第六章定积分的应用 一、学时分配 讲课学时：6习题课学时：2共8学时 二、基本内容： 1.定积分的元素法。 2.定积分在几何学上的应用。 3.定积分在物理学上的应用 三、敦学要求 1.掌握定积分的元素法，会求所求问题的微元. 2.能够利用定积分的元素法解决平面图形的面积，体积，列长等相关几何问题。 3.能够利用定积分的元素法解决水压力，变力做功，引力等相关物理问题. 四、重点难点 重点： 刹用定积分的元素法解决相关几何，关物理问题 第一节定积分的元素法 教学目的：理解和掌握用定积分去解决实际问题的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容： 一、曲边梯形面积计算 设f(x)在区间[a,b]上连续，且fx)≥0，求以曲线y=f(x)为曲边，底为[a,b]的 曲边梯形的面积A. 1.分割区间：用任意一组分点 a=x。<x<<x-<x<<xn=b 将区间分成n个小区间[xx],其长度为：△x=x,-x-1=L,2,),并记 元=max{△x,△x,△x,}相应地，曲边梯形被划分成n个窄曲边梯形，第1个窄曲边梯形 的面积记为△4.于是A=∑△4·A=∑A4 2.计算A4的近似值：△4≈f(5)Ax5.∈xx]=1,2,.,n) 3.求和，得A的近似值：4=∑f八GA
1 第六章 定积分的应用 一、学时分配： 讲课学时：6 习题课学时：2 共 8 学时． 二、基本内容： 1．定积分的元素法． 2．定积分在几何学上的应用． 3．定积分在物理学上的应用． 三、教学要求： 1．掌握定积分的元素法，会求所求问题的微元． 2．能够利用定积分的元素法解决平面图形的面积，体积，弧长等相关几何问题． 3．能够利用定积分的元素法解决水压力，变力做功，引力等相关物理问题． 四、重点难点 1．重点：利用定积分的元素法解决相关几何，关物理问题． 2．难点：会求所求问题的微元． 第一节 定积分的元素法 教学目的：理解和掌握用定积分去解决实际问题的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容： 一、曲边梯形面积计算 设 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上连续，且 f (x) 0 ，求以曲线 y f x = ( ) 为曲边，底为 [a,b] 的 曲边梯形的面积 A ． 1．分割区间：用任意一组分点 0 1 1 i i n a x x x x x b = = − 将区间 分成 n 个小区 间 1 [ , ] i i x x − ，其长 度为 ： ( 1,2, , ) xi = xi − xi−1 i = n ，并记 max{ , , , } 1 2 n = x x x 相应地，曲边梯形被划分成 n 个窄曲边梯形，第 i 个窄曲边梯形 的面积记为 Ai ．于是 1 n i i A A = = ． 1 n i i A A = = ． 2．计算 Ai 的近似值： 1 ( ) [ , ] ( 1,2, , ) A f x x x i n i i i i i i = − ． 3．求和，得 A 的近似值： 1 ( ) n i i i A f x = ．
4.取极限，得：A-lim∑f(后)△x,-∫心fx)dx. 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题： (1)若将[a,b)分成部分区间[x,x]i=l,2,.,n),则A相应地分成部分量 △4=l2,川，而A=立A4,这表明：所求量A对于区间[a,1具有可加性， (2)用G)Ax近似△4，误差应是Ax,的高阶无穷小.只有这样，和式立fG)Ax 的极限方才是精确值A.故关键是确定 △4≈f(5)△x,(△4，-f(5)△x,=o(△x)) 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，我们可以给出用定积分计算某个量 的条件与步骤。 二、元素法 1,能用定积分计算的量U,应满足下列三个条件 (1)U与变量x的变化区间[a,b]有关： (2)U对于区间[a,b]具有可加性： (3)U部分量△U,可近似地表示成f5)△x, 2.写出计算U的定积分表达式步骤 (①)根据问题，选取一个变量x为积分变量，并确定它的变化区间[α，b]: (②)设想将区间[a,b]分成若干小区间，取其中的任一小区间[x,x+]: 求出它所对应的部分量AU的近似值 △U≈f(x)dk(f(x)为[a,b]上一连续函数) 则称f(x)dx为量U的元素，且记作dU=f(x)dx (3)以U的元素dU作被积表达式，以[a,b]为积分区间，得： 2
