1.设随机变量X,X2,X相互独立且同分布， =2x,s=m2 n台 1(X,-X2,DX,)=o2则 S()。 A、是O的无偏估计B、是O的最大似然估计 C、是O的一致估计D、与X相互独立 [答案：选：C 2.设总体X的概率密度为 f=8+0r°，0-1,X,X2,.Xn是取自总体的简单随机样本， 用矩法估计和极大似然估计法求的估计量。 解：E(X=xO+1x=9+l 0+2 0+2解得：6=2r-1 令F=日+1 1-F,此即8的矩估计 量。设似然函数 L(@)=Π(0+1)x(0<x,<上i=1,2,.,m)对此式取 对数，即：InL(0)=nln(0+)+0∑lnx,且 =1 dln=”+2nx令n-0,可得 d00+1'台 de 6=-1-” Inx ，此即B的极大似然估计量
1． 设随机变量 X1 , X 2 ,", X n相互独立且同分布， ∑= = n i Xi n X 1 1 ，S = 2 ∑= − − n i Xi X n 1 2 ( ) 1 1 ，D 则 （ ）。 2 (Xi) = σ S A、是σ 的无偏估计 B、是σ 的最大似然估计 C、是σ 的一致估计 D、与 X 相互独立 [答案：选：C] 2． 设总体 X 的概率密度为 其中未知参数 + −1 X X "Xn , , ， 1 2 是取自总体的简单随机样本， 用矩法估计和极大似然估计法求θ 的估计量。 解： 2 1 ( ) ( 1) 1 0 + + = + = ∫ θ θ θ θ E X x x dx 令 2 1 + + = θ θ X ，解得： X X − − = 1 2 1 ˆθ ，此即θ 的矩估计 量。设似然函数 对此式取 对数，即： 且 n) i x ( ) ( 1) (0 1,2, , 1 L x n i = ∏ + i " = θ θ θ ∑= = n i L 1 ln (θ ) θ ln x 1; i < i < = nln(θ +1) + ∑= + + = n i i x n d d L 1 ln 1 ln θ θ 令 0, ln = dθ d L 可得 ∑= = − − n i i x n 1 ln 1 ˆθ ，此即θ 的极大似然估计量
3. 设总体X的概率密度为： f=/20-)00 f(x,0)= 0,x≤0其中0>0为未知参 数。由设1x2,xm是X的一组样本观测值， 求参数0的最大似然估计值
3． 设总体 X 的概率密度为： − = − − θ θ θ θ x e x f x x 0 , 2 , ( ; ) 2( ) θ > 0为未知参 数。由设 是 X 的一组样本观测值， 求参数 n x x , , x 1, 2 " θ 的最大似然估计值
解：似然函数为： 40)=2”e94-0 x,>0(=1,2,m)取对数 得1nL(0)=nln2-22x-0)由于 =1 dln(0=2n>0,则L(0)单调增加，因8必须 满足x,>0(=1,2,.,n)因此当0取 x,x2,.,xn中的最小值时，L()取最大值，所 以0的最大似然估计值为：0=min{xx2,.,xn} 5. 设总体X的概率密度为 f(x)= ar-e,x>0(>0,a>0)据来 0,x≤0 自总体X的简单随机样本(X,X2,.,Xn),求未 知参数入的最大似然估计量。 解：由X~f(x)= amr-e，x>0 0，x≤0得总体x 的样本(X,X2,Xn)的似然函数 Lo)ae=(ia)"exp 再取对数得：lnL=nln(a)-2x°+(a-l21nx) dnL-m-立x“令 再求nL对元的导数：状弘习
