习题3.1 1.求出初值问题y=x+y2,0)=0的第三次近似解，(x), 国-号萄+高+品 2.证明Bellman不等式：设常数k>0,f(x)≥0，和g,(x)和o(x)在[a,]上连续，且满足 不等式 x)sk+fsp(s)ds,a≤xsB 试证： se,a≤x≤B 证：令 R(x)=∫广fsps)s, 则 dR=fxo)≤)+fR) dx 不等式两边同乘以指数函数exp广f(s)ds可得 乐or小]sop(-[ro) 不等式两边从a到x积分得： xp(sd达Rx)≤fio)exp-(sds)d -kexp(f(s)ds)-k1-expf(s)ds) 不等式两边同乘以exp仁fsb每)sk exp(达-I 从而x)≤k+fso(s)达，a≤x≤B 3.设f(x,y)在区域G内连续且对y是单调不增的，试证初值问y=f(x,y),y(x)=乃 的右行解是唯一的. 证：用反证法若右行解不唯一，则存在初值问题的两个解：A(x),吗(x),使得在这两个解 的共同区间[x,b]上是不恒等的
1 习题 3.1 1.求出初值问题 ' 2 y x y y = + = , (0) 0 的第三次近似解 3 ( ). x 答： 2 5 8 11 3 ( ) 2 20 160 4400 x x x x x = + + + 2.证明 Bellman 不等式：设常数 k f x x x 0, ( ) 0, ( ) ( ) , 和 3 和 在 上连续，且满足 不等式 ( ) ( ) ( ) , x x k f s s ds + x 试证： ( ) ( ) , x f s ds x ke x 证：令 ( ) ( ) ( ) , x R x f s s ds = 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). dR x f x x kf x f x R x dx = + 不等式两边同乘以指数函数 ( ) exp ( ) x f s ds 可得 ( ) ( ) exp ( ) ( ) ( )exp ( ) , d x x f s ds R x kf x f s ds dx − − 不等式两边从 到 x 积分得： ( ) ( ) ( ) ( ) exp ( ) ( ) ( )exp ( ) exp ( ) | 1 exp ( ) , x x x x x x f s ds R x kf t f s ds dt k f s ds k f s ds − − = − − = − − 不等式两边同乘以 ( ) exp ( ) x f s ds 得 ( ) ( ) exp ( ) 1 . x R x k f s ds − 从而 ( ) ( ) ( ) , x x k f s s ds + x . 3.设 f x y ( , ) 在区域 G 内连续且对 y 是单调不增的，试证初值问 ( ) ( ) ' 0 0 y f x y y x y = = , , 的右行解是唯一的. 证：用反证法.若右行解不唯一，则存在初值问题的两个解： 1 2 ( x x ), , ( ) 使得在这两个解 的共同区间 x b 0 , 上是不恒等的
令6(x)=[%,(x)-g(x),则 d6因=2[g(付-m(][f飞a(s-f(xA(]s0.≤x≤b dx 即6(x)≤0，x≤x≤b,所以6(x)=0,与假设矛盾证毕 4.假设f(x,y)在G={《x,y川a≤x≤By∈R上连续，且关于y满足Lipschit条件， (Lipschit常数为机)试证初值问题y=f(x,y),y(x)=%在整个区间[a,例上唯一存 在 证：在解的存在唯一性定理的证明中稍作修政就可以证明在本题的条件下，解的存在区 间是在整个区间[α，B]上的.（相应的定理称为解的全局存在唯一性定理）.我们只就区间 [x,刊上证明，即证明在区间[x,]上存在唯一解在证明中只指出和教程上的证明不同的 地方 改记M=maX/(k,儿h=B-,则和教程上的证明一样，可得逐次适近序列 {9.(x)},它是有界的，并且Ip,(x)凶l+M(e-)/L,因此逐次逼近序列有意义以下 证明同教程 习题3.2 1.设(x,)在R上连续，求证：对x∈R,只要充分小，初值问题 y=(y2-e2）)f(x,y)y(o)=的解必可延拓到[o+o∞) 证：对于x∈R,取%)之间的区域D中这样再由延拓定理可知，右行解 一直可以向右延拓到正无穷大用反证法：（由于x=x时，积分曲线位于D中）不然，积分 曲线就要在某个时刻x=x>x时与曲线y=2初次相交，即在区间[xo,x)上积分曲线 位于D中，而y(x)儿=一，但是，在点(，y(:)上，积分曲线切线的斜率等于零，就是 说，积分曲线在点(,()》是从D外进入D内的，得矛盾证毕 2设初值月题少=sm兰K)=儿的解为y=pk七，)，试求2(k无)和