2 4．取极限，得： 0 1 lim ( ) ( )d n b i i a i A f x f x x → = = = ． 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题： （1）若 将 [a,b] 分成部分区 间 [ , ]( 1,2, , ) xi−1 xi i = n ，则 A 相应地分成 部分量 A (i 1,2, ,n) i = ，而 = = n i A Ai 1 ，这表明：所求量 A 对于区间 [a,b] 具有可加性． （2）用 i i f ( )x 近似 Ai ，误差应是 i x 的高阶无穷小．只有这样，和式 = n i i i f x 1 ( ) 的极限方才是精确值 A．故关键是确定 ( ) ( ( ) ( ) ) i i i i i i i A f x A − f x = o x 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量 的条件与步骤． 二、元素法 1．能用定积分计算的量 U ，应满足下列三个条件 (1) U 与变量 x 的变化区间 [a,b] 有关； (2) U 对于区间 [a,b] 具有可加性； (3) U 部分量 Ui 可近似地表示成 i i f ( )x ． 2．写出计算 U 的定积分表达式步骤 (1) 根据问题，选取一个变量 x 为积分变量，并确定它的变化区间 [ , ] a b ； (2) 设想将区间 [ , ] a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间 [ , ] x x dx + ； 求出它所对应的部分量 U 的近似值 U f (x)dx ( f x( ) 为 [ , ] a b 上一连续函数) 则称 f x x ( )d 为量 U 的元素，且记作 dU f x x = ( )d ． (3) 以 U 的元素 dU 作被积表达式，以 [ , ] a b 为积分区间，得：
U=[fx)dx,这个方法叫做元素法， v=f(x) 其实质是找出U的元素dU的微分表达式 dU=f(x)dx (asxsb) 因此，也称此法为微元法。 04 x+db 三、小结与思考： 1.复述元素法的提出、思想、步骤（注意微元法的本质） 2。思考如何判断所寻找到的近似式就是所求微元 四、作业：作业卡 第二节定积分在几何学上的应用 教学目的：学会用元素法计算平面图形的面积、体积以及计算平面曲线的弧长。 教学重点：平面图形的面积、体积、平面曲线弧长的计算 教学难点：面积元素、体积元素、弧长元素的选取. 教学过程 一、平面图形的面积 1.直角坐标的情形 由曲线y=f(x)f(x)≥0)及直线x=a与x=b(a<b)与x轴所围成的曲边梯形 面积为A.则A=fx)dx,其中：f(x)dx为面积元素.它表示高为f(x)、底为dx 的一个矩形面积. 由曲线y=f(x)与y=g(x)及直线x=a与x=b y=f(x) (a<b)且f(x)≥g(x)所围成的图形面积A. y=g(x) A=[f(x)dx-[g(x)dx=[[f(x)-g(x)]dx 其中：[f(x)-g(xk为面积元素. 例1计算由两条抛物线：y2=x与y=x2所围成的图形面积. 解解方程组广=得两条抛物线的交点坐标为：Q.0)与L： y=x2 取[x,x+dx)c[0,1],得面积微元为：dA=(F-x2)dx
3 ( )d b a U f x x = ，这个方法叫做元素法， 其实质是找出 U 的元素 dU 的微分表达式 dU f x x a x b = ( )d ( ) 因此，也称此法为微元法． 三、小结与思考： 1．复述元素法的提出、思想、步骤（注意微元法的本质）． 2．思考如何判断所寻找到的近似式就是所求微元． 四、作业：作业卡 第二节 定积分在几何学上的应用 教学目的：学会用元素法计算平面图形的面积、体积以及计算平面曲线的弧长． 教学重点：平面图形的面积、体积、平面曲线弧长的计算． 教学难点：面积元素、体积元素、弧长元素的选取． 教学过程： 一、平面图形的面积 1.直角坐标的情形 由曲线 y = f (x)( f (x) 0) 及直线 x a = 与 x b = ( a b )与 x 轴所围成的曲边梯形 面积为 A ．则 ( )d b a A f x x = ． 其中： f x x ( )d 为面积元素．它表示高为 f x( ) 、底为 d x 的一个矩形面积． 由曲线 y f x = ( ) 与 y g x = ( ) 及直线 x a = 与 x b = ( a b )且 f x g x ( ) ( ) 所围成的图形面积 A ． ( )d ( )d [ ( ) ( )]d b b b a a a A f x x g x x f x g x x = − = − 其中：[ f (x) − g(x)]dx 为面积元素． 例 1 计算由两条抛物线： 2 y x = 与 2 y x = 所围成的图形面积． 解 解方程组 2 2 y x y x = = 得两条抛物线的交点坐标为： (0,0) 与 (1,1) ； 取 + [ , d ] [0,1] x x x ，得面积微元为： 2 d ( )d A x x x = − ．
