1.设随机变量X和Y的数学期望分别为 -2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5， 则根据切比雪夫不等式有PX+Y6≤ ()。 解答： [答案填：」 EX+=EX+EY=-2+2=0 DX+Y)=DX+DY+2C0KX.Y)=DX+DY+2PDXDY=3 PX+YB6-P(X+)-ax+nkosax+)_1 3612 2.设E(X)=4,D(X)=o2，,则利用切贝谢 夫不等式可知P(X-4≥3o)≤()。 解答： [答案：填。] 据切贝谢夫不等式：PIX-E(X)PsD2 E29 EDX(X)=g P0X-230)5 1 3.在天平上重复称量一重为Q的物品， 假设各次称量结果互相独立同服从正态 分布N(a,0.2)。若以xn表示n次称量结 果的算术平均值，则为使 P(xm-ad<0.)≥0.95，n的最小值应不小于 自然数()。 [答案：填16]
1． 设随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为 -2和2,方差分别为1和4，而相关系数为-0.5, 则根据切比雪夫不等式有P{|X+Y|≥6}≤ （ ）。 解答： [答案 填：12 1 ] 12 1 36 ( ) {| | 6} {|( ) ( )| 6} ( ) 2 ( , ) 2 3 ( ) 2 2 0, = + ∴ + ≥ = + − + ≥ ≤ + = + + = + + = + = + =− + = D X Y P X Y P X Y E X Y D X Y DX DY CovX Y DX DY DX DY E X Y EX EY ρ XY 2． 设 ，则利用切贝谢 夫不等式可知 2 E(X) = µ,D(X) = σ P( X − µ ≥ 3σ ) ≤（ ）。 解答： [答案：填9 1 ] 据切贝谢夫不等式： 2 ( ) ) | ) ξ ξ D X (| X − E(X ≥ ≤ 2 = σ P , E(X) = µ,D(X) 9 1 (3 ) ) 2 2 ≤ = σ σ P( X − µ ≥ 3σ 3． 在天平上重复称量一重为 的物品， 假设各次称量结果互相独立同服从正态 分布 。若以 a ( ,0.2 ) 2 N a Xn 表示 次称量结 果的算术平均值，则为使 n P( X − a < 0.1) ≥ 0.95 n , 的最小值应不小于 自然数（ ）。 [答案：填16 ] n
4.设随机变量X的方差为2，则根据切 比雪夫不等式有PIX-E(X)22}≤()。 [答案填：] 5.某保险公司经多年的资料统计表明， 在索赔户中被盗索赔户占20%，在随意抽查 的100家索赔户中被盗的索赔户数为随机 变量X。 (1)写出X的概率分布： (2)利用棣莫佛一拉普拉斯定理，求被盗 的索赔户数不少于14户且不多于30户的概 率的近似值。附表： x00.511.522.53 x)0.50.6920.8410.9330.9770.9940.999 解：(1)据题意，可知100家索赔户中被盗 的索赔户数x服从二项分布，其参数 n=100,p=0.2,即X~B(100,0.2),且 P(X=k)=C0×0.2*×0.810-,k=1,2,.,100 (2)由p=100×0.2=20 Vp(1-p)=V100x0.2×0.8=4 得P14≤X≤30)=P-15sX-20≤25) 4 =Φ(2.5)+Φ(1.5)-1 =0.994+0.933-1=0.927
4． 设随机变量 X 的方差为 2，则根据切 比雪夫不等式有 P{| X − E(X ) |≥ 2} ≤（ ）。 [答案 填： 2 1 ] 5． 某保险公司经多年的资料统计表明， 在索赔户中被盗索赔户占 20%，在随意抽查 的 100 家索赔户中被盗的索赔户数为随机 变量 X 。 （1）写出 X 的概率分布； （2）利用棣莫佛—拉普拉斯定理，求被盗 的索赔户数不少于 14 户且不多于 30 户的概 率的近似值。附表： ( ) 5 0 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 1 1.5 2 2.5 3 x x Φ .692 0.5 X 0.2 0. 0 100, 解：（1）据题意，可知 100 家索赔户中被盗 的索赔户数 服从二项分布，其参数 n = p = P(X ) = ，即 ，且 ， X ~ B(100,0.2) k −k × 100 .2 0.8 k = k C × 0 100 k = 1,2,",100 (2)由np =100×0.2 = 20 np(1− p) = 100 × 0.2× 0.8 = 4 得 2.5) 4 20 (14 30) ( 1.5 ≤ − ≤ ≤ = − ≤ X P X P 0.994 0.933 1 0.927 (2.5) (1.5) 1 = + − = = Φ + Φ −
6.一生产线生产的产品成箱包装，每箱 的重量是随机的，假设每箱平均重50千 克，标准差为5千克，若用载重量为5吨 的汽车承运，试利用中心极限定理说明每 辆车最多可以装多少箱才能保障不超载 的概率大于0.977.（①(2）=0.977，其中①(x) 是标准正态分布函数)。 解：设X,=1,2,.n)是装运的第i箱的重量 （单位：千克)，可以将X,X2,.X,视为独立 同分布随机变量，而n箱的总重量 Tn=X,+X2+.+Xn是独立同分布随机变量 之和。由条件知 E(X,)=50,D(X,)=5;E(T,)=50n;D(T)=5/n 根据列维-林德伯格中心极限定理，Tn近似 服从N(50n,25n)分布，则每车的装箱数n决 定于条件： PTn≤5000y=P/7。-50ns5000-50m 5n 5n 1000-10n ≈qΦ >0.977=Φ(2) n 1000-10m>2,从而n<98.019, 由此可见√n 即知每车最多可以装98箱
6． 一生产线生产的产品成箱包装，每箱 的重量是随机的，假设每箱平均重 50 千 克，标准差为 5 千克，若用载重量为 5 吨 的汽车承运，试利用中心极限定理说明每 辆车最多可以装多少箱才能保障不超载 的概率大于 0.977.(Φ(2) = 0.977,其中 是标准正态分布函数）。 Φ(x) 解：设 是装运的第 i 箱的重量 （单位：千克），可以将 视为独立 同分布随机变量，而 n 箱的总重量 X (i 1,2, n) i = " X Xn X X "X n , , 1 2 Tn = X1 + 2 +"+ 是独立同分布随机变量 之和。由条件知 5; E D(Tn ) = 5 n Tn E X D X (Tn ) = 50n; i i ( ) = 50, ( ) = 根据列维-林德伯格中心极限定理， 近似 服从 N(50n,25n)分布，则每车的装箱数 n 决 定于条件： 0.977 (2) 10 5 50 5000 > Φ − − ≤ − n n n n n 1000 5 { 5000} ≈ Φ ≤ = T P T P n n 50 = n 由此可见 2 1000 10 > − n n ，从而 n<98.0199, 即知每车最多可以装 98 箱