2 令 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 x x x = − , 则 ( ) 2 , , 0, 2 1 2 1 0 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) d x x x f x x f x x x x b dx = − − 即 ( ) 0 x x x b 0, , 所以 ( x) 0, 与假设矛盾.证毕. 4.假设 f x y ( , ) 在 G x y x y R = ( , | , ) 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件， (Lipschitz常数为L).试证初值问题 ( ) ( ) ' 0 0 y f x y y x y = = , , 在整个区间 , 上唯一存 在. 证：在解的存在唯一性定理的证明中稍作修改就可以证明在本题的条件下，解的存在区 间是在整个区间 , 上的.（相应的定理称为解的全局存在唯一性定理）.我们只就区间 x0 , 上证明，即证明在区间 x0 , 上存在唯一解.在证明中只指出和教程上的证明不同的 地方. 改记 ( ) ( 0 0 ) , max| , |, , x y R M f x y h x = = − 则和教程上的证明一样，可得逐次逼近序列 ( ), n x 它是有界的，并且 | | | | 1 / , ( ) 0 ( ) Lh n x y M e L + − 因此逐次逼近序列有意义.以下 证明同教程. 习题 3.2 1. 设 f x y ( , ) 在 2 R 上连续，求证：对 0 x R ，只要 0 y 充分小，初值问题 ( ) ( ) ( ) ' 2 2 0 0 , , x y y e f x y y x y = − = 的解必可延拓到 x0 , . +) 证：对于 0 x R ，取 0 0 x y e ，我们证明，这时初值问题的解的右行解 y x( ) 的积分 曲线始终位于两曲线： ,( 0 ) x y e x x = 之间的区域 D 中.这样再由延拓定理可知，右行解 一直可以向右延拓到正无穷大.用反证法：（由于 0 x x = 时，积分曲线位于 D 中）不然，积分 曲线就要在某个时刻 1 0 x x x = 时与曲线 2 2x y e = 初次相交，即在区间 x x 0 1 , ) 上积分曲线 位于 D 中，而 ( ) 1 1 x y x e = ，但是，在点 ( x y x 1 1 , ( )) 上，积分曲线切线的斜率等于零，就是 说，积分曲线在点 ( x y x 1 1 , ( )) 是从 D 外进入 D 内的，得矛盾.证毕. 2.设初值问题 ( ) ' 0 0 sin , y y y x y x = = 的解为 y x x y = ( , , 0 0 ) ，试求 ( 0 0 ) 0 x x y , , x 和
8器(x为)当-1-0的表达式 条瓷（红）用架xx)当=山儿=0时的表达式分别是微分方程 y d x2: dx 分激满足初胎条件：0=0和：0=1的解所心2(xL0)=0及于o(L0小=0， 代入上式湘0L0小= p,1,0) cos 之d 3.设f(x,y)在G连续可微，试证初值问题 y=f(xy)y()=%的解y=p(x,x,)满足恒等式 正：国为瓷)和器x)部是一阶提性齐次方把 是满足初始条件z(x)=0的解另外z=0也是满足初始条件：(3)=0的解另外也是满足 初始条件的解，由解的唯一性，(x)三0 习题3.3 1求解下列隐方程 1)x=y-y2+2y
3 ( 0 0 ) 0 x x y , , y 当 0 0 x y = = 1, 0 时的表达式. 解: ( 0 0 ) 0 x x y , , x 和 ( 0 0 ) 0 x x y , , y 当 0 0 x y = = 1, 0 时的表达式分别是微分方程 ( ,1,0) cos x dz x z dx x = 分别满足初始条件 z(1 0 ) = 和 z(1 1 ) = 的解.所以 ( ) 0 x,1,0 0 x = 及由于 ( x,1,0 0 ) = , 代入上式得 ( ) 0 x x ,1,0 y = . 3.设 f x y ( , ) 在 G 连续可微，试证初值问题 ( ) ( ) ' 0 0 y f x y y x y = = , , 的解 y x x y = ( , , 0 0 ) 满足恒等式 ( 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( ) 0 0 x x y x x y f x y , , , , , 0 x y + . 