离散数学教案 编号：C701 课时安排： 2学时教学课型：理论课√实验课口习题课口实践课口其它口 题目（教学章、节或主题）： Ch7二元关系 §7.1有序对与笛卡儿积 67.2一元关系 教学目的要求（分掌握、热悉、了解三个层次） 1)草握有序对与笛卡儿积的概念： 2)掌握二元关系的定义及其矩阵表示： 教学重占、难占 二元关系的定义及其矩阵表示 教学方法： 利用黑板，CAI课件等教学 教学用具： 黑板，CA课件及其辅助设备 教学内容（注明：*重点 #难点 ？疑点)： 一、回顾上堂课内容（约5分钟） *二、有序对与笛卡儿积(40分钟) 1.有序对（也彩 序偶，记作<>，其中x是它的第一元素y是它的第二元素。 有序对的特点：1.）当xy时，+y,之。 2)两个有序对相等，即的充分必要条件是x=u且y=v。 2.A和B的笛卡儿积，记作AXB。符号化表示为 AXB={x,yK∈AAy∈B. 例1，A={a,b},B={0,1,2,则AXB=(,,a,2>,b,0>,b,1>,b2>: BXA={0,aP,,, 笛卡儿积运算的性质： 1.)若A,B中有一个空集，则它们的笛卡儿积是空集，即②×B=B×⑦=⑦ 2.)当A≠B且A,B都不是空集时，有AXB≠BXA。所以，笛卡儿积运算不适合交换律。 3.)当A,B,C都不是空集时，有(AXB)XC≠A×(BXC).所以，笛卡儿积运算不适合结合律。 笛卡儿积运算对U或门运算满足分配律即 AX(BUC)=(AXB)U(AXC): (BUC)XA =(BXA)U(CXA): AX(BOC)=(AXB)0(AXC): (BOC)XA =(BXA)0(CXA). 设A=1,23求PXA 例3 设A,B,C,D为任意集合，判断以下等式是否成立。 (1)(AnB)X(CnD)=(AXC)n(BXD): (2)(AUB)X(CUD)=(AXC)U(BXD):
701 离 散 数 学 教 案 编号：C701 课时安排： 2 学时 教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 其它□ 题目（教学章、节或主题）： Ch7 二元关系 §7.1 有序对与笛卡儿积 §7.2 二元关系 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1） 掌握有序对与笛卡儿积的概念； 2） 掌握二元关系的定义及其矩阵表示； 教学重点、难点： 1） 重点：二元关系的定义及其矩阵表示， 2） 难点：笛卡儿积运算的性质，笛卡儿积运算对∪或∩运算满足分配律； 教学方法: 利用黑板,CAI 课件等教学. 教学用具: 黑板,CAI 课件及其辅助设备. 教学内容（注明：* 重点 # 难点 ？疑点）： 一、回顾上堂课内容（约 5 分钟） *二、有序对与笛卡儿积（40 分钟） 1． 有序对 (也称序偶),记作,其中 x 是它的第一元素,y 是它的第二元素。 有序对的特点：1.）当 xy 时,。 2.）两个有序对相等,即 ＝ 的充分必要条件是 x＝u 且 y＝v。 2．A 和 B 的笛卡儿积,记作 A×B。符号化表示为 A×B＝{(x,y)|x∈A∧y∈B}. 例 1,A＝{a,b},B＝{0,1,2},则 A×B＝{,,,,,}； B×A＝{,, ,,,}。 4．笛卡儿积运算的性质: 1.）若 A,B 中有一个空集,则它们的笛卡儿积是空集,即 B＝B×＝ 2.）当 A≠B 且 A,B 都不是空集时,有 A×B≠B×A。所以,笛卡儿积运算不适合交换律。 3.）当 A,B,C 都不是空集时,有 (A×B)×C≠A×(B×C).所以,笛卡儿积运算不适合结合律。 5．笛卡儿积运算对∪或∩运算满足分配律即 A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)； (B∪C)×A ＝(B×A)∪(C×A)； A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)； (B∩C)×A ＝(B×A)∩(C×A)。 例2 设 A={1,2，3},求 P(A)×A 例 3 设 A,B,C,D 为任意集合,判断以下等式是否成立。 (1) (A∩B)×(C∩D)＝(A×C)∩(B×D)； (2) (A∪B)×(C∪D)＝(A×C)∪(B×D)；