解：似然函数为： 取对数 得 由于 ( ) 2 ( 1,2, , ) 1 2 ( ) L e xi i n x n n i i > = " ∑ = = − − θ θ θ ln L(θ ) = nln 2 − 2∑(xi −θ ) = n i 1 2 0 ln ( ) = n > d d L θ θ ，则 L(θ ) 单调增加，因θ 必须 满足 xi >θ (i =1,2,",n) 因此当θ 取 x1, x2 ,", xn 中的最小值时， L(θ )取最大值，所 以θ 的最大似然估计值为：θ =min{ } ˆ x x , 1, 2 n ", x 5． 设总体 X 的概率密度为 据来 自总体 ,( 0, 0) 0 , 0 , 0 ( ) 1 > > ≤ > = − − a x e x f x a a x λ λ λax X 的简单随机样本 ，求未 知参数 ( , , , ) X1 X2 " Xn λ 的最大似然估计量。 解：由 得总体 的样本 的似然函数 再取对数得：ln 再求 ≤ > = − − 0 , 0 , 0 ~ ( ) 1 x ax e x X f x a a λx λ ( , , , ) X1 X2 " Xn ∑ − = − = = − x n n i a xn axi e a a i 1 1 2 , , ,λ) λ (λ ) exp[ λ " λ ∑= = − + − n i a L n a xi a 1 ln(λ ) λ ( X a i x 1 i x ) ∑ ∑= − = n i n i a i L x x x 1 1 1 ( , ] ∑= n i 1 1) ln( ln L对 λ 的导数： ∑= = − n i i x a an d d L 1 ln λ λ a 令
n=”-2x”=0,得2=” 所以未知参数 九的最大似然估计量为乞x n 6.设容量为n的简单随机样本取自总体 N(3.4,36),且样本均值在区间(1.4,5.4)内的概率不 小于0.95，问样本容量n至少应取多大？ 解：设X,X2,.Xn是取自总体的简单随机样本，则 了-之x~NG49又自于： ni P1,4<X<5.4=P nx-3.4√n 3 6n 3 则： -1≥0.95 3 ≥0.975，查表得 ≥1.96，n≥(1.96×3)≈34.6即知样本容 3 量n至少应取35. 7.设总体X的方差为1，据来自X的容量为100 的简单随机样本，测得均值为5，则X的期望的 置信度近似等于0.95的置信区间为()。 [答案：填：(4.8,5.2)]
0 ln 1 = −∑ = = n i a i x a an d d L λ λ ，得 ∑= = n i a i x n 1 λ 所以未知参数 λ 的最大似然估计量为 ∑= n i a i x n 1 。 = 1,4 6． 设容量为 n 的简单随机样本取自总体 N ( 3.4, 36 ),且样本均值在区间(1.4,5.4)内的概率不 小于 0.95,问样本容量 n 至少应取多大？ 解：设 X1 , X2 ,"Xn是取自总体的简单随机样本，则 ) 1 62 n n X ~ (3.4, 1 X N n i ∑ i = 又由于： 1 0.95 3 6 3 3.4 3 { − ≥ < − < − < n n n n X P 2 5.4} = Φ X < = P 则： ≥ 0.975 3 Φ n ，查表得 (1.96 3) 34.6 2 1.96, ∴n ≥ × ≈ 3 ≥ n 即知样本容 量 n 至少应取 35. 7． 设总体 X 的方差为1，据来自 X 的容量为100 的简单随机样本，测得均值为 ，则 的期望的 置信度近似等于 的置信区间为（ ）。 [答案：填： ] 5 (4 X .2) 0.95 .8,5
解答：据题意可知，X~N(4,), 高芝向且而2=5，由 1-=0.95,即a=0.05,查表得4os=1.96, 可知 pE-A<16=P- x1×1.96<4<x+×1.96 1010 =P4.8<<5.2}=0.95因而总体x的期望的 置信度近似等于0.95的置信区间为(4.8,5.2)。 8.由来自正态总体X~N(4,0.92),容量为9的简 单随机样本，若得到样本均值=5，则未知参 数4的置信度为0.95的置信区间为( )。 [答案：填：(4.412,5.588)1 解答：据题意可知P5-H 1o.9M00s =1-0.05=0.95, R09 5-4 4,s=03x196=0588由0.99 <0.05, 得5-0.588<4<5+0.588，即 4∈(4.412,5.588)。 9.假设0.50,1.25,0.80,2.00是总体X的简单随机样 本值，己知Y=lnX服从正态分布N(4,l)。 (1)求X的数学期望EX(记Ex为b): (2)求4的置信度为0.95的置信区间： (3)利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区 间
