综合习题二
1.一袋装有5只球，编号为1,2,3,4,5。在袋中同时 取3只球，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随 机变量X的概率分布。 解： 3 5 p(xi) p(区) 0.1 0.3 0.6 W
1.一袋装有5只球，编号为1，2，3，4，5。在袋中同时 取3只球，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随 机变量X的概率分布。 解： X 3 4 5 p(xi ) p(xi ) 0.1 0.3 0.6 3 5 1 1 C C 3 5 1 1 2 3 C C C 3 5 1 1 2 4 C C C
2.已知一批产品共20个，其中有4个次品，按两种方式 抽样：(1)不放回抽样，抽取6个产品，求抽得的次品 数X的概率分布；(2)放回抽样，抽取6个产品，求抽 得的次品数Y的概率分布。 解：(1)不放回抽样（服从超几何分布H血，M,N),其中 n=6,N=20,M=4. 0 2 3 p() 0.2066 0.4508 0.2817 0.0578 0.0031 共中p0X)=CC空，=0L2.34 C?o
2.已知一批产品共20个，其中有4个次品，按两种方式 抽样：（1）不放回抽样，抽取6个产品，求抽得的次品 数X的概率分布；（2）放回抽样，抽取6个产品，求抽 得的次品数Y的概率分布。 解：（1）不放回抽样(服从超几何分布H(n,M,N)),其中 n=6 ,N=20,M=4. X 0 1 2 3 4 p(xi ) 0.2066 0.4508 0.2817 0.0578 0.0031 , x , , , , . C C C p( x ) i x x i i i 0 1 2 3 4 6 2 0 6 4 1 6 = = − 其中
(2)放回抽样（服从二项分布B(n,p),其中n=6, p=M/N=0.2. 0 4 6 p(yi) 0.2621 0.3932 0.2458 0.0819 0.0154 0.0015 0.0001 其中， py)=Cg0.2y(1-0.2-”,y,=01,23,45,6
（2）放回抽样（服从二项分布B(n,p)）,其中n=6, p=M/N=0.2. Y 0 1 2 3 4 5 6 p(yi ) 0.2621 0.3932 0.2458 0.0819 0.0154 0.0015 0.0001 p( y ) C ( . ) ( . ) , y , , , , , , . j y y y j j j j 0 2 1 0 2 0 1 2 3 4 5 6 6 = 6 − = − 其中
3.对某一目标进行射击，直到击中为止，若每次射击命 中率为p,求射击次数的概率分布。 解：X表示射击次数，显然，X的可能的取值是 1,2,3.。设A={第k发击中}k=1,2,3,. P(X=1)=P(A)=p; P(X=2)=P(A4)=(1-p)P; 这属于几何 P(X=3)=P(AAA3)=(1-p广p;2 分布 所以，X的概率函数为： P(X=k)=P(AA2A-A)=(1-p)-p,k=1,2,3
3.对某一目标进行射击，直到击中为止，若每次射击命 中率为p，求射击次数的概率分布。 解： X表示射击次数，显然，X的可能的取值是 1,2,3.。 P( X k ) P( A A .A A ) ( p ) p k , , ,. X P( X ) P( A A A ) ( p ) p; P( X ) P( A A ) ( p )p; P( X ) P( A ) p; k k k 1 1 2 3 3 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 = = = − = = = = − = = = − = = = − − ， 所以， 的概率函数为： 以此类推 A { k } k , , ,. 设 k = 第 发击中 ， = 1 2 3 这属于几何 分布
4.某射手由5发子弹，连续射击直到击中或子弹用尽为 止，每次射击击中率为0.9，求耗用的子弹数X的概率 分布。（与3题类似，但也有不同） 解：P(X=k)=(0.1K-1.0.9,k=1,2,3,4. 第5次射击有两种情况：子弹用完但未击中，子弹用 完并击中。 P(X=5)=0.1下+0.14.0.9=0.14(0.1+0.9)=0.14
