第三、第四章组习 y=f(x,) (2.1) 第章 (o)=o (2.2) 应该掌握的基本内容 R:x-x≤a,y-Jy≤b 1初值问题解的存在唯一性定理：条件、结论及证明过程： 定理1 如果(2.1)中的∫(x,y)满足如下两个条件： (1)在R中连续；(2)在R上关于y满足Lipschitz条件 则方程(2.1)存在唯一的解y=p(x),定义于区间x-x≤L连续且 满足初始条件： D(xo)=Yo 这里h=mia(a,名M=思3/xy 2.初值问题解对初值的连续性：条件和结论：
1 第三、第四章复习 第三章 应该掌握的基本内容 1.初值问题解的存在唯一性定理:条件、结论及证明过程； 2.初值问题解对初值的连续性：条件和结论； = 0 0 = ( , ) (2.1) ( ) y f x y y x y 定理1. 如果(2.1)中的 满足如下两个条件： (1) 在R中连续；(2) 在R上关于y满足Lipschitz条件 则方程 (2.1)存在唯一的解 ，定义于区间 上 连续且 满足初始条件 ： f x y ( , ) y x = ( ) x x h − 0 0 0 ( ) x y = = = ( , ) min( , ), max ( , ) x y R b h a M f x y M 这里 − − 0 0 R x x a y y b : , (2.2)
第三、第四章娱习 +g(g) d"x (4.1) dt" +.+n(0+ +a,(t)x=f(t) d d"x +4() +a,0x=0 (4.2) dt" 应该掌握的基本内容」 1、基本概念：函数组线性相关性；Wronsky行列式；基本解组；特征值与 特征向量 2、基本理论和定理 1初值问题解的存在唯一性定理：条件、结论； 2、线性方程的解的性质，组要是： （1)齐线性方程的解的叠加性；(2)非齐线性方程的解的叠性； (3)n阶齐线性方程的所有解的构成一个n维线性空间； (4)基本解组的以任意常数为系数的线性组合构成齐线性方程的通解； (5)非齐线性方程的通解可表为它的一个特解与对应的齐线性方程的通解2 之和
2 第四章 第三、第四章复习 应该掌握的基本内容 1 1 1 1 ( ) . ( ) ( ) ( ) (4.1) n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt − + + + + = − − 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 (4.2) n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt − + + + + = − − 1.初值问题解的存在唯一性定理:条件、结论； 2、线性方程的解的性质，组要是： （1）齐线性方程的解的叠加性；（2）非齐线性方程的解的叠性； （3）n阶齐线性方程的所有解的构成一个n维线性空间； （4）基本解组的以任意常数为系数的线性组合构成齐线性方程的通解； （5）非齐线性方程的通解可表为它的一个特解与对应的齐线性方程的通解 1、基本概念：函数组线性相关性；Wronsky行列式；基本解组；特征值与 特征向量 2、基本理论和定理 之和
第三、第见章鬼习 (6)齐线性方程的通解包括了该方程的所有解 3、熟练掌握线性方程的解法： (1)求常系数齐线性方程的基本解组的特征根法(Euler待定指数函数法) (2)求常系数非齐线性方程的特解的待定系数法和Laplace?变换法； (3)求一般常系数非齐线性方程的特解的常数变易法： 4、Euler方程 r, xnd"y n-+a1x +d.y=0 的解法 5、定理3-7
3 第三、第四章复习 3、熟练掌握线性方程的解法： （1）求常系数齐线性方程的基本解组的特征根法（Euler待定指数函数法） （2）求常系数非齐线性方程的特解的待定系数法和Laplace变换法； （3）求一般常系数非齐线性方程的特解的常数变易法； 4、Euler方程 1 1 1 1 1 . 0 n n n n n n n n d y d y dy x a x a x a y dx dx dx − − + + + = − − 的解法 5、定理3-7 （6）齐线性方程的通解包括了该方程的所有解
第三、第四。第五章煜习 第五章： x=A(t)x+f(t) 应该掌握的基本内容： =A()x 1、基本概念：向量和矩阵的范数；向量函数组的线性无关性；Wrongsky行列 式；解矩阵；基本解矩阵；矩阵指数；特征值与特征向量； 2、基本理论和定理： (1)线性方程初值问题解的存在唯一性定理：条件、结论； (2)齐线性方程组的解的叠加性； (3)齐线性方程组解的结构（定理6或定理1*)； (4)非齐线性方程组的解的结构（常数变易公式5.27）； (5)Liouville公式 (6)同一方程组中不同基本解矩阵之间的关系（推论1*） （7)化n阶方程式为n维一阶方程组；
4 第三、第四，第五章复习 应该掌握的基本内容： 第五章： 1、基本概念：向量和矩阵的范数；向量函数组的线性无关性；Wrongsky行列 式；解矩阵；基本解矩阵；矩阵指数；特征值与特征向量； 2、基本理论和定理： （1）.线性方程初值问题解的存在唯一性定理:条件、结论； ' x A t x f t = + ( ) ( ) ' x A t x = ( ) （2）齐线性方程组的解的叠加性； （3）齐线性方程组解的结构（定理6或定理1*）； （5）Liouville公式 （4）非齐线性方程组的解的结构（常数变易公式5.27）； （6）同一方程组中不同基本解矩阵之间的关系（推论1*） （7）化n阶方程式为n维一阶方程组；
第三、第四，五章冕习 3、基本解题方法、技巧和公式 第一步：写出特征方程det(A-2E)=0再求出特征根。设其 特征根为入1，入2，入k,重数分别为n1,n2,nk· 第二步：解方程组(A一入，E)”u=0,得n,个向量 山，42，山n,它们构成n维子空间U,的一个基低，即对 任意的v,∈U2 y,=C41+C242+.+Cnum,V=U,+U2+.+Ug 第三步：将初始向量7∈分解： n=y1+2+.+y,其中y,∈U,j=1,2,k满足 (A-2,E)'y)=0,1≥n,j=1,2,k 这样就得到方程(5.33)满足(0)=n= 解 72
