多元函数微分学复习 要求掌握： (山)多元函数的连续，偏导存在，可微之间的关系 (②熟练掌握复合函数，隐函数，向量值函数的微分法，一阶全微分形式不变性. (③)掌握非条件极值和条件极值的求法。 (④掌握空间曲线的切线和法平面方程求法，空间曲面的切平面和法线的方程求 法。 . 一、多元函数的极限、连续、偏导存在性、可微 1.(7)16分)设二元函数f红，)= {红+”m+子+0 0, (,)=(0,0) 其中n为正数，讨论m为何值时，Jc,)在原点(0,0)处 (①)连续，（②）一阶偏导存在，（③）可微，（④）一阶偏导连续 2.(16)(10分)判断下面的极限是否存在，若存在求出极限值。 3.(14)(4分)二元函数f任，)在00,0)处可微的一个充分条件是() (Aao红)-f0.o1=0 =0:00=0=0,@0=0 o69-2=a (D)1m/(z,0)-f0.01=0且1 imIf(0,)-fB0,01=0. 4.(14)(8分)设函数jz,)=p(r),其中函数(0)=0，在u=0的某邻域满足 (u训≤u2.证明f红，)在(0,0)点可微
· 1 · ıºÍá©ÆES ᶛºµ (1) ıºÍÎY߆3ßåáÉm'X. (2) Ÿˆ›ºE‹ºÍߤºÍßï˛äºÍá©{ßò á©/™ÿC5. (3) ›ºö^á4ä⁄^á4ä¶{" (4) ›ºòmÇÉÇ⁄{²°ê߶{ßòm°É²°⁄{Çê߶ {" . ò!ıºÍ4Å!ÎY!†35!åá 1. (17)(16©) ºÍf(x, y) = (x + y) n sin 1 p x 2 + y 2 , x2 + y 2 6= 0 0, (x, y) = (0, 0) Ÿ•nèÍ,?ÿnè¤äû,f(x, y)3:(0, 0)? (1) ÎY, (2) ò †3, (3)åá, (4) ò †ÎY. 2. (16)(10©) ‰e°4Å¥ƒ3,e3¶—4Åä. (1) lim (x,y)→(0,5) e xy − 1 x , (2) lim (x,y)→(0,0) x 2 − y 3 x 2 + y 3 . 3. (14)(4©) ºÍf(x, y)3O(0, 0)?åáòáø©^á¥( ). (A) lim (x,y)→(0,0) [f(x, y) − f(0, 0)] = 0. (B) limx→0 f(x, 0) − f(0, 0) x = 0, limy→0 f(0, y) − f(0, 0) y = 0. (C) lim (x,y)→(0,0) f(x, y) − f(0, 0) − x − y p x 2 + y 2 = 0. (D) limx→0 [f 0 x (x, 0) − f 0 x (0, 0)] = 0Ölimy→0 [f 0 y (0, y) − f 0 y (0, 0)] = 0. 4. (14)(8©) ºÍf(x, y) = ϕ(|xy|),Ÿ•ºÍϕ(0) = 0,3u = 0,ç˜v |ϕ(u)| ≤ u 2 . y²f(x, y)3(0, 0):åá.