证：因为 ( 0 0 ) 0 x x y , , x 和 ( 0 0 ) 0 x x y , , y 都 是 一 阶 线 性 齐 次 方 程 ( , , , 0 ( 0 0 )) dz f x x x y z dx y − = 的解，所以 ( ) ( 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( ) 0 0 z x x x y x x y f x y , , , , , x y = + 是满足初始条件 z x( 0 ) = 0 的解.另外 z = 0 也是满足初始条件 z x( 0 ) = 0 的解.另外也是满足 初始条件的解，由解的唯一性， z x( ) 0. 习题 3.3 1.求解下列隐方程 1） '2 ' x y y y = − + 2 ( ) ( ) 1 0 ,1,0 cos ,1,0 exp x t t x dt x t =
答：由y=P,y=x+p2-2p消去y得1+2(p-)p/-p=0,整理得 (p-1)(2p/k-1)=0,由p=1,得特解y=x-1,由2dp/k=1得p=x/2+c+1 故通解：y=x+(x/2+c)-1. 2)y=y++y 答：是Clairaut方程，通解为y=cx+√+c特解为y=V-x这特解是奇解，因 为Clairaut方程的特解就是通解的包络，从而是奇解.（可以验证它是包络，如将特解写成参 数形式一m=m,[引则过箱#的积分曲线上的任意一点 (-sint,cost)有通解中取c=tant时的积分曲线y=xtant+sec1) 3)y2+9y-y=0 台是Qa方花通为y=a+e,将解=子超家是奇银 4)y3-y2-1=0 答：是Clairu方程，通解为y=cx-e3,特解y=-号2云这是特解是奇解 )y=2x+y- 答：通解为 x=-p2-2p-3n[c(p-2小，y=-p2-3p-61n[c(p-2]-3p特解为 少=2一号它不是奇解、因为道解的每条积分鱼线（在切线斜率刀=-1的点上）和特解 (切线斜率为2)相交而不相切，故不是奇解 6-y=号2-27 解引滋参数p=小，方程国写成参数形式)广=p、=一号”+分只，蒲去y得故 1-名m+p2p-p=0,整理得(p-l8pm19-1)=0由，8m/9-1=0即 4/9d(p)/d=1,积分得p=±3+c/2,代入y的表达式得通解 =+(+e儿+c-小由p-10,代入y的表达式得特解：y=一分 2.利用Clairaut方程构造一个以y=p(x)为奇解的一阶方程，这里假设o∈C[a,b],且 4
4 答：由 ' 2 y p y x p p = = + − , 2 消去 y 得 1 2( 1) / 0 + − − = p dp dx p ，整理得 ( p dp dx − − = 1 2 / 1 0 )( ) ，由 p =1，得特解 y x = −1，由 2 / 1 dp dx = 得 p x c = + + / 2 1 故通解： ( ) 2 y x x c = + + − / 2 1. 2) ' '2 y xy y = + +1 答：是 Clairaut 方程，通解为 2 y cx c = + +1 .特解为 2 y x = −1 .这特解是奇解，因 为 Clairaut 方程的特解就是通解的包络，从而是奇解.（可以验证它是包络，如将特解写成参 数形式 x t y t = − = sin , cos , , 2 2 t − ， 则 过 特 解 的 积 分 曲 线 上 的 任 意 一 点 (−sin ,cos t t) 有通解中取 c t = tan 时的积分曲线 y x t t = + tan sec ）. 3) '2 ' y xy y + − = 0 答：是 Clairaut 方程，通解为 2 y cx c = + ，特解 2 4 x y − = .这特解是奇解. 4) '3 '2 xy yy − − =1 0 答：是 Clairaut 方程，通解为 2 y cx c − = − ，特解 3 3 2 2 2 y x = − .这是特解是奇解. 5) ' '3 1 2 3 y x y y = + − 答：通解为 ( ) 1 2 2 3ln 2 2 x p p c p = − − − − ， ( ) 2 3 1 3 6ln 2 3 y p p c p p = − − − − − .特解为 2 2 3 y x = − .它不是奇解，因为通解的每条积分曲线（在切线斜率 p = −1 的点上）和特解 （切线斜率为 2）相交而不相切，故不是奇解. 