(③)(A-B)×(C-D)=(AXC)-(B×D): (4)(AB)X(C⊕D)=(AXC)田(BXD). 三、二元关系(40分钟) 1,举例引入二元关系定义：就是在集合中两个元素之间的某种相关性 例如，甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛，如果任何两个人之间都要赛一场，那么共要赛三场。假设 场比赛的结果是乙胜甲、甲胜丙、乙胜丙，这个结果可以记作，，，其中表示x 胜y。它表示了集合（甲，乙，丙}中元素之间的一种胜负关系 2.二元关系定义如果一个集合为空集或者它的元素都是有序对，则称这个集合是一个二元关系，一般 记作R。对于二元关系R如果Ix∈AAy∈A}=AXA。 IA={X,X|x∈A}。 例2A=0,1,3,4,求E,。 5.常用的关系小于等于关系、整除关系 设A为实数集R的某个子集，则A上的小于等于关系定义为 LA={X,y>Ixy∈AAx≤y; 设B为正整数集Z+的某个子集，则B上的整除关系定义为 DB=lxy∈BAxly; 6.关系矩阵和关系图 设V是顶点的集合，E是有向边的集合，令V=A={x,x2,xn},如果xiR,则有向边就是R的关系图。 设A={,x2,},R是A上的关系则R的关系矩阵可表示为： -6套 ,j=12,",a) 五、课堂小结（约5分钟）
702 (3) (A—B)×(C—D)＝(A×C)－(B×D)； (4) (AB) ×(CD) ＝(A×C) (B×D)。 三、 二元关系（40 分钟） 1． 举例引入二元关系定义：就是在集合中两个元素之间的某种相关性. 例如,甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛,如果任何两个人之间都要赛一场,那么共要赛三场。假设三 场比赛的结果是乙胜甲、甲胜丙、乙胜丙,这个结果可以记作{,,},其中表示 x 胜 y。它表示了集合{甲,乙,丙}中元素之间的一种胜负关系. 2．二元关系定义 如果一个集合为空集或者它的元素都是有序对, 则称这个集合是一个二元关系,一般 记作 R。对于二元关系 R,如果∈R,则记作 xRy；如果R,则记作 3． A 到 B 的二元关系,特别当 A＝B 时,则叫做 A 上的二元关系。 4．对于任何集合 A 都有 3 种特殊的关系: 空集 , 称做空关系； 全域关系 EA ； 恒等关系 IA。 定义 对任何集合 A, EA＝{｜x∈A∧y∈A}＝A×A。 IA＝{｜x∈A}。 例 2 A={0,1,3，4},求 EA ， IA。 5．常用的关系:小于等于关系、整除关系 设 A 为实数集 R 的某个子集,则 A 上的小于等于关系定义为 LA＝{｜x,y∈A∧x≤y} 设 B 为正整数集 Z＋的某个子集,则 B 上的整除关系定义为 DB＝{｜x,y∈B∧xy}. 6．关系矩阵和关系图 设 V 是顶点的集合,E 是有向边的集合,令 V＝A＝{ 1 x , 2 x ,., n x },如果 xiRxj,则有向边∈E. 那么 G＝就是 R 的关系图。 设 A＝{ 1 x , 2 x ,., n x },R 是 A 上的关系,则 R 的关系矩阵可表示为： 五、课堂小结（约 5 分钟）
离散数学教案 编号：C702 课时安排： 2学时教学课型：理论课√实验课口习题课口实践课口其它口 题目（教学章、节或主题）： Ch7二元关系 §7.3关系的运算 S7.4关系的性历 教学目的要求（分掌握、热悉、了解三个层次）： 1.掌握关系的运算 2.掌握关系的性质 教学重点、难点： 1)重点：掌握关系的运算、掌握关系的五种常见的性质（自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递 性)的定义 2)难点：关系的基本运算的主要性质 教学方法： 利用黑板，CI课件等教学 教学用具： 黑板，CAI课件及其辅助设备 教学内容（注明：◆重点#难点 ?疑点)： 一、回顾上堂课内容（约5分钟） *二、关系的运算（约20分钟） l.