.解的存在唯一性定理与逐步 逼近法 讲授内容:一阶微分方程解的存在唯一性定理 与逐步逼近法 讲授重点: 存在唯一性定理的证明
31解的存在唯一性定理与逐步逼近法 上节我们已经讲了，对于初值问题 y'=f(x,y) (2.1) y(xo)=yo 首先我们研究这样两个问题有着特别重要的实际意义： (2.1)的解是否存在？ 2.1)的解是否唯一？在什么条件下，初值问题的解 存在且唯一呢？本章的定理1解决了这一问题。 结束 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 上节我们已经讲了，对于初值问题 首先我们研究这样两个问题有着特别重要的实际意义： = 0 0 = ( , ) (2.1) ( ) y f x y y x y §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 (2.1) 的解是否存在? (2.1) 的解是否唯一? 在什么条件下，初值问题的解 存在且唯一呢？本章的定理1解决了这一问题
3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法 y'=f(x,y) (2.1) y(xo)=yo 设(2.1)中的f(x矩形域 R:x-x≤a,y-y≤b (2.2) 上连续、 如果对于所有的(x,y1),(x,y存在常数 使得L>0 fx,)-f(x,y2)≤Ly1-2 成立，则称f(x在)R上关于y满足Lipschitz条件.L称 Lipschitz常数。 例如，函数f(x,y)在区域： 1≤y≤，浦尽x≤2 Lipschitz条件。因为对V(x,M),(x,y铕∈R w网层去吉k月 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 f x y f x y L y y ( , ) ( , ) 1 2 1 2 − − 例如，函数 在区域： 上满足 Lipschitz条件。因为对 有 f x y y ( , ) = 1 2,0 2 y x 1 2 ( , ),( , ) x y x y R− − = − = − + 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( , ) ( , ) 2 y y f x y f x y y y y y y y 如果对于所有的 ( , ),( , ) x y x y R 1 2 存在常数 , 使得 L 0 设（2.1）中的 f x y ( , ) 在矩形域 − − 0 0 R x x a y y b : , (2.2) 上连续. 成立，则称 在 R上关于 y 满足Lipschitz 条件.L称 Lipschitz常数。 f x y ( , ) §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 = 0 0 = ( , ) (2.1) ( ) y f x y y x y
31解的存在唯一性定理与逐步逼近法 y=f(x,y) (2.1) (o)=o 定理1如果(2.1)中的f(x,y)满足如下两个条件： ()在R中连续；(2)在R上关于y满足Lipschitzs条件， 则方程(2.1)存在唯一的解y=p(x),定义于区间x-x≤h 上连续且满足初始条件： P(xo)=Yo (2.3) b 这里 h=min(a, M=max f(x,y) (x,y)∈R 此定理的证明分了五个部分.由于直接由(2.1)证明有困难.所 以将问题转化，首先证明求(21)的解等价于求积分方程 y=yo+f(x,y)dx 的连续解.证明的第二部分到第五部分证明积分方程的解存在且唯 结束 帮助 上一返回下页 目录 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 此定理的证明分了五个部分. 由于直接由(2.1)证明有困难. 所 以将问题转化, 首先证明求(2.1)的解等价于求积分方程 = + 0 0 ( , ) x x y y f x y dx 定理1. 如果(2.1)中的 满足如下两个条件： (1) 在R中连续；(2) 在R上关于y满足Lipschitz条件. 则方程 (2.1)存在唯一的解 ，定义于区间 上连续且满足初始条件 ： f x y ( , ) y x = ( ) − 0 x x h 0 0 ( ) (2.3) x y = 的连续解. 证明的第二部分到第五部分证明积分方程的解存在且唯 一 . §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 = = ( , ) min( , ), max ( , ) x y R b h a M f x y M 这里 = 0 0 = ( , ) (2.1) ( ) y f x y y x y