于是所求面积为：A仁-d=写-写玉=号 例2计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形面积. 解：1.如图所示：解方程少=2x y=x-4 得交点：(2，-2)和(8,4). 2.选择积分变量并定区间 选取x为积分变量，则0≤x≤8 3.给出面积元素 在0≤x≤2上，dA=[√2x-(-√2x)=22xdk: 在2≤x≤8上，dA=[2x-(x-4)1k=(4+√2x-x)d 4.列定积分表达式 A=f2dx+S[4+-x]dx w.u 另解：若选取y为积分变量，则-2≤y≤4， dA=[0+4)-y]dy -4gra-号4-引e8 显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。 例3求科面子+长=1所固我的面积（口>0b>0。 解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于 第一象限内面积的4倍. 狼0发，期00,4 d4-dx
4 于是所求面积为： 3 1 2 3/ 2 1 0 0 2 1 ( )d [ ] 3 3 3 x A x x x x = − = − = ． 例 2 计算抛物线 y 2x 2 = 与直线 y = x − 4 所围成的图形面积． 解：1．如图所示：解方程 = − = 4 2 2 y x y x , 得交点： (2,−2) 和 (8,4) ． 2.选择积分变量并定区间 选取 x 为积分变量，则 0 8 x 3.给出面积元素 在 0 x 2 上， dA x x dx = − − [ 2 ( 2 ) ] = 2 2xdx ； 在 2 x 8 上， dA x x dx = − − [ 2 ( 4) ] = + − (4 2 ) x x dx ． 4.列定积分表达式 2 2 0 0 A x x x x x = + + − 2 2 d [ 4 2 ]d 2 8 3 3 2 2 2 0 2 4 2 2 2 1 4 3 3 2 x x x x = + + − =18 ． 另解：若选取 y 为积分变量，则 − 2 y 4 ， 1 2 d [ ( 4) ]d 2 A y y y = + − 4 2 2 1 ( 4 )d 2 A y y y − = + − 4 2 3 2 4 2 6 y y y − = + − =18 ． 显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题． 例 3 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 所围成的面积 (a 0,b 0) ． 解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于 第一象限内面积的 4 倍． 取 x 为积分变量，则 0 x a， 2 2 1 a x y = b − 2 2 d 1 d x A ydx b x a = = −
:a01S-A号-bm,点：恤 A=4(bsintX-asint)dr =afam7dl=4ab22号=b. 2.极坐标情形 设平面图形是由曲线r=p()及射线 8+d8 0=a,0=B所围成的曲边扇形.取极角0为 积分变量，则a≤0≤B,在平面图形中任意截 取一典型的面积元素△4，它是极角变化区间为 [0,0+d)的窄曲边扇形。 △4的面积可近似地用半径为r=p(),中心角为d0的窄圆边扇形的面积来代替， 即：△1：0OFd0:从而得到了曲边梯形的面积元素d4=oo广d0.于是 4=7p(ea0 例4计算阿基米德螺线p=a0(a>0)上相应与0从0变到2π的一段弧与极轴所围成 的图形的面积。 解：已知∈0,2,0,0+d8c0,2a]可得面积微元为：dA=a8d6,于 限-grao-r 例5计算心形线r=a1+cos0)(a>0)所围成的图形面积， 解：由于心形线关于极轴对称，于是 -2(+cd0(+2cc0)d0
5 故 2 2 0 0 4 d 4 1 d a a x A y x b x a = = − 令 x = acost ) 2 (0 t ，则： b t a x y b 1 sin 2 2 = − = ，dx = −asin tdt ， 0 2 A b t a t t = − 4 ( sin )( sin )d 2 2 0 4 sin d ab t t = (2 1)!! 4 2!! 2 ab ab − = = ． 2.极坐标情形 设平面图形是 由曲线 r = ( ) 及射线 = ， = 所围成的曲边扇形．取极角 为 积分变量，则 ,在平面图形中任意截 取一典型的面积元素 A，它是极角变化区间为 [ , d ] + 的窄曲边扇形． A 的面积可近似地用半径为 r = ( )， 中心角为 d 的窄圆边扇形的面积来代替， 即： 1 2 [ ( ) ] d 2 A ；从而得到了曲边梯形的面积元素 1 2 d [ ( ) ] d 2 A = ．于是 1 2 ( )d 2 A = 例 4 计算阿基米德螺线 = a a( 0) 上相应与 从 0 变到 2 的一段弧与极轴所围成 的图形的面积． 解：已知 [0, 2 ]， + [ , d ] [0,2 ] 可得面积微元为： 1 2 d ( ) d 2 A a = ，于 是所求面积为： 2 2 2 3 2 2 2 3 0 0 4 d 2 2 3 3 a a A a = = = ． 例 5 计算心形线 r a a = + (1 cos ) ( 0) 所围成的图形面积． 解： 由于心形线关于极轴对称，于是 2 2 0 1 2 (1 cos ) d 2 A a = + ( ) 2 2 2 0 a 1 2cos cos d = + + 2 0 3 1 2sin sin 2 2 4 a = + + 3 2 2 = a ．