2 5.(13)(4分)设二元函数(z,)= 则f红，y)在原点 (,)=(0,0) 处() (A)偏导数不存在 (B)偏导数存在但不可微 (C)可微但偏导数不连续 (D)偏导数连续 6.(12)(4分)下列1个选项中，不正确的是(). (A)函数f(红，)在区域D中可微的必要条件是f(红，)在D中连续。 (B)函数f红，)在区域D中可微的充分条件是它的两个一阶偏导在D中连续 (Q西数：，)在区线D中可微的充分条件是一△：-Bo△-△y 0共中A=fm+△z物+△)-fo,wPV@乎+a )函数f红，)在区域D中可微的必要条件是它在D中两个一阶偏导存在且连 续 7.(11)(4分)下列二元函数在原点连续的有()个。 +红别≠0,0) 2-y 0 =0 0, (红，=(0,0) (A)0: (B)15; (C)2 (D)3 8.(11)(12分)设二元函数 f红，) {a同+2+r+学g2+0 0. x2+2=0 (1)当a,b取何值时，函数f(红，)在原点连续？ (②)当a,b取何值时，函数f工，)在原点可微 二、多元函数的偏微商 1上02分试用变量代换==y将方程+2+=0 化为方程器=0其中函数仁)具有二卧连续偏导数 2.(16)6分)设：=c,)由方程Fc+y+》=0确定，其中F有连续的一阶偏 导求江丽
· 2 · 5. (13)(4©) ºÍf(x, y) = xy p x 2 + y 2 , x2 + y 2 6= 0 0, (x, y) = (0, 0) Kf(x, y)3: ?( ) (A) †Íÿ3 (B) †Í3ÿåá (C) åá†ÍÿÎY (D) †ÍÎY 6. (12)(4©) e4á¿ë•,ÿ(¥( ). (A) ºÍf(x, y)3´çD•åá7á^á¥f(x, y)3D•ÎY. (B) ºÍf(x, y)3´çD•åáø©^á¥ß¸áò †3D•ÎY. (C) ºÍf(x, y)3´çD•åáø©^á¥lim ρ→0 4z − f 0 x (M0)4x − f 0 y (M0)4y ρ = 0,Ÿ•4z = f(x0 + 4x, y0 + 4y) − f(x0, y0), ρ = p (4x) 2 + (4y) 2. (D) ºÍf(x, y)3´çD•åá7á^á¥ß3D•¸áò †3ÖÎ Y. 7. (11)(4©) eºÍ3:ÎYk( )á" i) xy x − y , x 6= y 0, x = y ii) x sin 1 y , y 6= 0 0, y = 0 iii) x 2y x 2 + y 2 , (x, y) 6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) (A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3 8. (11)(12©) ºÍ f(x, y) = (a p |x| + x 2 + y 2 + b) sin(xy2 ) x 2 + y 4 , x2 + y 2 6= 0 0, x2 + y 2 = 0 (1) a, b¤äû,ºÍf(x, y)3:ÎYº (2) a, b¤äû,ºÍf(x, y)3:åẠ!ıºÍ†á˚ 1. (17)(12©) £^C˛ìÜξ = y x , η = y Úêß x 2 ∂ 2u ∂x2 + 2xy ∂ 2u ∂x∂y + y 2 ∂ 2u ∂y2 = 0 zèêß ∂ 2u ∂η2 = 0 Ÿ•ºÍu(x, y) ‰k ÎY†Í. 2. (16)(6©) z = z(x, y)dêßF(x + z y , y + z x ) = 0(½ßŸ•FkÎYò † ,¶ ∂z ∂x, ∂z ∂y .
3 (154分)设由方程上血-广}业=0确定的隐函数：=仁，)的全微 分de= 2e”下化为函数w=(4,)的方程 +=2如 其中函数（红，以，(u,)都具有二阶连续偏导数。 五分)接=八高其中可微通数0a则高 6.(14)(4分)设f(z,)有连续的偏导数，且(z,x2)=x2e-三，f2(c,x2)=-x2e-,若x≠ 0,则f(红，x2)等于(） (A)2xe-E(B)(-x2+2x)e-x(C)e-x(D)(2z-1)e-z 7.(14)(8分)设：=f化，x,t=(红+y),其中p,f分别有连续的二阶导数和二阶偏 导数求高 8.(14(8分)设：=f,u=(+P)d，其中fu)可微p(u)连续，且 1,P阳连线求号+器 232 9.(13)(8分)设函数f(红，= +广≠0求出，)在原点00,0处 0, x2+2=0. 的所有的二阶导数. 10.(13)(8分)设f为可微函数，u=f(x2+2+),函数：=z红，)为由方程3红+ 2+3=6ry在(1,11)附近确定的隐函数，试求A 山.(28分)设函数如=f北+y十二到9)惧有二阶连续偏导数求二及品 12.(12)(8分)设函数：=f(红，)由方程x2+2+2-4z=0所确定，求微分d以 及 036分列)没通数)-e++-功+e其中画数具有 阶号数福数具有一号致证一