3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法 任取一个连续函数，(x)代入积分方程右端的>，得函数 9(x)=y+Jf(s,0,(s)函 注 这里取的P,(x的图象必须在区域R内.因此x-x≤h 时，必须有p,(x)-y≤b成立，否则fx,m,(x)有可能无定义 如果0(x)=(x),那么()就是积分方程的解。否则，再把 ,(x)代入积分方程中右端的y,得到 (可以证明p(x) ,(x)=+∫f(s,9s)b 在区域R内) 如果P2(x)三(x),那么9(x)就是积分方程的解，否则我们继 续这个步骤，一般地作函数 p(x)=y+f(s,pn1(s)达 (2.4) 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 任取一个连续函数 0 ( ) x 代入积分方程右端的 y ， 得函数 = + ( ) 0 1 0 0 ( ) , ( ) x x x y f s s ds ( ) 0 2 0 1 ( ) , ( ) x x x y f s s ds = + 如果 那么 就是积分方程的解。否则，再把 代入积分方程中右端的 ，得到 1 0 ( ) ( ), x x 1 ( ) x y 0 ( ) x （可以证明 在区域R内） ( ) 1 x 如果 ，那么 就是积分方程的解，否则我们继 续这个步骤，一般地作函数 2 1 ( ) ( ) x x 1 ( ) x = + ( − ) 0 0 1 ( ) , ( ) (2.4) x n n x x y f s s ds 这里取的 的图象必须在区域R内. 因此 时, 必须有 否则 有可能无定义 − 0 x x h 0 0 ( ) x y b − 成立， 0 f x x ( , ( )) 0 注 ( ) x §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法 就得到连续函数序列： p1(x)3p2(x),.pn(x)y。 如果p+1(x)=pn(x)那么pn(x)就是积分方程的解。 如果始终不发生这种情况，可以证明函数，p2,P.一致 收敛于p(x),然后证明这个极限函数p(x)就是积分方程(2.4) 的解.此方法称为逐步逼近法；(2.4)称为第n次近似解。 以下只在右半区间[，七，+月上讨论，左半区间上的讨论类似 命题1.设y=p(x)是(2.1)定义于[x,x+止满足 0(x)=y0 (2.3) 的解，则y=p(x)是积分方程 y=+f(s,p(s)达 (2.5) 的定义在x,x+M上的连续解。反之，如果=p(x)是积分方程(2.5) 定义在[x。,x。+h]上的连续解，则y=(x是微分方程(2.1)定义在上 [x,x+列满足2.3)的解. 结束 帮助 首而
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 如果始终不发生这种情况，可以证明函数列 一致 收敛于 ，然后证明这个极限函数 就是积分方程(2.4) 的解.此方法称为逐步逼近法;(2.4)称为第n次近似解。 1 2 , ,., ,. n ( ) x ( ) x 就得到连续函数序列： 1 2 ( ), ( ),. ( ),. n x x x n n +1 ( ) ( ) x x = ( ) n 如果 ，那么 x 就是积分方程的解。 以下只在右半区间 x x h 0 0 , + 上讨论，左半区间上的讨论类似. §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 y x =( ) y x =( ) + 0 0 [ , ] x x h = 0 0 ( ) (2.3) x y = + ( ) 0 0 , ( ) (2.5) x x y y f s s ds + 0 0 命题1. 设 是(2.1)定义于 [ , ] x x h 上满足 的解，则 是积分方程 的定义在 上的连续解。反之,如果 是积分方程(2.5) 定义在 上的连续解, 则 是微分方程(2.1)定义在上 满足(2.3)的解. y x = ( ) 0 0 [ , ] x x h + y x = ( ) 0 0 [ , ] x x h +