定义关系R的定义域domR值域ranR和域dR分别是 domR={xy(ER)) ranR={y3x(∈R} fldR =domRranR domR就是R的所有有序对的第一个元素构成的集合，raR就是R的所有有序对的第二个元素构成的集合 例1.实数集R上的关系 {x,yky∈RAx+y=l,则有domS,ranS,f1ds。 2.定义设F,G为任意的关系，A为集合，则 ()F的逆记作F- F-=(lyFx). 2P与G的复合记作F。G F.G.=[I3z(xGizAzFy) (3)F在A上的限制记作F「A A={x.y>xFyAx∈A. (4)A在F下的象记作FA, FA=ran(F「A) ·复合运算不是可交换的，即对任何关系F,G,一般说来FG≠GF 三、关系的基本运算的主要性质（约20钟） 1.定理设F,G,H是任意的关系，则有 (1)(F)=p 703
703 离 散 数 学 教 案 编号：C702 课时安排： 2 学时 教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 其它□ 题目（教学章、节或主题）： Ch7 二元关系 §7.3 关系的运算 §7.4 关系的性质 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1. 掌握关系的运算 2．掌握关系的性质 教学重点、难点： 1）重点：掌握关系的运算、掌握关系的五种常见的性质（自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递 性）的定义 2) 难点：关系的基本运算的主要性质 教学方法: 利用黑板,CAI 课件等教学. 教学用具: 黑板,CAI 课件及其辅助设备. 教学内容（注明：* 重点 # 难点 ？疑点）： 一、回顾上堂课内容（约 5 分钟） *二、关系的运算（约 20 分钟） 1．定义 关系 R 的定义域 domR,值域 ranR 和域 fldR 分别是 domR＝{xy(∈R)} ranR＝{y| x(∈R)} fldR＝domR∪ranR。 domR就是R的所有有序对的第一个元素构成的集合,ranR就是R的所有有序对的第二个元素构成的集合. 例 1．实数集 R 上的关系 S={|x,y∈R∧x+y=1},则有 domS，ranS，fldS。 2．定义 设 F,G 为任意的关系,A 为集合,则 (1)F 的逆记作 −1 F ， −1 F ＝{|yFx}. (2)F 与 G 的复合记作 F◦G, F◦G,＝{｜z(xGz∧zFy)} (3)F 在 A 上的限制记作 F A F A＝{|xFy∧x∈A}. (4)A 在 F 下的象记作 F[A], F[A]＝ran (F A) ⚫ 复合运算不是可交换的,即对任何关系 F,G,一般说来 F◦G≠G◦F. 三、关系的基本运算的主要性质 （约 20 钟） 1．定理 设 F,G,H 是任意的关系,则有 （1） 1 1 ( ) − − F =F
(2)dom F=ranF ;ran F-=domF (3)(FG)H=F。(GH 4(FoG)=G-1。F- 2. 定理设F,G,H为任意的关系则有 (I)F。(GUH=fGFH (2)(GUH)-F=G.FUH-F (3)F。(GOH)EF.GOF.H 3. 定义设R为A上的关系，n为自然数，则R的n次幂规定如下： (I)R0={x,Xx∈A}=IA (2)R=R-。Rn≥1 四、关系的性质主要有以下5种（约40钟） 有以下5种：自反性、反自反性、对称性、反对称、性传递性。 表41 自反性反自反性 对称性 反对称性 传递性 定YxEA,有Yx∈A,有若(x,y∈R,则若xy》∈R且x 若《x,w》∈R且 G)ER. 红z在R (y)ER. ≠头.则y,z年R 〈y,z)ER,则（红， :)ER. 主对角线元主对角线元矩阵为对称矩阵。 素全是1山. 素全是0. 点矩 阵 精 图中每个顶 国中每个顶 如果两个顶点之 如果两个重点之 如果顶点名到 点都有环 间有过，一定是 点环 有边，到有 对方向相反的边。 条有向边. 边，则从面到 有边， 例7.14（§7.4） 例3.判断下列关系的性质 集合A上的全域关系：恒等关系：整除关系：小于等于关系：幂集上的包含关系 五、课堂小结（约5分钟）
