第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 ·条件分布律 ·条件分布函数 •条件概率密度 合 返回主目录
• 条件分布律 • 条件分布函数 •条件概率密度 第三章 随机变量及其分布 §3 条件分布 返回主目录
第三章随机变量及其分布 一、离散型随机变量的条件分布律 §3条件分布 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为 P{Xx,Y=乃}=p,i,j=1,2,. X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为： P(X=x}=p.=∑P,i=12,. i= PY=y}=p=∑pj=1,2. 合】返回主目录
一 、离散型随机变量的条件分布律 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为 P{ X= xi ,Y= yj }= pi j , i , j=1,2,. { } , 1,2, 1 = = = = = • P X x p p i j i i i j { } , 1,2, 1 = = = = = • P Y y p p j i j j i j (X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为： 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 返回主目录
第三章随机变量及其分布 由条件概率公式自然地引出如下定义： §3条件分布 定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定 的j,若P{Y=乃>0，则称 P(X=xIY= PX=x,Y=y2=Pu,i=1,2,. P(Y=y 为在Y=y条件下随机变量X的条件分布律。 条件分布律具有分布律的以下特性： 10P{X=xIY=乃20： 2° 空x=s业-以-2会2， p1=1. 台pyP司 p.i [合】返回主目录
由条件概率公式自然地引出如下定义： 定义：设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定 的 j , 若P{Y= yj }>0, 则称 , 1,2, { } { , } { | } = = = = = = = = • i p p P Y y P X x Y y P X x Y y j i j j i j i j 为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律。 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 条件分布律具有分布律的以下特性： 1 0 P{ X= xi |Y= yj }0； = • • = • • = = = = = = = 1 1 1 0 1. 1 2 { | } i j j i i i j j j i j i j p p p p p p P X x Y y 返回主目录
第三章 随机变量及其分布 同样对于固定的i,若P{Xx}>0,则称 §3条件分布 pyyP(xy.J=12. P(X=x} Pi 为在X=x,条件下随机变量Y的条件分布律 例 射手进行射击，击中目标的概率为，射击到击 中目标两次为止。设以X表示首次击中目标所进 行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数， 试求X和Y的联合分布律以及条件分布律。 解： 共日X< 人的试厚晋丁3十.：X的必厚昏合3回目录
同样对于固定的 i, 若P{X= xi}>0, 则称 , 1,2, { } { , } { | } = = = = = = = = • j p p P X x P X x Y y P Y y X x i i j i i j j i 为在 X= xi 条件下随机变量Y 的条件分布律。 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 一射手进行射击，击中目标的概率为 p，射击到击 中目标两次为止。设以 X 表示首次击 中目标所进 行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数， 试求 X 和 Y 的联合分布律以及条件分布律。 例 1 并且 ． 的取值是 ， ， ， ； 的取值是 ， ， ， X Y Y X 2 3 4 1 2 解： 返回主目录
第三章 随机变量及其分布 X人的联号出芈炜习 §3条件分布 b{X=3人=小} =b浅N必斟平斟具必华中目坐共耳并斟平小必} =6{浅必平叫具必平中目挫·日患必斟平叫崽二必些中目牡 甲师牙师焻 b=)=db.dm-b =db (首中d=J-b)=了3：w=5.N-1) K的师释半炜弟 PX=my=∑PX=m,Y=my=∑pg"2 n=+1 n=m+1 =p2∑g"-2=pi 2 =pgm-1,1 m=1,2,. n=m+ 1-9
, 1,2, 1 { } { , } 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 = = − = = • = = = = = − − = + − = + − = + pq m q q p q p P X m P X m Y n p q m m n m n n m n n m 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 PX = m，Y = n = P第m次射击时首次击中目标，并且共射击n次 = P第m 次射击时首次击中目标 ，且第n次射击时第二次命中目 标 由独立性，可得 ( 其中q =1− p ) (n = 2, 3，； m = 1， 2，， n −1 ) PX m Y n q p q p m n m = = = ， −1 − −1 2 2 q p n = − X的边缘分布律为 X,Y的联合分布律为