6) 4 8 '2 '3 9 27 x y y y − = − 解：引进参数 ' p y = ，方程可写成参数形式 ' y p = ， 4 8 '2 '3 9 27 y x y y = − + ，消去 y 得故 2 8 ' 2 ' 1 0 9 9 − + − = pp p p p ， 整 理 得 ( )( ) ' p pp − − = 1 8 / 9 1 0 由 ， ' 8 / 9 1 0 pp − = 即 ( ) 2 4 / 9 / 1 d p dx = ， 积 分 得 p x c = + 3 / 2 ，代入 y 的 表 达 式 得 通 解 y x x c x c = + + + − ( ) 1 ，由 p − =1 0 ，代入 y 的表达式得特解： 4 27 y x = − . 2. 利用 Clairaut 方程构造一个以 y x = ( ) 为奇解的一阶方程，这里假设 1 C a b, ，且
p(x)为x的严格单调函数 解：令p=p(x),因p(x)为x的严格单调函数它有反函数，设为x=(p),设过函数 y=p()的图像上的点的切线方程为Clairaut方程y=x+f(p）,其中p=攻则可见在 切点上必有f(p)=p(x)-pm=p(w(p)-pw(p),容易验证y=p(x)是这个Clairau 方程的一个奇解 3.已知Riccati方程y=cosx-(y-sinx)}'有解y=sinx.若以y=p(x,x,%)记该方程 满足初始条件6)=%的解，试求出2(x0,1)和9（飞0，) 解：9引入新的末知，满是=血x+士代入方程得密-1，积分得u=+e,从面 该Riccati方程的通解为y=sinx+ x中。满足初始条件0)=1的特解为 1 )=于，所求的两个时都是性不次分方会一子的解，分 别满足初始条件：(O)=-（cosx-(y-sinx)）儿==0，和(0)=1，由线性方程的通解 可，由初始条件，分别得c=0及c=1,放8架k0)=0, 是2= =(e+ 4.假设函数f(x,y)在区域GcR中关于y满足以L为Lpschitz常数的pschit证条件， p(x)和w(x)为方程y=f(x,y)在[a,b]上的两个解，x∈[a,b小，试证： p(x)-w(x≤e华-p(x)-w(x对r∈[a,b] 证明：利用习题13第2题结果来证。 思考题12.假设函数f(x,y)和g(x,y)在GcR中连续，且对x∈[a,b)有 f(x,y)sg(xy):如果(x)和w(x)分别为方程y=f(xy)和y=g(xy)在区间 [a,b)上满足同一初始条件y(a)=的解，若p(x)与(x)中至少有一个初始问题在区间 [a,b)上的唯一解，试证在区间[a,b)上，p(x)≤y(x) 证明：若y(x)是初始问题在区间[a,b)上的唯一解，由题意
5 ( ) ' x 为 x 的严格单调函数. 解：令 ( ) ' p x = ，因 ( ) ' x 为 x 的严格单调函数.它有反函数，设为 x p = ( ) ，设过函数 y x = ( ) 的图像上的点的切线方程为 Clairaut 方程 y px f p = + ( ) ，其中 dy p dx = 则可见在 切点上必有 f p x px p p p ( ) = − = − ( ) ( ( )) ( ) ，容易验证 y x = ( ) 是这个 Clairaut 方程的一个奇解. 3.已知 Riccati 方程 ( ) 2 ' y x y x = − − cos sin 有解 y x = sin .若以 y x x y = ( , , 0 0 ) 记该方程 满足初始条件 y x y ( 0 0 ) = 的解，试求出 ( ) 0 x,0,1 x 和 ( ) 0 x,0,1 y . 解：引入新的未知数 u ，满足 1 y x sin u = + ，代入方程得 1 du dx = ，积分得 u x c = + ，从而 该 Riccati 方 程 的 通 解 为 1 y x sin x c = + + ， 满 足 初 始 条 件 y(0 1 ) = 的特解为 1 sin 1 y x x = + + ，于是，所求的两个偏导数都是线性齐次微分方程 2 1 dz z dx x = − + 的解，分 别满足初始条件 ( ) ( ( ) ) 2 0, 1 0 cos sin | 0 x y z x y x = − − − = = = ，和 z(0 1 ) = ，由线性方程的通解 是 ( ) 2 1 c z x = + ， 由 初 始 条 件 ， 分 别 得 c = 0 及 c =1 ， 故 ( ) 0 x,0,1 0 x = ， ( ) ( ) 2 0 x x ,0,1 1 y − = + . 4. 