二、体积 1.旋转体的体积 (1)旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线 称为旋转轴。 (2)计算由曲线y=f(x)直线x=a,x=b v=fix) 及x轴所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而生成的 立体的体积。 (3)取x为积分变量，则xe[ab],对于区间[a,b]上 的任一区间[x,x+dx],它所对应的窄曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近 似等于以fx)为底半径，dx为高的圆柱体体积.即：体积元素为：dV=π[f(x)dx。 于是所求的旋转体的体积为：V=x[fx)]dx。 (4)例题讲解 例6连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形.将 它绕x轴旋转一周构成一个低半径为r、高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积。 解：如图：取x为积分变量，则x∈0， v-f(ids-fds 間r% 例7计算由箱圆兰+ 。+方=1所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积 解这个旋转体可看作是由上半个储圆y一名厅一子及x转所围成的图形绕x轴装 转所生成的立体.取[x,x+dxc[-a,a,从而所求体积元素为： 6
6 二、体积 1．旋转体的体积 （1）旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线 称为旋转轴． （2）计算由曲线 y f x = ( ) 直线 x a = ， x b = 及 x 轴所围成的曲边梯形，绕 x 轴旋转一周而生成的 立体的体积． （3）取 x 为积分变量，则 x [a,b] ，对于区间 [a,b] 上 的任一区间 [ , d ] x x x + ，它所对应的窄曲边梯形绕 x 轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近 似等于以 f (x) 为底半径，d x 为高的圆柱体体积．即：体积元素为： 2 d ( ) d V f x x = ． 于是所求的旋转体的体积为： 2 ( ) d b a V f x x = ． （4）例题讲解 例 6 连接坐标原点 O 及点 P h r ( , ) 的直线、直线 x h = 及 x 轴围成一个直角三角形．将 它绕 x 轴旋转一周构成一个低半径为 r 、高为 h 的圆锥体．计算这圆锥体的体积． 解：如图：取 x 为积分变量，则 x [0, h] 2 0 d h r V x x h = 2 2 2 0 d r h x x h = 2 3 2 2 0 3 3 h r x r h h = = ． 例 7 计算由椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = 所围成的图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积． 解 这个旋转体可看作是由上半个椭圆 2 2 a x a b y = − 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋 转所生成的立体． 取 + − [ , d ] [ , ] x x x a a ，从而所求体积元素为：
dv-ta-dx 于是所求旋转体的体积为： eva-x v- 同理可得：由曲线x=(y)、直线y=c、y=d(c<d)与y轴所围成的曲边梯形， 绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为：V=∫厂π[0(x小dy 例8计算由摆线x=a1-sin),y=al-cos)的一拱，直线y=0所围成的图形分 别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积。 解所述图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为： 2a x=2月 Vy(x)dx=a(1-costYa(l-cost)dt 数=f) 2 za[(1-3cost+3cos'1-cos')dt=5x'a 所述图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为： V,=[x(y)dy-[x(y)dy=n["a(t-sint).asintdt -a'(t-sint)'.asintdt=-za[(t-sint)sintdy=6r'a 2.平行截面面积为已知的立体的体积（截面法） (1)问题分析：由旋转体体积的计算 x 过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一 定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体 0 积也可以用定积分来计算. 取定轴为x轴，且设该立体在过点 x=a,x=b且垂直于x轴的两个平面之内，以A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积 1
