离散数学教案 编号：C801 课时安排： 】学时教学课型：理论课√实验课口习题课口实践课口其它口 题目（教学章、节或主题）： Ch8函数 §81函数的定义与性质 §8.2函数复合函数和反函数 教学目的要求（分掌握、热悉、了解三个层次） 1.理解函数的概念 2.了解复合函数和反函数的概念 教学重点、难点： 1)重点：函数的定义与性质 教学方法 利用黑板，CAI课件等教学 教学用具： 黑板，CAI课件及其辅助设备 教学内容（注明：幸重点#难点 ?疑点) 函数的定义和性质(25分钟 1.定义设F为二元关系，若对任意的x∈domF都存在唯一的y∈ranF使得xFy成立，则称F为函数 如果∈函数F,则记作F(x)=y,称y是F在x的函数值 2.定义设A,B是集合，如果函数f满足以下条件 (1)domf=A 2)rar 则称f是从A到B的函数，记作fA→B 3.定义设A,B为集合，所有从A到B的函数构成集合BBA,读作B上A”即 B4=(flfA-B). 4.函数的性质 定义设函数f:A一B. (I)若ranf=B,则称f是满射的（或到上的） (2)若对于任何的xL,x2∈A,x1≠x2,都有f(x)≠f2),则称f是单射的（或一一的）， (3)若f既是满射的，又是单射的，则称f是双射的（或 一到上的 例11)设：A一B,如果存在y∈B使得对所有的x∈A都有)=y则称EA一B是常函数 (2)A上的恒等关系LA就是A上的恒等函数，对于所有的x∈A有LA(xFx. (3)设fR一R,对于任意的x1,x2∈R如果xI<x2则有fx1)≤x2),称y为单调递增的 如果x1<2则有x1)<x2).就称r为严格单调递增的类似地也可以定义单调递减和 严格单调递减的函数，它们统称为单调函数 (④)设A为集合，对于任意的A'CA,A的特征函数 801
801 离 散 数 学 教 案 编号：C801 课时安排： 1 学时 教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 其它□ 题目（教学章、节或主题）： Ch8 函数 §8.1 函数的定义与性质 §8.2 函数复合函数和反函数 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1. 理解函数的概念 2. 了解复合函数和反函数的概念 教学重点、难点： 1） 重点：函数的定义与性质 教学方法: 利用黑板,CAI 课件等教学. 教学用具: 黑板,CAI 课件及其辅助设备. 教学内容（注明：* 重点 # 难点 ？疑点）： *一、函数的定义和性质（25 分钟） 1. 定义 设 F 为二元关系,若对任意的 x∈domF 都存在唯一的 y∈ranF 使得 xFy 成立,则称 F 为函数. 如果∈函数 F,则记作 F(x)＝y,称 y 是 F 在 x 的函数值. 2. 定义 设 A,B 是集合,如果函数 f 满足以下条件 (1)domf＝A, (2)ranfB, 则称 f 是从 A 到 B 的函数,记作 f:A→B. 3. 定义 设 A,B 为集合,所有从 A 到 B 的函数构成集合 A B BA,读作“B 上 A”.即 A B ={f | f:A→B }, 4. 函数的性质 定义 设函数 f : A→B. (1)若 ranf＝B,则称 f 是满射的(或到上的) (2)若对于任何的 x1, x2 ∈A, x1≠x2 ,都有 f (x1)≠f(x2 ),则称 f 是单射的(或一一的), (3)若 f 既是满射的,又是单射的,则称 f 是双射的(或一一到上的) 例 1 1)设:A→B,如果存在 y∈B 使得对所有的 x∈A 都有 f(x)＝y,则称 f: A→B 是常函数. (2)A 上的恒等关系 IA 就是 A 上的恒等函数,对于所有的 x∈A 有 IA(x)=x. (3)设 f:R→R,对于任意的 x1 , x2 ∈R,如果 x1＜x2 则有 f(x1)≤f(x2),称 y 为单调递增的. 如果 x1＜x2 则有 f(x1)＜f(x2),就称 f 为严格单调递增的.类似地也可以定义单调递减和 严格单调递减的函数,它们统称为单调函数. (4)设 A 为集合,对于任意的 A’A,A’的特征函数
二、函数的复合和反函数(15分钟) 1.定理设E,G为函数，则FG也是函数，且满足以下条件： (1)dom(FG)={x|x∈domG∧G(x)∈domF}, (2)对于任意的x∈dom(FG)有FG(x)=F(G(x) 2.推论：设fB→C,g:A→B,则fg:A→C,且对任意的x∈A有fgx)=fgx). 定理：设fB→C,gA→B, (1)如果￡，g是满射的，则f。g:A→C也是满射的 (2)如果f,g是单射的，则f。g:A→C也是单射的， (3)如果f,g是双射的，则f。g:A→C也是双射的 3.定理4.8设fA→B是双射的，则f是函数，并且是从B到A的双射函数」 对双射函数fA→B,称f-1:B→A是f的反函数 对任何双射函数fA→B及其反函数f-」B→A,它们的复合函数都是恒等函数，且满足 f-1。f=La,f。f-=IB 三、课堂小结（约5分钟） 802
802 二、 函数的复合和反函数（15 分钟） 1．定理 设 F,G 为函数,则 F◦G 也是函数,且满足以下条件: (1)dom(F◦G)＝{x｜x∈domG∧G(x)∈domF}, (2)对于任意的 x∈dom(F◦G)有 F◦G(x)=F(G(x)). 2．推论: 设 f:B→C，g:A→B,则 f◦g:A→C,且对任意的 x∈A 有 f◦g(x)＝f(g(x)). 定理： 设 f:B→C,g:A→B, (1)如果 f,g 是满射的,则 f ◦ g: A→C 也是满射的. (2)如果 f,g 是单射的,则 f ◦ g: A→C 也是单射的. (3)如果 f,g 是双射的,则 f ◦ g: A→C 也是双射的. 3．定理 4.8 设 f:A→B 是双射的,则 −1 f 是函数,并且是从 B 到 A 的双射函数. 对双射函数 f:A→B,称 −1 f :B→A 是 f 的反函数. 对任何双射函数 f:A→B 及其反函数 −1 f :B→A,它们的复合函数都是恒等函数,且满足 −1 f ◦ f＝ IA, f ◦ −1 f = IB 三、课堂小结（约 5 分钟）