4.某射手由5发子弹，连续射击直到击中或子弹用尽为 止，每次射击击中率为0.9，求耗用的子弹数X的概率 分布。（与3题类似，但也有不同） 解： P( X ) . . . . ( . . ) . . 5 4 4 4 = 5 = 0 1 + 0 1 0 9 = 0 1 0 1+ 0 9 = 0 1 第5次射击有两种情况：子弹用完但未击中，子弹用 完并击中。 P( X k ) ( . ) . ,k , , , . k 0 1 0 9 1 2 3 4 1 = = = −
5.设随机变量x的概率函数为：P(X=k)=a 2 k k=0,1,2,其中2>0，试确定常数.（这道题并没有 说明是泊松分布，故能用泊松分布求解 解烟为2X=-名 k=0 已知∑P(X=k)=1,所以a=e2 k=
) k , , ,., 0 a.( , k! . X P( X k ) a k 说明是泊松分布，故不能用泊松分布求解 其 中 ，试确定常数 这道题并没有 设随机变量 的概率函数为： = = = 0 1 2 5 解： = = = = + = + = + = 0 0 0 k k k k k k! e ae , k! P( X k ) a 注 ： 因 为 P( X k ) , a e . k − + = 已 知 = = 1 所 以 = 0
6.一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一 时刻t,每个设备被使用的概率为0.1，且各个设备的 使用是相互独立的。求在同一时刻被使用的设备数的 概率分布，并求在同一时刻：(1)恰有两个设备被 使用的概率；(2)至少有3个设备被使用的概率； (3)最多有3个设备被使用的概率；(4)至少有1个 设备被使用的概率。 解：设X表示被使用的设备数，X~B(⑤，0.1)，则X的 概率函数： p(x)=P(X=x)=C(0.1)'(0.9)5-x, x=0,1,2,3,4,5
6.一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一 时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，且各个设备的 使用是相互独立的。求在同一时刻被使用的设备数的 概率分布，并求在同一时刻：（1）恰有两个设备被 使用的概率；（2）至少有3个设备被使用的概率； （3）最多有3个设备被使用的概率；（4）至少有1个 设备被使用的概率。 解：设X表示被使用的设备数，X～B(5,0.1)，则X的 概率函数： x , , , , , . p( x ) P( X x ) C ( . ) ( . ) , x x x 0 1 2 3 4 5 0 1 0 9 5 5 = = = = −
X 0 1 2 3 4 5 p() 0.5905 0.3281 0.0729 0.0081 0.00045 0.00001 (1)p(2)=0.0729; (2)之p(x)=Q.0081+0.00045+0.00001=0.0086; x=3 (3)∑p(x)=0.5905+0.3281+0.0729+0.0081=0.9954; x=0 (42p(x)=1-p0)=1-0.5905=0.4095
( ) p( x ) p( ) . . . ( ) p( x ) . . . . . ; ( ) p( x ) . . . . ; ( ) p( ) . ; xxx 4 1 0 1 0 5905 0 4095 3 0 5905 0 3281 0 0729 0 0081 0 9954 2 0 0081 0 00045 0 00001 0 0086 1 2 0 0729 5 13 0 5 3 = − = − = = + + + = = + + = = === X 0 1 2 3 4 5 p(x) 0.5905 0.3281 0.0729 0.0081 0.00045 0.00001
7.设随机变量r~P(元，当m为何值时，概？(X=m) 取得最大值？ 解1：P(X=m)-P(X=m-1)=e 2m-1 e m. (m-11 =e -m (m-11 2m+1 P(X=m-P(X=m+1)= e (m+1)1 冈国团
取得最大值？ 7.设随机变量X ~ P( )， 当m为何值时，概率P( X = m ) 解1： − − = − = − = − = − − − − − − m m ( m )! e e ( m )! e m! P( X m ) P( X m ) m m m 1 1 1 1 1 + + − = + = − = + = − − − + − 1 1 1 1 1 m m m! e e ( m )! e m! P( X m ) P( X m ) m m m