第五节函数的微分 教学目的：理解微分在近似计算中的应用的基本思想；掌握常用的几个近似计算公式及证明 方法：会计算函数在某点的近似值 教学重点：微分的定义：可导与可微的联系：微分形式的不变性：复合函数的微分，微分在近 似计算中的应用 教学难点：微分形式的不变性：复合函数的微分：公式△y≈△x很小时)的理解几个常用的 近似公式 教学内容 一、徽分的定义 引例函数增量的计算及增量的构成 一、微分的定义 计算函数增量△y=f(x。+△x)-f(x。)是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算 是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。 先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影 响，其边长由x变到x。+△x(图2-1)，问此满片的面积改变 了多少？ 设此薄片的边长为x,面积为A,则A是x的函数：A=x2 薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量。 自x。取得增量△x时，函数A相应的增量△A,即 图2-】 △4=(x。+△x2-x6=2x△x+(△x2。 从上式可以看出，△4分成两部分，第一部分2x△4是△4的线性函数，即图中带有斜 线的两个矩形面积之和，而第二部分（△x}在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当 △r→0时，第二部分（△x)是比△x高阶的无穷小，即（△x)=0(△x)。由此可见，如果边 长改变很微小，即△刘很小时，面积的改变量△4可近似地用第一部分来代替。 一般地，如果函数y=f(x)满足一定条件，则函数的增量△y可表示为 △y=A△r+0△x, 其中A是不依赖于△x的常数，因此A△x是△x的线性函数，且它与△y之差 Ay-A△x=0△x)
第五节 函数的微分 教学目的：理解微分在近似计算中的应用的基本思想; 掌握常用的几个近似计算公式及证明 方法；会计算函数在某点的近似值. 教学重点：微分的定义；可导与可微的联系;微分形式的不变性;复合函数的微分; 微分在近 似计算中的应用. 教学难点：微分形式的不变性;复合函数的微分;公式 y dy(x很小时) 的理解几个常用的 近似公式 教学内容： 一、微分的定义 引例 函数增量的计算及增量的构成 一、微分的定义 计算函数增量 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x 是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算 是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。 先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影 响，其边长由 0 x 变到 x + x 0 （图 2-1），问此薄片的面积改变 了多少？ 设此薄片的边长为 x ，面积为 A ，则 A 是 x 的函数： 2 A = x 。 薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量 x 自 0 x 取得增量 x 时，函数 A 相应的增量 A ，即 ( ) ( ) 2 0 2 0 2 A = x0 + x − x = 2x x + x 。 从上式可以看出， A 分成两部分，第一部分 2x0A 是 A 的线性函数，即图中带有斜 线的两个矩形面积之和，而第二部分 ( ) 2 x 在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当 x →0 时，第二部分 ( ) 2 x 是比 x 高阶的无穷小，即 (x) = 0(x) 2 。由此可见，如果边 长改变很微小，即 x 很小时，面积的改变量 A 可近似地用第一部分来代替。 一般地，如果函数 y = f (x) 满足一定条件，则函数的增量 y 可表示为 y = Ax + 0(x)， 其中 A 是不依赖于 x 的常数，因此 Ax 是 x 的线性函数，且它与 y 之差 y − Ax = 0(x)， 图 2-1