704 (2）dom −1 F =ranF ;ran −1 F =domF (3) (F◦G) ◦H＝F◦ (G◦H) (4) 1 ( ) − F G = −1 G 。 −1 F 2. 定理 设 F,G,H 为任意的关系,则有 (1)F◦ (GH)=F◦GF◦H (2) (GH)◦F=G◦F H◦F (3) F◦ (GH) F◦GF◦H (4) (GH)◦F G◦F H◦F 3. 定义 设 R 为 A 上的关系,n 为自然数,则 R 的 n 次幂规定如下： (1) 0 R ={| x A} = I A （2） n R = n−1 R 。R n 1 四、关系的性质主要有以下 5 种（约 40 钟） 有以下 5 种：自反性、反自反性、对称性、反对称 、性传递性。 例 7.14 （§7.4） 例 3．判断下列关系的性质 集合 A 上的全域关系；恒等关系；整除关系；小于等于关系；幂集上的包含关系 五、课堂小结（约 5 分钟）
离散数学教案 编号：C703 课时安排： 2学时教学课型：理论课√实验课口习题课口实践课口其它口 题目（教学章、节或主题）： Ch7二元关系 s7.5关系的闭包 §7.6等价关系与划分 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： )掌握关系的自反闭包、对称闭包、传递闭包的定义和求法： 2)掌据等价关系的定义、等价类及性质，掌握集合划分的定义，以及等价关系与划分之间的关系： 教学重点、难点： )重点：二元关系的常见的性质及闭包的定义和求法，等价关系的定义 2)难点：闭包的定义和求法 教学方法： 利用黑板，CAI课件等教学 教学用具 黑板，CAI课件及其辅助设备。 教学内容（注明：·重点 #难点 ?疑点)： 、回顾上堂课内容（约5分钟） *二、关系的闭包(40分钟) 1.定义设R是非空集合A上的关系，R的自反闭包（对称闭包或传递闭包）是A上的关系R,且R"满足 以下条件： (I)'是自反的（对称的或传递的）： 2RcR】 (3)对A上的任何包含R的自反关系（对称或传递关系）R"都有R'SR” 一般将R的自反reflexive闭包记作r(R),对称ymmetric闭包记作sR),传递transitive闭包记作t(R)。 例1设A={ab,cd,R={,,,,,b,ce心，c,d,则rR),sR),tR) 3.闭包的矩阵表示 705
705 离 散 数 学 教 案 编号：C703 课时安排： 2 学时 教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 其它□ 题目（教学章、节或主题）： Ch7 二元关系 §7.5 关系的闭包 §7.6 等价关系与划分 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1）掌握关系的自反闭包、对称闭包、传递闭包的定义和求法； 2） 掌握等价关系的定义、等价类及性质，掌握集合划分的定义，以及等价关系与划分之间的关系； 教学重点、难点： 1) 重点：二元关系的常见的性质及闭包的定义和求法，等价关系的定义 2) 难点：闭包的定义和求法 教学方法: 利用黑板,CAI 课件等教学. 教学用具: 黑板,CAI 课件及其辅助设备. 教学内容（注明：* 重点 # 难点 ？疑点）： 一、回顾上堂课内容（约 5 分钟） *二、关系的闭包（40 分钟） 1．定义 设 R 是非空集合 A 上的关系,R 的自反闭包(对称闭包或传递闭包)是 A 上的关系 R’,且 R’满足 以下条件: (1)R’是自反的(对称的或传递的)； (2)RR’； (3)对 A 上的任何包含 R 的自反关系(对称或传递关系)R”都有 R’ R”. 一般将 R 的自反 reflexive 闭包记作 r(R),对称 symmetric 闭包记作 s(R),传递 transitive 闭包记作 t(R)。 例 1 设 A＝{a,b,c,d},R＝{,,,},则 R 和 r(R),s(R),t(R)的关系图 2．定理 设 R 为非空集合 A 上的关系,则有 (1)r(R)＝R∪R0； (2)s(R)＝R∪ −1 R ； (3)t(R)=R∪ 2 R ∪ 3 R ∪. (4)A 是含有 n 个元素的集合 t(R)= R∪ 2 R ∪ 3 R ∪.∪ k R , k≤n 例 2 设 A＝{a,b,c,d},R＝{,,,},则 r(R),s(R),t(R) 3．闭包的矩阵表示