®31解的存在唯一性定理与逐步逼近法 证明：设y=p(x为（2.1)的解，故有 do）=f(x,p(x) dx 从而p()-(x,)=f(s,(s)hx∈[，七+ 于是(x)=+f(s,p(s) x∈[xo,x+h] 因此，y=(x是(2.5)定义在[七，七+的连续解。 反之，如果y=p(x是（2.5)的连续解，则有 (x)=yo+["f(s,o(s)ds (2.6 x∈[xo,x+h] 微分之得 do( d 2=f(x,p(x) 由 P(xo)=Yo 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 由 证明：设 y x =( ) 为（2.1）的解，故有 ( ) = ( ) , ( ) d x f x x dx 因此， y = (x) 是（2.5）定义在 x x h 0 0 , + 上的连续解。 反之，如果 y x =( ) 是（2.5）的连续解，则有 微分之得 ( ) ( ) , ( ) d x f x x dx = 0 0 ( ) x y = 于是 + + ( ) 0 0 0 0 ( ) , ( ) , x x x y f s s ds x x x h − = + ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) , ( ) , x x 从而 x x f s s ds x x x h + ( ) 0 0 ( ) , ( ) (2.6) x x x y f s s ds x x x h + 0 0 , §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法 因此，y=p(x)是方程(2.1)的定义于x,≤x≤x,+h上，且 满足初始条件（2.3)的解。 取p(x)=yo,构造Picard逐步逼近函数序列如下： Po(x)=Yo .(=八+f(（5,0n1传)d5’七≤x≤x+h(2.7 n=1,2,.) 这样取得的函数p(x)在[xo,x,+h上是否有定义？是否连续？下 面的命题将对以上问题作出回答。 注 因为fc,y在R内有定义且连续，若p(x)不满足D(x)-yn≤b 则∫f(s,p(s)心没有定义。命题2实际上证明当x∈[s,x+川 时p(x)的图象不超出R 结束 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 因此， 是方程（2.1）的定义于 上 , 且 满足初始条件（2.3）的解。 y = (x) x x x h 0 0 + 取 0 0 ( ) x y = ，构造Picard逐步逼近函数序列如下： ( ) ( ) − = + = + = 0 0 0 0 0 0 1 ( ) , (2.7) ( ) , ( ) 1, 2,. x n n x x y x x x h x y f d n 这样取得的函数 在 上是否有定义？是否连续?下 面的命题将对以上问题作出回答。 因为 在R内有定义且连续,若 不满足 则 没有定义。命题2实际上证明当 时 的图象不超出R ( ) n x x x h 0 0 , + ( ) n x ( )− n n x y b ( ) 0 , ( ) x n x f s s ds x x x h + 0 0 , ( ) n x 注 f x y ( , ) §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法 命题2.对于所有的正整数n,(2.7)中的p(x)在[Xo,x,+h上有定义， 连续且满足 pn(x)-y≤b (2.8) 证明：用数学归纳法证明。当=1时 m,(x)=+Jf(5y)15 ,(x)在[x,x+小上有定义，连续且 lA,(x)-l≤f5,)lh5≤M(x-x)≤Mh≤b 即命题2当n=1时成立.设当=k时，p(x)在[xo,x+h上有定 义，连续且满足 9(x)-ya≤b 这时 P+1(x)=o+f(5,P(5)15 结束 帮助 返叵
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 命题2. 对于所有的正整数n, (2.7)中的 在 上有定义， 连续且满足 ( ) n x x x h 0 0 , + − 0 n ( ) 2.8 x y b （ ） 证明：用数学归纳法证明。当n=1 时 ( ) 0 1 0 0 ( ) , x x x y f y d = + 1 ( ) x 在 x x h 0 0 , + 上有定义，连续且 1 0 ( ) x y − 即命题2 当 n=1 时成立. 设当n=k时， 在 上有定 义，连续且满足 ( ) k x x x h 0 0 , + − 0 ( ) k x y b ( ) 0 1 0 ( ) , ( ) x k k x + x y f d = + 这时 §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 0 0 ( , ) x x f y d − M x x Mh ( 0 ) b