· 3 · 3. (15)(4©) dêß Z x y2 e t dt − Z 1 z 1 1 t dt = 0 (½¤ºÍz = z(x, y) á ©dz = . 4. (15)(15©) y²: êß ∂ 2 z ∂x2 + ∂ 2 z ∂x∂y + ∂z ∂x = z 3CÜu = x + y 2 , v = x − y 2 , w = zey ezèºÍw = w(u, v) êß ∂ 2w ∂u2 + ∂ 2w ∂u∂v = 2w, Ÿ•ºÍz(x, y), w(u, v) —‰k ÎY†Í. 5. (15)(4©) z = f( x g(y) , y),Ÿ•åáºÍg(y) 6= 0, K ∂ 2 z ∂x∂y = . 6. (14)(4©)f(x, y)kÎY†Í,Öf(x, x2 ) = x 2 e −x , f0 x (x, x2 ) = −x 2 e −x ,ex 6= 0,Kf 0 y (x, x2 ) u( ) (A) 2xe−x (B) (−x 2 + 2x)e −x (C) e −x (D) (2x − 1)e −x 7. (14)(8©) z = f(t, x), t = ϕ(x + y), Ÿ•ϕ, f©OkÎY Í⁄ † Í, ¶ ∂ 2 z ∂x∂y . 8. (14)(8©)z = f(u), u = ϕ(u) + R x+y x−y P(t)dt,Ÿ•f(u)åá,ϕ 0 (u)ÎY,Ö ϕ 0 (u) 6= 1, P(t)ÎY,¶ ∂z ∂x + ∂z ∂y . 9. (13)(8©)ºÍf(x, y) = xy x 2 − y 2 x 2 + y 2 , x2 + y 2 6= 0, 0, x2 + y 2 = 0. ¶—f(x, y)3:O(0, 0)? §k Í. 10. (13)(8©) fèåáºÍßu = f(x 2 + y 2 + z 2 )ߺÍz = z(x, y)èdêß3x + 2y 2 + z 3 = 6xyz3P0(1, 1, 1)NC(½¤ºÍߣ¶ ∂u ∂x|P0 . 11. (12)(8©) ºÍw = f(x + y + z, xyz)‰k ÎY†Í,¶ ∂w ∂x 9 ∂ 2w ∂x∂z . 12. (12)(8©) ºÍz = f(x, y)dêßx 2 + y 2 + z 2 − 4z = 0§(½,¶á©dz± 9 ∂ 2 z ∂x2 . 13. (12)(8©) ºÍu(x, y) = ϕ(x + y) + ϕ(x − y) + Z x+y x−y ψ(t)dt,Ÿ•ºÍϕ‰k Í,ºÍψ‰kò Í,y² ∂ 2u ∂x2 = ∂ 2u ∂y2
.4 14.(12)(8分)若函数u=f(红，)在凸的开区域Q内可微（开区域0中任意两点的 连线在中，并且存在正数M>0,使VB+及+邗≤山，证明对n中任意两 点A,B都有f(A)-f(B引≤M·p(A,B),其中p(A,B)是A,B两点间距离 15.(11)(8分)设u=fz,z)有连续的一阶偏导数，又函数g=)和z=zc)分 别由下列两式确定-到=2=广厂平业求密 16(分)设函数=求0别其中9为正数 三、多元函数的极值 1.(17)(10分)设实数x,弘，满足x+y+2=-0,求函数f(红，2)-si+siy+sin的 取值范围。 ∫x2+2=2z 2(610分)求曲线r:{2+十到=1到0y平面的最小和最大距离。 3(1610分求函数f6,)=号-号，p>0g>0,在R2上的极值 4.(15)(15分)：第(1)小题5分：第(2小题10分) 己知可微函数2=f红，)的全微分z=2xx-)弘，且f1,)=3-2 ()求f(x,)及()的表达式： (②)求x=f红，)在闭区域D={红，川x2+2≤1刂上的最大、最小值，并说 明函数在区域D内的极值情况 5.(15)(4分)设f(红，)=x3-4r2+2红y-2,则其极值点为 6.(14)8分)设=(,)是由方程x2-6y+10y2-2y2-22+18=0所确定的 函数，求z=z(红，)的极值点与极值 7.(13)(12分)在三维空间中给定n个点M(c,i=1,2,.,n,在单位球面S 2+2+2=1上求一点P,使得P到M,=1,2,.n)的距离平方和最小。 8.(12)(4分)下列4个选项中，正确的是() (A)可微函数f工，)在点Mo(c00)有极值的必要条件是M6为f(红，)的一个驻 点 (B)函数f(红，)在点Mo(x0,跏)处有极值的充分条件是M6为f红，)的一个驻点