M:=M+E Ms=M+M M=M+M2+M3+. 其中E表示同阶的单位矩阵（主对角线元素为1，其他元素都是0） M表示M的转置，而+均表示矩阵中对应元素的逻辑加 等价关系(45分钟) 1.定义设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系对 任何xy∈A,如果<Xy)∈等价关系R则记作xy 例3下面是一些第价关系的 (1)在一群人的集合上年龄相等的关系是等价关系而朋友关系不一定是等价关系，因为它可能不是传递的 般称这种自反的对称的关系为相容关系显然等价关系都是相容关系但相容关系不一定是等价关系 (2)动物是按种属分类的：“具有相同种属的关系是动物集合上的等价关系 (3)集合上的恒等关系和全域关系都是等价关系. 例4.A=,2.,8,R={XyPk,y∈AAx=y(mod3) 其中x-y(mod3)的含义就是xy可以被3整除，则R为A上的等价关系 2.设R是非空集合A上的等价关系，则A上互相等价的元素构成了A的若干个子集，叫做等价类 设R是非空集合A上的等价关系，对任意的x∈A,令称为x关于R的等价类简称为x等价类，简记为] 等价类的性质 定理设R是非空集合A上的等价关系，对任意的Xy∈A,下面的结论成立 (I)x≠O,且xcA: (2)若xRy,则[xy: (3)若xRy,则[xn=a: (4) V冈=A 4.定义 设R为非空集合A上的等价关系，以R的不交的等价类为元素的集合叫做A在R下的商集 记作A/R A/R={[xRIx∈A 例5在例4中，A在R下的商集是AR={1,4,7,{2,5,8.{3,6 例6（山）非空集合A上的恒等关系是A上的等价关系，对任意x∈A有]=x, 商集AWIA={xK∈A}. (2)在整数集合z上模n的等价关系，求其等价类 5.别分 定义设A是非空集合，如果存在一个A的子集族(CP(A)满足以下条件 (1)rg0: (2)x中任意两个元素不交： (3)加中所有元素的并集等于A 则称π为A的一个划分，且称π中的元素为划分块 例7设A=L2,3,求出A上所有的等价关系 五、课堂小结（约5分钟 706
706 M r ＝M＋E M s = M+M’ M t = M+ 2 M + 3 M +. 其中 E 表示同阶的单位矩阵(主对角线元素为 1,其他元素都是 0) M'表示 M 的转置,而+均表示矩阵中对应元素的逻辑加。 二、等价关系（45 分钟） 1．定义 设 R 为非空集合 A 上的关系,如果 R 是自反的、对称的和传递的,则称 R 为 A 上的等价关系.对 任何 x,y∈A,如果|x,y∈A∧x≡y(mod 3)}, 其中 x-y(mod 3)的含义就是 x-y 可以被 3 整除.，则 R 为 A 上的等价关系 2．设 R 是非空集合 A 上的等价关系,则 A 上互相等价的元素构成了 A 的若干个子集,叫做等价类 设 R 是非空集合 A 上的等价关系,对任意的 x∈A,令称为 x 关于 R 的等价类,简称为 x 等价类,简记为[x]. 3．等价类的性质. 定理 设 R 是非空集合 A 上的等价关系,对任意的 x,y∈A,下面的结论成立. (1) [x]≠,且[x]A； (2) 若 xRy,则[x]=[y]； (3) 若 xRy,则[x]∩[y]＝； (4) xA [x] =A. 4. 定义 设 R 为非空集合 A 上的等价关系,以 R 的不交的等价类为元素的集合叫做 A 在 R 下的商集, 记作 A／R, A／R＝{ R [x] ｜x∈A}. 例 5 在例 4 中,A 在 R 下的商集是 A/R={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}} 例6 (1)非空集合 A 上的恒等关系 IA 是 A 上的等价关系,对任意 x∈A 有[x]＝{x}, 商集 A/ IA ={{x}|x∈A}. (2)在整数集合 z 上模 n 的等价关系,求其等价类 5．划分 定义 设 A 是非空集合,如果存在一个 A 的子集族 (P(A))满足以下条件 (1)； (2) 中任意两个元素不交； (3) 中所有元素的并集等于 A, 则称 为 A 的一个划分,且称 中的元素为划分块. 例 7 设 A＝{1,2,3},求出 A 上所有的等价关系. 五、课堂小结（约 5 分钟）