是比△x高阶的无穷小。所以，当A≠0，且△很小时，我们就可近似地用A△x来代替△y 定义设函数与x)在某区间内有定义，和及和+4x在这区间内，如果函数的增量 Ay=x0+△)-物) 可表示为 Av=AAx+oAx). 其中A是不依赖于Ax的常数，那么称函数片x)在点和是可微的，而△x叫做函数)x)在 点m相应于自变量增量Ax的微分，记作少，即 小y=A△x 函数可徽的条件：函数)在点和可微的充分必要条件是函数x)在点和可导，且当函 数x)在点和可微时，其微分一定是 c=(a)Ar 证明：设函数x)在点可微，则按定义有 A=A△r+o△， 上式两边除以△x,得 是智 于是，当△x0时，由上式就得到 40=/) 因此，如果函数x)在点和可微，则x)在点和也一定可导，且A=矿（知. 反之，如果x在点0可导，即 兴=fw 存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成 a. 其中a→0（当△r→0），且A=物)是常数，ar=o(△x).由此又有 △1=AAr+0△x), 所以x)在点0也是可导的. 简要证明：一方面 别一方面 (-()ta-Ay-f(oM 以微分少近似代替函数增量△y的合理性： 当m)0时，有 =等n色盖 Ay=dy+o(dy)
是比 x 高阶的无穷小。所以，当 A 0 ，且 x 很小时，我们就可近似地用 Ax 来代替 y 。 定义 设函数 y=f(x)在某区间内有定义 x0 及 x0+x 在这区间内 如果函数的增量 y =f(x0+x)−f(x0) 可表示为 y=Ax+o(x) 其中 A 是不依赖于x 的常数 那么称函数 y=f(x)在点 x0 是可微的 而 Ax 叫做函数 y=f(x)在 点 x0 相应于自变量增量x 的微分 记作 dy 即 dy =A x 函数可微的条件 函数 f(x)在点 x0 可微的充分必要条件是函数 f(x)在点 x0 可导 且当函 数 f(x)在点 x0 可微时 其微分一定是 dy=f (x0)x 证明 设函数 f(x)在点 x0 可微 则按定义有 y=Ax+o(x) 上式两边除以x 得 x o x A x y = + ( ) 于是 当x→0 时 由上式就得到 lim ( ) 0 0 f x x y A x = = → 因此 如果函数 f(x)在点 x0 可微 则 f(x)在点 x0 也一定可导 且 A=f (x0) 反之 如果 f(x)在点 x0 可导 即 lim ( ) 0 0 f x x y x = → 存在 根据极限与无穷小的关系 上式可写成 = + ( )0 f x x y 其中→0(当x→0) 且 A=f(x0)是常数 x =o(x) 由此又有 y =f (x0)x+x 因且 f (x0)不依赖于x 故上式相当于 y=Ax+o(x) 所以 f(x)在点 x0 也是可导的 简要证明 一方面 f x A x y x o x A x y y A x o x x = = = + = + → lim ( ) ( ) ( ) 0 0 别一方面 f x y f x x x x y f x x y x = + = + = → lim ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0 以微分 dy 近似代替函数增量 y 的合理性 当 f (x0)0 时 有 lim 1 ( ) 1 ( ) lim lim 0 0 0 0 0 = = = → → → dx y f x x f x y dy y x x x y=dy+o(d y)
结论：在f《)0的条件下，以微分d=f()Ar近似代替增量△=x△x)时，其误 差为o(d).因此，在A时很小时，有近似等式 Ay=d 函数=x)在任意点x的微分，称为函数的微分，记作d山或d),即 =f'x)△r, 例如deosx=(cos x)'"△r=-sinx△r;d'=(ey△=eAx. 函数 d小=(2y=1Ar=2 函数=2在=3处的微分为 d小=(x)=3△=6△r 例2.求函数=x当=2，△r=0.02时的微分. 解：先求函数在任意点x的微分 d=(xyAr=3r。 再求函数当=2，△x=0.02时的微分 d小1-2A002=3r2|2A0m=3x22×0.02=0.24 自变量的微分： 为当)与x时，小==(xy△=Ar,所以通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分，记 作，即 于是函数=x)的微分又可记作 d小=f'(x)d. 从而有 杂-. 这就是说，函数的微分d与自变量的微分之商等于该函数的导数.因此，导数也叫做微 二、微分的几何意义 当△y是曲线)上的点的纵坐标的增量时，山就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量 当△很小时，A一d比A小得多.