解答：据题意可知， X ~ N(µ,1)， ) 100 1 ~ ( , 100 1 100 1 X X N µ i ∑ i = = 且 5 100 1 ∑ = i= i x 100 1 x = ，由 1−α = 0.95 ，即α = 0.05，查表得 1.96 µ0.05 = ， 可知 + ×1.96 10 1 P x = = < < − 1.96 1 10 x x P µ µ {4.8 5.2 − ×1.96 < 10 1 } 0.95 = P < µ < X 0 ( 因而总体 的期望的 置信度近似等于 .95的置信区间为 。 X 4.8,5.2) ~ ( ,0.9 ) 9 2 N µ X = 5 µ 0.95 (4.412,5.588) 1− 0.05 = 0.95 0.9 9 5 − µ P = 0.3 1.96 0.588 9 0.9 u0.05 = × = 0.05 9 < µ µ µ < 5 588 ) ,0.80, ln X N(µ,1) b 0.95 8． 由来自正态总体 ，容量为 的简 单随机样本，若得到样本均值 ，则未知参 数 的置信度为 的置信区间为（ ）。 [答案：填： ] 解答：据题意可知 < µ 0.05 ， 又 由 0.9 5 − + 0.588 ， 得5 − 0.588 < ，即 µ ∈ (4.412 ,5. 。 9. 假设0.50,1.25 2.00 是总体 X 的简单随机样 本值，已知Y = 服从正态分布 。 （1）求 X 的数学期望 EX （记EX 为 ）； （2）求 µ 的置信度为 的置信区间； （3）利用上述结果求b 的置信度为 的置信区 间。 0.95
解：(1)Y的概率密度为： 万e∞<y<+∞，于是，（令 f(y)= 1=y-u)b=EX=Ee'=- 1 了e "e 2dt √2π -00 +1 eihe -1dh=e“+号 (2)当置信度1-a=0.95时，a=0.05。标准 正态分布的水平为a=0.05的分位数为 4s=1.96。故由7~N(“,),可得 其中7-4h05+lh08+ln0.125+h2)=寻nl=0 于是，有P{0.98<4<0.98}=0.95从而 (-0.98,0.98)就是4的置信度为0.95的置信区间。 (3)由函数e的严格递增性，可见 095=P-048<u+148=P“<e4<e 因此b的置信度为0.95的置信区间为 (e048,e48)
解：（1）Y 的概率密度为： = −∞ < < +∞ − − f y e y y ( ) , 2 2 ( µ ) 2π 1 ，于是，（令 t = y − µ ） EX Ee e e dy y Y y ∫ +∞ −∞ − − = = = 2 ( ) 2 2 1 µ π b e e e e e dt dt t t t 2 2 1 2 1 2 ( 1 ) 2 2 1 2 1 − − + ∞ ∞ + +∞ − ∞ + − = = = ∫ ∫ µ µ µ π 2 1 + − π （2）当置信度1−α = 0.95时，α = 0.05。标准 正态分布的水平为α = 0.05 的分位数为 1.96 µ0.05 = 。故由 ) 4 1 Y ~ N (µ , ，可得 1.96 96 0.95 1 2 = < < Y − P µ µ 1. 2 1 1.96 <Y + × 2 1 =P Y − × 其中 (ln0. 125 1 0 4 1 Y = ln = 4 1 5 + ln0.8 + ln0. + ln 2) = 于是，有 P{− 0.98 < µ < 0.98} = 0.95 (−0.98,0.98) 从而 就是 µ 的置信度为 的置信区间。 （3）由函数 的严格递增性，可见 0.95 x e { } .48 P P e 1 2 1 0.48 = < = − < µ b , ) 0.48 1.48 e e e 0.48 < − µ+ 1.48 2 1 + < 0.95 0.95 (e− 因此 的置信度为 的置信区间为