7 2 2 2 2 d ( )d b V a x x a = − ， 于是所求旋转体的体积为： 2 2 2 2 ( )d a a b V a x x a − = − 2 3 2 2 [ ] 3 a a b x a x a = − − 4 2 3 = ab ． 同理可得：由曲线 x y = ( ) 、直线 y c = 、 y d = ( ) c d 与 y 轴所围成的曲边梯形， 绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为： 2 ( ) d d c V x y = ． 例 8 计算由摆线 x a t t = − ( sin )， y a t = − (1 cos ) 的一拱，直线 y = 0 所围成的图形分 别绕 x 轴、 y 轴旋转而成的旋转体的体积． 解 所述图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为： 2 2 2 2 2 0 0 ( )d (1 cos ) (1 cos )d a V y x x a t a t t x = = − − 2 3 2 3 2 3 0 a t t t t a (1 3cos 3cos cos )d 5 = − + − = ． 所述图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积为： 2 2 2 2 2 1 0 0 ( )d ( )d a a V x y y x y y y = − 2 2 2 a t t a t t ( sin ) sin d = − 2 2 0 a t t a t t ( sin ) sin d − − 2 3 2 3 3 0 a t t t y a ( sin ) sin d 6 = − − = ． 2．平行截面面积为已知的立体的体积(截面法) （1）问题分析：由旋转体体积的计算 过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一 定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体 积也可以用定积分来计算． 取定轴为 x 轴，且设该立体在过点 x = a，x = b 且垂直于 x 轴的两个平面之内，以 A(x) 表示过点 x 且垂直于 x 轴的截面面积．
取x为积分变量，它的变化区间为[a,b].立体中相应于[a,b]上任一小区间[x,r+dx)的 一薄片的体积近似于底面积为A(x),高为dx的圆柱体的体积.即：体积元素为 dV-A(x)dx,于是，所求该立体的体积：V=Ax)dx. (2)例颗讲解 平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角α，计算这平面截圆 柱体所得立体的体积 解：如图P276,立体中过x轴上的点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形.它的 直角边分别为y及ytany,即VR-x2及VR2-x2tana.因而截面面积为： A(x)=(R2-x')tana. 于是所求立体体积为：P=R2-r)tanadx -)tana[R产x-a-Rtana. 例10求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的 体积 解：如图所示(P276).底圆的方程为：x2+y2=R2.过x轴上的点x作垂直于x轴 的平面，截得正劈锥体得等腰三角形.此时截面面积为： A(x)=h.y=hR-x 于是所求正劈锥体的的体积为： V=f4)dx=hR-dx 三、平面曲线的弧长 1,曲线的弧长：设A、B是曲线弧上的两个端点，在弧AB上依次任取分点 A=Mo,M,.Mn-,Mn=B 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分制的模趋向于零时，此折线的长1MM, 的极限存在，则称此极限为曲线弧AB的弧长，并称此曲线是可求长的， 2.定理：光滑曲线弧是可求长的. ()设曲线弧由参数方程下=0 (y=w(t) (a≤1≤B)给出，其中()、y(0在[a,刷] 8