因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线 三、基本初等函数的徽分公式与徽分运算法则 从函数的微分的表达式 dv=f'(xdx 可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分.因此，可得如 果下的微分公式和微分运算法则 1.基本初等函数的微分公式 导数公式： 微分公式： (=4x d(x)=uxldx (sin x)'=cos x d(sinx)=cosxdx = sin d(cosx) -sin (tan x)'=sec d(tan x)=sec2 (cotx)'=-csc2x d(cotx)=-cscx dx (sec x)'=sec x tan x d (sec x)=sec x tan x dx (csc x)'=-csc x cot d(csc x)=-csc x cotx dx (a'y=a'Ina d(a')片a'Inadx
结论 在 f (x0)0 的条件下 以微分 dy=f (x0)x 近似代替增量y=f(x0+x)−f(x0)时 其误 差为 o(dy) 因此 在|x|很小时 有近似等式 y dy 函数 y=f(x)在任意点 x 的微分 称为函数的微分 记作 dy 或 d f(x) 即 dy=f (x)x 例如 d cos x =(cos x)x =−sin x x dex =(e x )x=e xx 例 1 求函数 y=x 2 在 x=1 和 x=3 处的微分 解 函数 y=x 2 在 x=1 处的微分为 dy=(x 2 )|x=1x=2x 函数 y=x 2 在 x=3 处的微分为 dy=(x 2 )|x=3x=6x 例 2．求函数 y=x 3 当 x=2 x =0. 02 时的微分 解 先求函数在任意点 x 的微分 dy=(x 3 )x=3x 2x 再求函数当 x=2 x=0. 02 时的微分 dy|x=2 x=0.02 =3x 2 | x=2, x=0.02 =32 20.02=0.24 自变量的微分 因为当 y=x 时 dy=dx=(x)x=x 所以通常把自变量 x 的增量x 称为自变量的微分 记 作 dx 即 dx=x 于是函数 y=f(x)的微分又可记作 dy=f (x)dx 从而有 f (x) dx dy = 这就是说 函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商等于该函数的导数 因此 导数也叫做“微 商” 二、微分的几何意义 当y 是曲线 y=f(x)上的点的纵坐标的增量时 dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量 当|x|很小时 |y−dy|比|x|小得多 因此在点 M 的邻近 我们可以用切线段来近似代替曲线 段 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 从函数的微分的表达式 dy =f (x)dx 可以看出 要计算函数的微分 只要计算函数的导数 再乘以自变量的微分 因此 可得如 果下的微分公式和微分运算法则 1 基本初等函数的微分公式 导数公式 微分公式 (x )= x −1 d (x )= x −1d x (sin x)=cos x d (sin x)=cos x d x (cos x)=−sin x d (cos x)=−sin x d x (tan x)=sec 2 x d (tan x)=sec 2 x d x (cot x)=−csc 2 x d (cot x)=−csc 2 x d x (sec x)=sec x tan x d (sec x)=sec x tan x d x (csc x)=−csc x cot x d (csc x)=−csc x cot x d x (a x )=a x ln a d (a x )=a x ln a d x