· 4 · 14. (12)(8©) eºÍu = f(x, y, z)3‡m´çΩSåá(m´çΩ•?ø¸: ÎÇ3Ω•),øÖ3ÍM > 0,¶ q f 02 x + f 02 y + f 02 z ≤ M, y²ÈΩ •?ø¸ :A, B —k|f(A) − f(B)| ≤ M · ρ(A, B),Ÿ•ρ(A, B)¥A, B¸:mÂl. 15. (11)(8©) u = f(x, y, z)kÎYò †ÍßqºÍy = y(x)⁄z = z(x)© Ode¸™(½:e xy − xy = 2, ex = Z x−z 0 sin t t dt,¶ du dt . 16. (11)(8©) ºÍu = xyex+y ,¶ ∂ p+qu ∂xp∂yq ,Ÿ•p, qèÍ. n!ıºÍ4ä 1. (17)(10 ©) ¢Íx, y, z˜vx+y+z = 0,¶ºÍf(x, y, z) = sin x+sin y+sin z äâå. 2. (16)(10 ©)¶ÇΓ : ( x 2 + y 2 = 2z x 2 + y 2 + xy = 1 Oxy²°Å⁄ÅåÂl. 3. (16)(10 ©)¶ºÍf(x, y) = x 2 2p − y 2 2q , p > 0, q > 0, 3R2˛4ä. 4. (15)(15 ©)¶1(1)K5©; 1(2)K10©) ÆåáºÍz = f(x, y) á©z = 2x x − ϕ(y) y, Öf(1, y) = 3 − y 2 . (1) ¶f(x, y) 9ϕ(y) Là™; (2) ¶z = f(x, y) 34´çD = {(x, y)| x 2 + 1 4 y 2 6 1} ˛Åå!Åä, ø` ²ºÍ3´çD S4äú¹. 5. (15)(4©) f(x, y) = x 3 − 4x 2 + 2xy − y 2 ,KŸ4ä:è . 6. (14)(8©) z = z(x, y)¥dêßx 2 − 6xy + 10y 2 − 2yz − z 2 + 18 = 0§(½ ºÍ,¶z = z(x, y)4ä:Ü4ä. 7. (13)(12©) 3nëòm•â½ná:Mi(xi , yi , zi), i = 1, 2, · · · , n,3¸†•°S : x 2 + y 2 + z 2 = 1˛¶ò:P,¶PMi(i = 1, 2, · · · n)Âl²ê⁄Å" 8. (12)(4©) e4á¿ë•,(¥( ). (A) åáºÍf(x, y)3:M0(x0, y0)k4ä7á^á¥M0èf(x, y)òá7 :. (B) ºÍf(x, y)3:M0(x0, y0)?k4äø©^á¥M0èf(x, y)òá7:.
5 (C)函数f红，)在点M6(ro,0)处有极值的充要条件是M6为f红，)的一个驻点. (D)具有二阶连续偏导的函数f红，)在点M6(红o,%)处有极小值的充分条件是Mo为f(红，)的 一个驻点且A=”(6)>0,AC-B2≥0，其中B=,(o),C=f(6). 9.(12)8分)求函数=x+-x2-2xy-2的所有极值 10.(12)(8分)抛物面x=x2+矿被平面x+,+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆 的最长与最短距离. 11.(11)(12分)求函数：=(2x+3-6)2在椭圆x2+42≤4中的最大值和最小值 四、空间曲线的切向量，法平面、空间曲面的切平面，法线 11712分)求直线1：二1=兰=二在平面：-g+2:-1=0止的投影 直线1，的方程，并求1，绕0y轴旋转一周所成曲面的方程. 2(1610分)二元函数F具有=阶连续偏导数证男曲面F(二2二)=0的 所有切平面经过定点，其中a,c为常数 3.(16)(10分)1为过点M(22,0,2)且与两直线 h4:-=y+1=,a:==g-l 都相交的直线，求出的方向及L与的交点 4.(15)4分)z=4-x2-2上点P处的切平面平行于2x+2y+z-1=0,则P点的 坐标是 5.(15)(4分)设函数f,)在点(0,0)附件有定义，且f2(0,0)=2,f0,0)=3,则曲 线{=f, 在点(0,0，f0,0)处的切线方程是 1y=0. 6.(14)(8分)设函数f(任，z)有一阶连续偏导，B(0,0,0)是f(x,)在空间光滑 曲线r: 「F(z,)=0 .G红，= 上的樱值点BBa≠立(C9C9C9)≠ 可，证明：等值面f(,)=ro,0,0)与曲线r在B相切 7.(13)(8分)求曲线D: 2+-2,1在点M0,-1.0)处的切线方程和法平 2红-y-z=1 面方程