福建农林大学教案 编号：C704 课时安排： 2学时教学课型：理论课√实验课口习题课口实践课口其它口 题目（教学章、节或主题）： Ch7二元关系 §7.7偏序关系 教学目的要求（分掌握、热悉、了解三个层次）： 1.理解偏序关系的概念 2。掌握偏序关系 教学内容（注明：多重点 #难点 ?疑点)： *一、偏序关系(45分钟) 1 定义设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系简 称偏序，记作 2.定义 “个集合A与A上的偏序关系R一起叫做偏序集记作 3.定义设为偏序集，对于任意的xy∈A,如果x≤y或者y≤x成立则称x与y是可比的， 如果x是偏序集，其中A={1,23,4,5,≤是整除关系 4 全序关系 定义设为偏序集，若对任意的xy∈A,x和y都可比，则称≤为A上的全序关系， 且称为全序集 例2. {1,2,3,4,5}上的小于等于关系是全序关系，而整除关系不是全序关系」 最大元，最小元极大元极小元(45分钟 1.定义设为偏序集，BCA y是B的最小元：若3y∈B,使得∀xx∈B→y≤x) y是B的最大元：若3y∈B,使得Vxx∈B→x≤y) y是B的极小元若y∈B,使得3-xx∈BAx为偏序集BA V是B的上界：若3vEA使得xx∈B+x≤v】 y是B的下界：若y∈A,使得Vxx∈B一 B的最小 上界或 上确界：令C=为B的上界，则称C的最小元为上确界 B的最大下界或下确界：令D={少为B的下界，则称D的最大元为下确界 例3画出和的哈斯图 并求出最大元，最小元，极大元，极小元，上界，下界，上确界，下确界 五、课堂小结（约5分钟） 707
707 福 建 农 林 大 学 教 案 编号：C704 课时安排： 2 学时 教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 其它□ 题目（教学章、节或主题）： Ch7 二元关系 §7.7 偏序关系 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1． 理解偏序关系的概念 2． 掌握偏序关系 教学内容（注明：* 重点 # 难点 ？疑点）： *一、偏序关系（45 分钟） 1．定义设 R 为非空集合 A 上的关系,如果 R 是自反的、反对称的和传递的,则称 R 为 A 上的偏序关系.简 称偏序,记作≤ . 2．定义 一个集合 A 与 A 上的偏序关系 R 一起叫做偏序集,记作. 3．定义 设为偏序集,对于任意的 x,y∈A,如果 x≤y 或者 y≤x 成立,则称 x 与 y 是可比的, 如果 x＜y(即 x≤y∧x≠y),且不存在 zA 使得 x是偏序集, 其中 A＝{1,2,3,4,5}, ≤是整除关系. 4．全序关系 定义 设为偏序集,若对任意的:x,y∈A,x 和 y 都可比,则称≤为 A 上的全序关系, 且称为全序集. 例 2, {1,2,3,4,5}上的小于等于关系是全序关系,而整除关系不是全序关系. 二、 最大元,最小元,极大元,极小元（45 分钟） 1．定义 设为偏序集,B A. y 是 B 的最小元:若y∈B,使得x(x∈B→y≤x) y 是 B 的最大元:若y∈B,使得x(x∈B→x≤y) y 是 B 的极小元:若y∈B,使得x(x∈B∧x＜y) y 是 B 的极大元:若y∈B,使得x(x∈B∧y＜x) 2． 上界,下界,上确界,下确界 定义 设为偏序集,BA. y 是 B 的上界:若y∈A,使得x(x∈B→x≤y) y 是 B 的下界:若y∈A,使得x(x∈B→y≤x) B 的最小上界或上确界:令 C＝{y|y 为 B 的上界},则称 C 的最小元为上确界 B 的最大下界或下确界:令 D＝{y|y 为 B 的下界},则称 D 的最大元为下确界 例 3 画出和的哈斯图. 并求出最大元,最小元,极大元,极小元，上界,下界,上确界,下确界 五、课堂小结（约 5 分钟）