(e')=er d(e=edx dmx)=上d (arcsinx) d(aresinx) （arctanx)=1+交 1 1 d(arctan) (arccotx)=-+ d(arccoix)= 2.函数和、差、积、商的徽分法则 求导法则： 微分法则 (士v'=± dtv=d士dN dCu)=-Cdi恤 肖=e0 d的=d迹d0) 2 证明乘积的微分法则： 根据函数微分的表达式，有 再根据乘积的求导法则，有 (w)'=+W 于是dMP=(d+wdk=1d在+d在 由于dd,vd=d 所以d成m=d 3.复合函数的微分法则 设=)及=x)都可导，则复合函数=1]的微分为 d小=yxd=f"(uo(xdk. 于由(x)=d仙，所以，复合函数=几x)训的微分公式也可以写成 小=f(ud或与y.da 由此可见，无论“是自变量还是另 一个变量的可微函数，微分形式小'(u)保持不变.这 性质称为微分形式不变性.这性质表示，当变换自变量时，微分形式=∫"(u)d并不改变 例3.=sin(2x+1),求d. 解：把2+1看成中间变量弘则 =d(sin sudu=cos(2x+1)d(2x+1) 02x+2=2c02x+14 在求复合函数的导数时，可以不写出中间变量 例4.y=h(l+e,求y
(e x )=e x d (e x )=e x d x x a x a ln 1 (log ) = dx x a d x a ln 1 (log )= x x 1 (ln ) = dx x d x 1 (ln )= 1 2 1 (arcsin ) x x − = dx x d x 1 2 1 (arcsin ) − = 1 2 1 (arccos ) x x − =− dx x d x 1 2 1 (arccos ) − =− 1 2 1 (arctan ) x x + = dx x d x 1 2 1 (arctan ) + = 1 2 1 (arccot ) x x + =− dx x d x 1 2 1 (arccot ) + =− 2 函数和、差、积、商的微分法则 求导法则 微分法则 (uv)=u v d(uv)=dudv (Cu)=Cu d(Cu)=Cdu (uv)= uv+uv d(uv)=vdu+udv ( ) ( 0) 2 − = v v u v uv v u ( ) ( 0) 2 − = dx v v vdu udv v u d 证明乘积的微分法则 根据函数微分的表达式 有 d(uv)=(uv)dx 再根据乘积的求导法则 有 (uv)=uv+uv 于是 d(uv)=(uv+uv)dx=uvdx+uvdx 由于 udx=du vdx=dv 所以 d(uv)=vdu+udv 3 复合函数的微分法则 设 y=f(u)及 u=(x)都可导 则复合函数 y=f[(x)]的微分为 dy=yx dx=f (u)(x)dx 于由(x)dx=du 所以 复合函数 y=f[(x)]的微分公式也可以写成 dy=f (u)du 或 dy=yu du 由此可见 无论 u 是自变量还是另一个变量的可微函数 微分形式 dy=f (u)du 保持不变 这 一性质称为微分形式不变性 这性质表示 当变换自变量时 微分形式 dy=f (u)du 并不改变 例 3．y=sin(2x+1) 求 dy 解 把 2x+1 看成中间变量 u 则 dy=d(sin u)=cos udu=cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)2dx=2cos(2x+1)dx 在求复合函数的导数时 可以不写出中间变量 例 4 ln(1 ) 2 x y = +e 求 dy
解：=dn(l+e=ted0+e) e冰=e2= 例5.=e-COS,求d水 解：应用积的微分法则，得 =(cos.x)e(-3dx)+e-sin.xdx) -e(3cosx+sin x)d 例6.在括号中填入适当的函数，使等式成立 (1)d )=xdx: (2)M=cos otd山 解：(1)因为dr)=2x,所以 xd=dx2)=dgx2),即dx2)=xd 一般地，有d(兮x2+9=xd迹(C为任意常数). (2)因为d成sino)=wcos w1d,所以 因此 d上sinot+C=cosotd(C为任意常数). 四、微分在近似计算中的应用 1.函数的近似计算 在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式。如果直接用这些公式进行计算，那是 很费力的。利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替， 如果两数)在点x0处的导数∫)0，且A时很小时，我们有 △f"(x)△x, △=(0+Ax）-xo)=d与f(xo)Ax, r-和，那么又有 Ax)=Axo)+f'(xo)(x-xo). 特别当0=0时，有 fx)=A0)+f(0)x. 这些都是近似计算公式. 例L,有一批半径为1m的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为0 01cm.估计一了每只球需用铜多少g铜的密度是8.9gcm 解：己知球体体积为V=号R3,R=lcm,△R=0.01cm 镀层的体积为 △Ro+△R)-(R)=V'(Ro)AR=4xRo2R=4x3.14x12x0.01=0.13cm3. 于是镀每只球需用的铜约为 0.13×8.9=l.16(g). 例2.利用微分计算sin30°30的近似值