5 3、基本解题方法、技巧和公式 第三、第四，第五章复习 这样就得到方程（5.33）满足 解 1 2 2 (0) = = 第一步：写出特征方程 det( ) 0 A E − = 再求出特征根。设其 特征根为 1 2 , ,., , k 重数分别 为 1 2 , ,., . n n nk 第二步：解方程组 ( ) 0, nj A E u − = j 得 nj 个 向量 1 2 , ,., , u u un 它们构成 nj 维子空间 U j 的一个基低，即对 任意的 , j j v U . V U U U = + + + 1 2 k . , j j j 1 1 2 2 n n v c u c u c u = + + + ： 第三步：将初始向量 V 分解： 1 2 = + + + = v v v v U j k . , , 1,2,. k j j 其中 满足 ( ) 0, , 1,2,., l A E v l n j k − = = j j j
第三、第四。第五章复习 p(t)=(exp At)n=ei 24-]752 )若有个互异的特征根入1，乙2，入x,(在上面的情形中 n,=1,k=n),则(5.52)变为 )=会eEv,-会"四 而)若A只有一个特征根入，即2为A的n重根， 即-客H-A 我们也可以从(5.52)中得到exp At .令 0 0 e1,7 e) 0 0
6 1 0 ( ) (exp ) ( ) 5.52 ! （ ） n i t i i t t At e A E i − = = = − 第三、第四，第五章复习 i) 若 有 n 个互异的特征根 1 2 , ,., , k （在上面的情形中 1, ), n k n j = = 则（5.52）变为 A 1 1 ( ) j j n n t t j j j j t e Ev e v = = = = ii) 若 A 只有 一 个特征根 ，即 为 A 的 n 重根， 1 0 exp ( ) ! n i t i i t At e A E i − = == − ∴ 令 1 2 1 0 0 0 1 0 , ,., : : : 0 0 1 e e en = = = = = = 我们也可以从(5.52)中得到 exp At
第三、第四，第五章星习 得n个解(exp At)e1,(exp At)e2,(exp At)en (t)=[(exp At)e,(exp At)ez,.,(exp At)e,]=(exp At)E=exp At 注 如果有不同的特征根入1，入2，对应的特征向量 V13 V22.Vn (t)=(eav,et v2emvn) 是(5.33)的一个基解矩阵，且 exp t=(t)(0) ①
7 1 2 得n At e At e At e 个解(exp ) ,(exp ) ,.,(exp ) n ， 第三、第四，第五章复习 1 2 ( ) [(exp ) ,(exp ) ,.,(exp ) ] (exp ) exp n = = = t At e At e At e At E At 如果 有 个不同的特征根 n 1 2 , ,., ,对应的特征向量 n 1 2 , ,., v v vn 注: A 1 2 1 2 ( ) ( , ,., ) t t n t n t e v e v e v = 是（5.33）的一个基解矩阵，且 1 exp ( ) (0) At t − =
第三、第四章冕习 练习： 1、试判断方程=xa在区域 dx 1)R:-1≤x≤1,0≤y≤π； 2风1x14y平 上是否满足解的存在唯一性的条件 解D不满足.因为在区域R,上，方程右段函数以xa0当)=乃时不连续， 解2)满足.因为在区域R2上，方程右端函数f,戶xtay连续且 fx以 cos"y ≤2有界
8 第三、第四章复习 练习： 1 dy = xtany dx 、试判断方程 在区域 1 2 1 : 1 1,0 ; 2) : 1 1, ; 4 4 R x y R x y − − − ） 上是否满足解的存在唯一性的条件 1 f(x, y) xtany y = 2 解 ）不满足 1 .因为在区域R 上，方程右段函数 = 当 时不连续. 2 y f(x, y) xtany x f (x, y) y 2 2 解 ）满足.因为在区域R 上，方程右端函数 = 连续且 = 2有界. cos
上第三、第四章螺习 三、证明若y=y(x)是微分方程y=p(x)yV1+y的满足y(O)=0的解，则y)三0， 其中p(x)是-o<x<+oo上的连续函数. #右常至就FF”-金全半在线 因而过平面上任一点，y,所给方程的解存在且唯 因为0是方程满足y0)=O的解，由解的唯一性得y(t)≡0 ①
9 第三、第四章复习 2 ( ) ( ) 1 (0) 0 0, ( ) y y x y p x y y y y(x) p x x = = + = − + 三、证明若 是微分方程 的满足 的解，则 其中 是 上的连续函数. 2 2 ( ) 1 ( ) 1 , y 0 0 y f(x, y)= p x y y f (x, y)= p x y (x , y ) + + 解 右端函数 及 在全平面连续， 因而过平面上任一点 所给方程的解存在且唯一. 因为0 ( ) 0 是方程满足y(0)= 0 y t 的解，由解的唯一性得
第三、第四章组习 四、p(x)在区间-0<x<+0上连续，试证明方程 y =o(x)sin y d 的所有解的存在区间必为(-0，+∞) 解方程右端函数f(x,y)=p(x)siny在全平面连续，因而过平面上任一 点(x,y)的解存在方程过(x,y,)的解为 10 ①
10 第三、第四章复习 四、( )x x 在区间− +上连续，试证明方程 ( )sin dy x y dx = 的所有解的存在区间必为（- ，+ ） 0 0 0 0 ( , ) ( )sin ) . ) f x y x y x , y x , y 解 方程右端函数 = 在全平面连续，因而过平面上任一 点( 的解存在方程过( 的解为