第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 人的师落出芈炜中 -m.Y ni-g-bgg. m= n=2,3,. 在Y=n条件下随机变量X的条件分布律为 当n=2,3.时， -对家=2 1 b==)=dab.dub=b (N=丁3：N=了. -J) 合】返回主目录
2,3, { } { , } ( 1) , 2 2 1 1 2 2 1 1 = = = = = = = − − − = − − = n P Y n P X m Y n p q n p q n n m n n m 在Y=n 条件下随机变量 X 的条件分布律为 , 1,2, , 1; 1 1 ( 1) { | } 2 2 2 2 = − − = − = = = − − m n n p q n p q P X m Y n n n 当 n=2,3,. 时， 第三章 随机变量及其分布 Y的边缘分布律为 §3条件分布 (n = 2, 3，； m = 1， 2，， n −1 ) PX m Y n q p q p m n m = = = ， −1 − −1 2 2 q p n = − 返回主目录
第三章随机变量及其分布 §3条件分布 在X=m条件下随机变量Y的条件分布律为 当m=1,2,3,.时， P(Y=nlx=m=P(x=m.Y=m_p'q2 PX =m pqu-1 pg"-m-, n=m+1m+2,. b==)=db.du-mb=db N=53:w=丁小N-I) 合】返回主目录
, 1, 2, { } { , } { | } 1 1 2 2 = = + + = = = = = = = − − − − pq n m m pq p q P X m P X m Y n P Y n X m n m m n 在 X= m 条件下随机变量Y 的条件分布律为 当m=1,2,3,. 时， 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 (n = 2, 3，； m = 1， 2，， n −1 ) PX m Y n q p q p m n m = = = ， −1 − −1 2 2 q p n = − 返回主目录
第三章 随机变量及其分布 二、条件分布函数 §3条件分布 设（X,Y)是二维连续型随机变量，由于 P{x}=0,P{Fy,}=0, 不能直接代入条件概率公式，我们利用极限的 方法来引入条件分布函数的概念。 定义：给定y,设对于任意固定的正数ε， Py0,若对于任意实数x,极限 limP{X≤x|y-&<Y≤y+s} 8→0 lim P{X≤x,y-E<Y≤y+} 8→0+ P{y-&<Y≤y+} 存在，则称为在条件Y=y下X的条件分布函数，写 成P{X≤xY=y},或记为F(xy) 合】返回主目录
二、条件分布函数 设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，由于 P{X= xi}=0, P{Y= yj }=0, 不能直接代入条件概率公式，我们利用极限的 方法来引入条件分布函数的概念。 定义：给定 y，设对于任意固定的正数 ， P{y-0, 若对于任意实数 x，极限 { } { , } lim lim { | } 0 0 − + − + = − + → + → + P y Y y P X x y Y y P X x y Y y 存在，则称为在条件Y= y下X的条件分布函数，写 成 P{ X x |Y= y }，或记为 FX|Y (x|y). 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 返回主目录
第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 Fxiy (xly)=lim P{X≤x,y-E<Y≤y+} 8-→0+ P{y-E<Y≤y+S} lim F(x,y+8)-F(x,y-8) 0 Fy(y+E)-Fy(y-E) lim [F(x,y+)-F(x,y-s)]/28 8)01 lim [Fy(y+8)-Fy (y-s)]/28 8-→0 OF(x,y) ro 0y ["f(u.y)du y(y) fy(y) fy(y) dy 合】返回主目录
第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 ( ) ( , ) ( ) ( , ) lim [ ( ) ( )]/ 2 lim [ ( , ) ( , )]/ 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) lim { } { , } ( | ) lim 0 0 0 0 | f y f u v dudv y F y d y d y F x y F y F y F x y F x y F y F y F x y F x y P y Y y P X x y Y y F x y Y y x Y Y Y Y Y X Y = = + − − + − − = + − − + − − = − + − + = − − → → → → + + + + , ( ) ( , ) f y f u y du Y x − = 返回主目录
第三章随机变量及其分布 §3条件分布 Fr()=Lf(u.ydu f(y) ay-小d 称为在条件Y=y下X的条件分布函数， fp(x1)=x四 fy(y) 製)P饵企雪X年人=入的老什上中丧中最匴尿熟
, ( ) ( , ) ( | ) | f y f u y du F x y Y x X Y − = , ( ) ( , ) ( | ) | − = x Y X Y du f y f u y F x y . ( ) ( , ) ( | ) | f y f x y f x y Y X Y = 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 称为在条件Y= y下X的条件分布函数， 称为随机变量 X 在Y = y的条件下的条件密度函 数