假设函数 f x y ( , ) 在区域 2 G R 中关于 y 满足以 L 为 Lpschitz 常数的 Lpschitz 条件， ( x) 和 ( x) 为方程 ( ) ' y f x y = , 在 a b, 上的两个解, x a b 0 , ，试证： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 L x x x x e x x − − − 对 x a b , . 证明：利用习题 1.3 第 2 题结果来证. 思考题 12 . 假 设 函 数 f x y ( , ) 和 g x y ( , ) 在 2 G R 中连续，且对 x a b , ) 有 f x y g x y ( , , ) ( ) ；如果 ( x) 和 ( x) 分别为方程 ( ) ' y f x y = , 和 ( ) ' y g x y = , 在区间 a b, ) 上满足同一初始条件 ( ) 0 y a y = 的解，若 ( x) 与 ( x) 中至少有一个初始问题在区间 a b, ) 上的唯一解，试证在区间 a b, ) 上， ( x x ) ( ). 证明：若 ( x) 是初始问题在区间 a b, ) 上的唯一解，由题意
p(x)=f(x,p(x)sg(x,p(x),x[a,b).作(x,y)的连续函数 FK川={ 取初值问题y=F(x,y),y(@)=的右行饱和解：y=y(x),x∈[a,T) 先证明在区间I=[a,min(6,T)上，y(x)≥p() 证：若不然，则存在区间(x,x)c1,在此区间上y(x)<(x),且y(x)=(x) 但p(x)≤g(x,p(x)=F(x,y)=y(x),从而(x)≤y(x)与假设矛盾 因此y=y(x)是在区间I上初值问题y=g(x,),y(@=%,的解由解的唯一性，在 区间1上，y(x)=w(x),再由于y=y(x)是右行饱和解，所以T之b.从而，在区间[a,b) 上w(x)≥p(x)证毕. 对于()是初始问题在区间[a,b)上的唯一解的情况，可以类似证明，只要把上述证 明中的少(x)与(x)交换，g与∫交换，≤与之交换即可 5.假设函数f(y)对y∈R连续，且有f(O)=0,但当y≠0时有f(y)≠0：试证：初值 月题会-0)，0)=0，有库帮的克要条#是：对va0aa,部时合= 年：必婴性：若初值问圈有唯一解y=0,若存在a40,使筒三c学0，则电 x=fd 问十C,(y在0与a之间)确定的函数是初值问题的解，矛猛 *c满足 充分性：若条件成立面唯一性不成立，则对于某个a≠0，还有解x=了本 ,副时亮，与
6 ( ) ( ( )) ( ( )) ' x f x x g x x = , , ， x a b , ).作 ( x y, ) 的连续函数 ( ) ( ( )) ( ) ( , ,) ( ) , , , g x y y x g x x y x F x y = 当 当 取初值问题 ( ) ( ) ' 0 y F x y y a y = = , , 的右行饱和解： y y x x a T = ( ), , ). 先证明在区间 I a b T ,min , ( )) 上, y x x ( ) ( ) . 证：若不然，则存在区间 ( x x I 1 2 , ) ，在此区间上 y x x ( ) ( ) ，且 y x x ( 1 1 ) = ( ) ， 但 ( ) ( ( )) ( ) ( ) ' ' x g x x F x y y x = = , , ，从而 ( x y x ) ( ) 与假设矛盾. 因此 y y x = ( ) 是在区间 I 上初值问题 ( ) ( ) ' 0 y g x y y a y = = , , ,的解.由解的唯一性，在 区间 I 上， y x x ( ) ( ) ，再由于 y y x = ( ) 是右行饱和解，所以 T b .从而，在区间 a b, ) 上 ( x x ) ( ).证毕. 对于 ( x) 是初始问题在区间 a b, ) 上的唯一解的情况，可以类似证明，只要把上述证 明中的 ( x) 与 ( x) 交换， g 与 f 交换， 与 交换即可. 5 .假设函数 f y( ) 对 y R 连续，且有 f (0 0 ) = ，但当 y 0 时有 f y( ) 0 ；试证：初值 问题 ( ), 0 0 ( ) dy f y y dx = = ，有唯一解的充要条件是：对 a a R 0, ，都有 ( ) 0 a ds f s = . 证：必要性：若初值问题有唯一解 y = 0 ，若存在 a 0 ，使 ( ) 0 a ds c f s = ，则由 ( ) y a ds x c f s = + ，（ y 在 0 与 a 之间）确定的函数是初值问题的解，矛盾. 充分性：若条件成立而唯一性不成立，则对于某个 a 0 ，还有解 ( ) y a ds x c f s = + 满足 初条件，即 ( ) 0 a ds c f s = ，与条件矛盾