解 (1 ) 1 1 ln(1 ) 2 2 2 x x x d e e dy d e + + = + = e xdx e e d x e x x x x 2 1 1 ( ) 1 1 2 2 2 2 2 + = + = dx e xe x x 2 2 1 2 + = 例 5．y=e 1−3x cos x 求 dy 解 应用积的微分法则 得 dy=d(e 1−3x cos x)=cos xd(e 1−3x )+e 1−3x d(cos x) =(cos x)e 1−3x (−3dx)+e 1−3x (−sin xdx) =−e 1−3x (3cos x+sin x)dx 例 6．在括号中填入适当的函数 使等式成立 (1) d( )=xdx (2) d( )=cos t dt 解 (1)因为 d(x 2 )=2xdx 所以 ) 2 1 ( ) ( 2 1 2 2 xdx= d x =d x 即 d x )= xdx 2 1 ( 2 一般地 有 d x +C)= xdx 2 1 ( 2 (C 为任意常数) (2)因为 d(sin t)=cos tdt 所以 sin ) 1 (sin ) ( 1 cos tdt d t d t = = 因此 d sin t C) cos tdt 1 ( + = (C 为任意常数) 四、微分在近似计算中的应用 1．函数的近似计算 在工程问题中 经常会遇到一些复杂的计算公式 如果直接用这些公式进行计算 那是 很费力的 利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替 如果函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数 f (x)0 且x|很小时 我们有 ydy=f (x0)x y=f(x0+x)−f(x0)dy=f (x0)x f(x0+x)f(x0)+f (x0)x 若令 x=x0+x 即x=x−x0 那么又有 f(x) f(x 0)+f (x0)(x−x0) 特别当 x0=0 时 有 f(x) f(0)+f (0)x 这些都是近似计算公式 例 1．有一批半径为 1cm 的球 为了提高球面的光洁度 要镀上一层铜 厚度定为 0 01cm 估计一了每只球需用铜多少 g(铜的密度是 8. 9g/cm 3 )? 解 已知球体体积为 3 3 4 V = R R0=1cm R=0. 01cm 镀层的体积为 V=V(R0+R)−V(R0)V (R0)R=4R0 2R=43. 141 2 0. 01=0. 13(cm3 ) 于是镀每只球需用的铜约为 0. 13 8. 9 =1. 16(g) 例 2．利用微分计算 sin 3030的近似值
解：已知3030=若+忌06=若，A=3 sin3030'=sin(o+△x)=sinx0+△xCOSx =s血名+co后 =9=0507% 即 in3030'=0.507 常用的近似公式（假定是较小的数值） 0下1+片 (2)sinxx(x用弧度作单位来表达： Banr(x用弧度作单位米表达 (4)e'=l+x (5)ln(1+x)=x 证明D取网=x,那么0=1，了O=+户，代入0/0x便得 +x1+x 证明(2)取x)=sinx,那么0=0，f"(O)=cos==L,代入x)0+"0)x便得 sin x=x 例3.计算.05的近似值 解：已知+x+上x,故 1.05=+0.051+5×0.05=1.025. 直接开方的结果是05=102470 2.误差估计 在生产实践中，经常要测量各种数据。但是有的数据不易直接测量，这时我们就通过测 量其它有关数据后，根据某种公式算出所要的数据。由于测量仪器的精度、测量的条件和测 量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的 结果也会有误差.我们把它叫做间接测量误差 下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差 绝对 误差与相对误差：如果某个量的精确值为4它的近似值为a,那么4-叫做a的绝 对误差，而 绝对误差4-d与a的比值4-a叫做a的相对误差 lal 在实际工作中某个量的精确值往往是无法知首的。于是绝对误差和相对误差也就无法 求得、但是根据测量仪器的精度等因素 有时能够确定误差在某一个范围内.如果某个量的 精确值是A,测得它的近似值是a,又知道它的误差不超过6：4-s6,则6叫做测量A的 绝对误差限， 岛叫做测量A的相对误差限（简称绝对误荐