8 取 x 为积分变量，它的变化区间为 [a,b]．立体中相应于 [a,b] 上任一小区间 [ , d ] x x x + 的 一薄片的体积近似于底面积为 A(x) ，高为 d x 的圆柱体的体积．即：体积元素为 d ( )d V A x x = ．于是，所求该立体的体积： ( )d b a V A x x = ． （2）例题讲解 例 9 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角 ．计算这平面截圆 柱体所得立体的体积． 解：如图 P276，立体中过 x 轴上的点 x 且垂直于 x 轴的截面是一个直角三角形．它的 直角边分别为 y 及 y y tan ，即 2 2 R x − 及 2 2 R x − tan ．因而截面面积为： 1 2 2 ( ) ( ) tan 2 A x R x = − ， 于是所求立体体积为： 1 2 2 ( ) tan d 2 R R V R x x − = − 1 1 2 2 3 3 tan [ ] tan 2 3 3 R = − = R x x R −R ． 例 10 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的 体积． 解：如图所示（P276）．底圆的方程为： 2 2 2 x y R + = ．过 x 轴上的点 x 作垂直于 x 轴 的平面，截得正劈锥体得等腰三角形．此时截面面积为： 2 2 A x h y h R x ( ) = = − ． 于是所求正劈锥体的的体积为： 2 2 ( )d d R R R R V A x x h R x x − − = = − 2 2 2 2 0 1 2 cos d 2 R h R h = = ． 三、平面曲线的弧长 1．曲线的弧长：设 A 、 B 是曲线弧上的两个端点，在弧 AB 上依次任取分点 0 1 1 , , , A M M M M B = = n n − 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分割的模趋向于零时，此折线的长 1 1 | | n i i i M M− = 的极限存在，则称此极限为曲线弧 AB 的弧长，并称此曲线是可求长的． 2．定理：光滑曲线弧是可求长的． （1）设曲线弧由参数方程 ( ) ( ) x t y t = = ，（ t ）给出，其中 ()t 、 ()t 在 [ , ]
上具有连续导数.现在计算该曲线弧的长度. 分析：已知1∈[a,B],1+d]c[a,],此时相应的小弧段的长度为： △s≈VAx)2+(△y2, 由于Ax≈dx=p')dt,△y≈dy=w')dr,从而弧长元素为： ds=/(dx)+(dy)=o(t)+w()dt, 于是所求孤长为：5=V0+w产而d1. (2)若曲线弧由直角坐标方程y=fx)给出，在’ 区间[a,b]上具有一阶连续的导数，计算曲线y=f(x)的 长度5. 取x为积分变量，则x∈[a,b,在[a,b]上任取一小区间可a [x,x+],那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度△可以用它的弧微分山来近似.此 时迪城领有参数方起仁a≤S6.于是，英长无素务 ds=+f(x)d,(ds=1+y dx) 即所求弧长为：s=V1+f(x)dx.(s=V+y产dx). (3)若曲线弧以极角日为参数： [x=p(0)cos0 y=p(o)sino'asosB. 于是，弧长元素为：ds=√x2(0)+y2(0)d0=√p2(0)+p(0d0. 从而所求弧长为：s=[√p(0)+p2(d8. 3.例愿讲解 例1计算曲线y=子a≤x≤)的派长. 解：已知：ds=V+(WF}dx=√+xdx,因此所求弧长为： -f-0-a9 例2两根电线杆之间的电线，由于其本身的重量，下垂成曲线形，这样的曲线叫悬 9
9 上具有连续导数．现在计算该曲线弧的长度． 分析：已知 t [ , ] ， + [ , d ] [ , ] t t t ，此时相应的小弧段的长度为： 2 2 + s x y ( ) ( ) ， 由于 = x x t t d ( )d ， = y y t t d ( )d ，从而弧长元素为： 2 2 2 2 d (d ) (d ) ( ) ( ) d s x y t t t = + = + ， 于是所求弧长为： 2 2 s t t t ( ) ( ) d = + ． （2）若曲线弧由直角坐标方程 y f x = ( ) 给出，在 区间 [a,b] 上具有一阶连续的导数，计算曲线 y = f (x) 的 长度 s． 取 x 为积分变量，则 x [a,b] ,在 [a,b] 上任取一小区间 [x, x + dx]，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度 s 可以用它的弧微分 ds 来近似．此 时曲线弧有参数方程： ( ) x x y f x = = ， a x b ．于是，弧长元素为 ds f x dx 2 = 1+ ( ) ，（ 2 d 1 d s y x = + ） 即所求弧长为： 2 1 ( ) d b a s f x x = + ．（ 2 1 d b a s y x = + ）． （3）若曲线弧以极角 为参数： ( )cos ( )sin x y = = ， ， 于是，弧长元素为： 2 2 d ( ) ( ) d s x y = + 2 2 = + ( ) ( ) d ． 从而所求弧长为： 2 2 s ( ) ( ) d = + ． 3．例题讲解 例 11 计算曲线 ( ) 3 2 2 3 y = x a x b 的弧长． 解：已知： 2 d 1 ( ) d 1 d s x x x x = + = + ，因此所求弧长为： 3 2 2 2 3/ 2 3/ 2 1 d (1 ) [(1 ) (1 ) ] 3 3 b b a a s x x x b a = + = + = + − + ． 例 12 两根电线杆之间的电线，由于其本身的重量，下垂成曲线形，这样的曲线叫悬
