第十一章 半群与群 ·11.1半群与独异点 ■11.2群的定义与性质
第十一章 半群与群 11.1 半群与独异点 11.2 群的定义与性质
11.1半群与独异点 ■半群与独异点 ·半群与独异点定义与性质 ·元素的幂的定义及性质 ·半群与独异点的子代数和直积 ■半群与独异点的同态
半群与独异点 半群与独异点定义与性质 元素的幂的定义及性质 半群与独异点的子代数和直积 半群与独异点的同态 11.1 半群与独异点
半群、独异点的定义 半群和独异点都是具有一个二元运算的 代数系统。 独异点是特殊的半群
半群、独异点的定义 半群和独异点都是具有一个二元运算的 代数系统。 独异点是特殊的半群
半群、独异点的定义 定义1)设V=是代数系统，°为二 元运算，且满足结合律，则称V为半群。 2)若V=是半群， 且S中存在对于°运算的单位元e, 则称V为么半群，又称独异点， 记.独异，点是特殊的半群
半群、独异点的定义 定义 1) 设V= 是代数系统， 为二 元运算，且满足结合律，则称V为半群。 2) 若V= 是半群， 且S中存在对于运算的单位元e, 则称V为幺半群,又称独异点, 记 .独异点是特殊的半群
判断以下例子是否是半群或独异点 (1) ,,,,,+是普通加法 (2)设n是大于1的正整数，和, 其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法 (3)，其中⊕为集合的对称差运算. (4)，其中Zm={0,1,n-1},⊕为模n加法. (5),其中0为函数的复合运算. (6),其中R*为非零实数集合，o运算定义 如下：x,y∈R*,xoy=y
判断以下例子是否是半群或独异点 （1）,,,,，+是普通加法. （2）设 n 是大于1的正整数，和， 其中+和 · 分别表示矩阵加法和矩阵乘法. （3），其中为集合的对称差运算. （4），其中 Zn={0,1, ., n1}，为模 n 加法. （5），其中 为函数的复合运算. （6），其中R*为非零实数集合，运算定义 如下：x, y∈R*, x y =y
元素的幂的定义及性质 元素的幂运算定义 设V=为半群，对任意x∈S,规定： xl=x x+1=x"o飞， n∈Z 幂运算规则： xn O xm=xn+m (xh)m-xnm m,n∈Z 证明方法：数学归纳法
元素的幂的定义及性质 元素的幂运算定义 设V=为半群，对任意 x∈S，规定： x 1 = x x n+1 = x n x, n∈Z+ 幂运算规则： x n x m = x n+m (x n ) m= x nm m, n∈Z+ 证明方法：数学归纳法
半群与独异点的子代数 ■半群V=是独异点，则还可以定义 x的零次幂，即x=e 定义半群（或独异点）V=的子代数 称为子半群（或子独异点）
半群V=是独异点,则还可以定义 x的零次幂，即x 0=e 定义 半群 (或独异点)V= 的子代数 称为子半群 (或子独异点). 半群与独异点的子代数
半群与独异点的子代数的判定 判断方法 设V=为半群，T是V的子半群当且仅当T 对0运算封闭。 设V=为独异点，T是V的子独异点当且 仅当T对o运算封闭，且e∈T。 实例： ,是的子半群，是 的子独异点，不是的子独异点
半群与独异点的子代数的判定 判断方法 设 V=为半群，T 是 V 的子半群当且仅当 T 对 o 运算封闭。 设 V = 为独异点，T 是 V 的子独异点当且 仅当 T 对 o 运算封闭，且 e T 。 实例： , 是的子半群，是 的子独异点， 不是的子独异点
半群与独异点的直积 定义半群（或独异点）V1=,V2=. 令S=S1×S2并定义S上的·运算如下： V,ES, = 称为V1和V2的直积，记作V1×V2 可以证明：V1×V2仍为半群（或独异，点）
半群与独异点的直积 定义 半群(或独异点)V1 =, V2 =. 令S=S1 S2 并定义S上的 运算如下: , S, ·= 称为V1和V2的直积,记作V1 V2 可以证明：V1 V2仍为半群(或独异点)
半群和独异点的同态 F定义(1)设V=,V2是半群，p: S1→S2.若对任意的K,y∈S有 p(xov)=p(x)p(y) 则称φ为半群V到V,的同态映射，简称同态。 (2)设V1=,V2=是独异点， p:S1→S2若对任意的K,y∈S1有 p(xoy)=p(x)*(y)(e)=e2, 则称φ为独异点V,到V,的同态映射，简称同态
半群和独异点的同态 定义 (1) 设V1= ，V2= 是半群，： S1→S2 . 若对任意的 x, y∈S1有 (xy) = (x) ∗ (y) 则称 为半群 V1 到 V2 的同态映射，简称 同态. (2) 设V1 = ，V2 = 是独异点， : S1→S2 . 若对任意的 x, y∈S1有 (xy) = (x) ∗ (y) 且 (e1 ) = e2 , 则称 为独异点 V1 到 V2 的同态映射，简称 同态