解 已知 3030 6 360 = + 6 0 x = 360 x = sin 3030=sin(x0+x)sin x0+x cos x0 6 360 cos 6 sin = + 0.5076 2 360 3 2 1 = + = 即 sin 30300. 5076 常用的近似公式（假定|x|是较小的数值） (1) x n x n 1 1+ 1+ (2)sin xx ( x 用弧度作单位来表达) (3)tan xx ( x 用弧度作单位来表达) (4)e x 1+x (5)ln(1+x)x 证明 (1)取 n f (x)= 1+x 那么f(0)=1 n x n f x n 1 (1 ) 1 (0) 0 1 1 = + = = − 代入f(x)f(0)+f (0) x便得 x n x n 1 1+ 1+ 证明(2)取 f(x)=sin x 那么 f(0)=0 f (0)=cos x|x=0=1 代入 f(x)f(0)+f (0) x 便得 sin xx 例 3．计算 1.05 的近似值 解 已知 x n x n 1 1+ 1+ 故 0.05 1.025 2 1 1.05= 1+0.051+ = 直接开方的结果是 1.05=1.02470 2．误差估计 在生产实践中 经常要测量各种数据 但是有的数据不易直接测量 这时我们就通过测 量其它有关数据后 根据某种公式算出所要的数据 由于测量仪器的精度、测量的条件和测 量的方法等各种因素的影响 测得的数据往往带有误差 而根据带有误差的数据计算所得的 结果也会有误差 我们把它叫做间接测量误差 下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差 绝对误差与相对误差 如果某个量的精确值为A 它的近似值为a 那么|A−a|叫做a的绝 对误差 而 绝对误差|A−a|与|a|的比值 | | | | a A−a 叫做 a 的相对误差 在实际工作中 某个量的精确值往往是无法知道的 于是绝对误差和相对误差也就无法 求得 但是根据测量仪器的精度等因素 有时能够确定误差在某一个范围内 如果某个量的 精确值是 A 测得它的近似值是 a 又知道它的误差不超过 A:|A−a| A 则 A 叫做测量 A 的 绝对误差限 |a| A 叫做测量 A 的相对误差限(简称绝对误差)
例4.设测得圆钢截面的直径D=60.03mm,测量D的 绝对误差限6。=0.05.利用公式A=二D2计算圆钢的截面 积时，试估计面积的误差。 解：△M=d4=△D=牙D-D, A4dA=5DaD水号D62 己知D=60.03,=0.05,所以 d,=号D6n=受×6003x005=4715(mm 身-0告2a8器0% D2 若已知4由函数=x)确定：A=y测量x的绝对误差是d,那么测量，的8？ 由△y=y△x,有 所以测量)的绝对误差1，测量)的相对误差为 小结：本节讲述了微分的定义，练习了微分的运算和利用微分作近似计算 希望大家熟记微分公式，为以后学习积分大好基础. 思考：利用微分形式的不变性：求复合函数的微分很好复合函数的导数用类似方 法做岂不更好 作业：见习题册
例 4．设测得圆钢截面的直径 D=60. 03mm 测量 D 的 绝对误差限 D =005 利用公式 2 4 A D = 计算圆钢的截面 积时 试估计面积的误差 解 AdA=AD= DD 2 A||dA| D D D D = 2 | | 2 已知 D=60.03 D =0. 05 所以 60.03 0.05 4.715 2 2 = = = A D D (mm2 ) 0.17% 60.03 0.05 2 2 4 2 2 = = = D D D A D D A 若已知A由函数y=f(x)确定 A=y 测量x的绝对误差是x 那么测量y的y=? 由y dy=yx 有 y||dy|=|y||x||y| x 所以测量y的绝对误差y=|y| x 测量y的相对误差为 x y y y y = | | 小结：本节讲述了微分的定义，练习了微分的运算和利用微分作近似计算 希望大家熟记微分公式，为以后学习积分大好基础. 思考: 利用微分形式的不变性;求复合函数的微分很好,复合函数的导数用类似方 法做岂不更好. 作业：见习题册