链线.适当选取坐标系后，悬链线的方程为：y=ch产，其中c为常数.计算悬链线上介 于x=-b与x=b之间一段孤的长度 解：如图(P278)弧长元素ds=+s所dx=ch产dx,因此，所求孤长为： s=2fchdx=2csh=2csh 例13计算摆线（如图P279): x=a0-sin的一扶(0≤0≤2x)的长度 ly=a(1-cos0) 解：弧长元素为：ds=Va-cos0)+asin20d0 (-c0)d0-2asino 从而所求弧长为：5=2asim号d0=[-2ac0s1=8a. 例14求阿基米德螺线p=a0(a>0)相应于0≤8≤2π的一段的弧长。 解：弧长元素为ds=√a0+ad0=a+0d0,于是所求弧长为： s=aaW1+0d8-2[2π√+4π2+ln(2π+V1+4π2〗： 四、小结与思老 1.重述在直角坐标系、极坐标系下平面图形的面积、平行截面面积已知的立体的体积 旋转体体积，平面曲线的弧长的积分公式. 2.思考如何求解旋转曲面的面积公式. 五、作业：作业卡 第三节定积分在物理学上的应用 教学目的：运用定积分的元素法，解决变力沿直线作功，水压力和引力等物理上的实际问题。 教学重点：利用定积分将物理问题 ]家成数字 问题 教学难点：会求相关物理实际问题的定积分微元， 教学过程： 一、变力沿直线所作的功 1.例1把一个带+q电荷量的点电荷放在r轴上坐标原点O处，它产生一个电场.这 个电场对周围的电荷有作用力.由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离 原点O为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为F=k号，（图见P283,当这个单位 正电荷在电场中从r=a处沿r轴移动到r=b(a<b)处时，计算电场力F对它所作的功. 解：取r为积分变量，任取小区间[y,r+dr小c[a,b].当单位正电荷从r移动到r+dr
10 链线．适当选取坐标系后，悬链线的方程为： x y cch c = ，其中 c 为常数．计算悬链线上介 于 x b =− 与 x b = 之间一段弧的长度． 解：如图（P278）弧长元素 2 d 1 d d x x s sh x ch x c c = + = ，因此，所求弧长为： 0 0 2 d 2 [ ] 2 b x x b b s ch x c sh csh c c c = = = ． 例 13 计算摆线（如图 P279）: ( sin ) (1 cos ) x a y a = − = − 的一拱（ 0 2 )的长度． 解：弧长元素为： 2 2 2 2 d (1 cos ) sin d s a a = − + = − a 2(1 cos ) d 2 sin d 2 a = ． 从而所求弧长为： 2 2 0 0 2 sin d [ 2 cos ] 8 2 2 s a a a = = − = ． 例 14 求阿基米德螺线 = a a( 0) 相应于 0 2 的一段的弧长． 解：弧长元素为 2 2 2 2 d d 1 d s a a a = + = + ，于是所求弧长为： 2 2 2 2 0 1 d [2 1 4 ln(2 1 4 )] 2 a s a a = + = + + + + ． 四、小结与思考: 1．重述在直角坐标系、极坐标系下平面图形的面积、平行截面面积已知的立体的体积、 旋转体体积，平面曲线的弧长的积分公式． 2．思考如何求解旋转曲面的面积公式． 五、作业: 作业卡 第三节 定积分在物理学上的应用 教学目的：运用定积分的元素法，解决变力沿直线作功，水压力和引力等物理上的实际问题． 教学重点：利用定积分将物理问题抽象成数学问题． 教学难点：会求相关物理实际问题的定积分微元． 教学过程： 一、变力沿直线所作的功 1．例 1 把一个带 +q 电荷量的点电荷放在 r 轴上坐标原点 O 处，它产生一个电场．这 个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离 原点 O 为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为 2 q F k r = ，（图见 P283），当这个单位 正电荷在电场中从 r a = 处沿 r 轴移动到 r b = （ a b ）处时，计算电场力 F 对它所作的功． 解：取 r 为积分变量，任取小区间 [ , d ] [ , ] r r r a b + ．当单位正电荷从 r 移动到 r r +d