· 5 · (C) ºÍf(x, y)3:M0(x0, y0)?k4äøá^á¥M0èf(x, y)òá7:. (D) ‰k ÎY†ºÍf(x, y)3:M0(x0, y0)?k4äø©^á¥M0èf(x, y) òá7:,ÖA = f 00 xx(M0) > 0, AC − B2 ≥ 0,Ÿ•B = f 00 xy(M0), C = f 00 yy(M0). 9. (12)(8©) ¶ºÍz = x 4 + y 4 − x 2 − 2xy − y 2§k4ä. 10. (12)(8©) ‘°z = x 2 + y 2²°x + y + z = 1 §ò˝ ,¶:˘˝ ÅÜÅ·Âl. 11. (11)(12©) ¶ºÍz = (2x + 3y − 6)23˝ x 2 + 4y 2 ≤ 4•Ååä⁄Åä. o!òmÇÉï˛ß{²°!òm°É²°ß{Ç 1. (17)(12©) ¶ÜÇL1 : x − 1 1 = y 1 = z − 1 −1 3²°x − y + 2z − 1 = 0˛›K ÜÇl0êß,ø¶l07Oy¶^=ò±§§°êß. 2. (16)(10©)ºÍF‰k ÎY†Í,y²°F x − a z − c , y − b z − c = 0 §kɲ°²L½:,Ÿ•a, b, cè~Í. 3. (16)(10©) lèL:M(22, 0, 2)ÖܸÜÇ L1 : x − 1 −1 = y + 1 = z + 6 −2 , L2 : x + 2 3 = y − 1 −1 = z − 1. —ÉÜÇ߶—lêï9L1Ül:. 4. (15)(4©) z = 4 − x 2 − y 2˛:P?ɲ°²1u2x + 2y + z − 1 = 0,KP: ãI¥ . 5. (15)(4©) ºÍf(x, y)3:(0, 0)Nák½¬,Öf 0 x (0, 0) = 2, f0 y (0, 0) = 3,K Ç ( z = f(x, y), y = 0, 3:(0, 0, f(0, 0))?ÉÇêߥ . 6. (14)(8©) ºÍf(x, y, z)kò ÎY†ßP0(x0, y0, z0)¥f(x, y, z)3òm1w ÇΓ : ( F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 ˛4ä:, (f 0 x , f0 y , f0 z )|P0 6= −→0 , ∂(F, G) ∂(y, z) , ∂(F, G) ∂(z, x) , ∂(F, G) ∂(x, y) 6= −→0 ,y²: ä°f(x, y, z) = f(x0, y0, z0)ÜÇΓ3P0ÉÉ. 7. (13)(8©)¶ÇΓ : ( x 2 + y 2 − z 2 = 1 2x − y − z = 1 3:M(0, −1, 0)?ÉÇêß⁄{² °êß.
6 8(1310分)求常数的值，使得曲面=A与韩球面后+若+兰=1在第 卦限内相切，并求出切点处两曲面的公共切平面。 9.(13)(4分)在曲线r:x=t,y=-3,z=t的所有切线中，与平面x+2y+之=4平 行的切线( (A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在 10.(12(4分)下列4个选项中，不正确的是()。 (A)可微二元函数f亿，)在点M6(o,0)处的偏导数f(0,物)的几何意义是空 间曲线=仁》在点o,00)处的切线对：抽的斜率 =0 a成a 量 (C)可微函数=f(红，初)在点M6(o,)处的微分d=f(Mo)△x+f(M)△y的 几何意义是曲面z=f(红，y)在点(x0,%,0)处的切平面关于z值的增量. (D)球面2+y2+2=14上点(1,23)处的纬线r在该点处的切线方程是 1.(124分)设函数fu,)可微，证明曲面/（化二。二）=0的所有切平面都通 过同一个定点 12.(1)4分)设二元函数，在0,0)附近有定义，且20,0)=3龙0,0)=1，则 下列结论正确的有()个。 i)dfl(o.o)=3dr+dy; )曲面z=f红，)在点(0,0，f0,0)处的法向量为(3,1,1)： 司鱼线{二在点a但0选的切向量为Q (A)0: (C)2 (D)3 13.(11)(4分)曲面2-e2+2xy=3在点(1,2,0)处的切平面方程为 14.(11)(4分)设曲线C:x=七，y=只，z=在第一卦限中点P处的切线平行于平 +4划-z=4,则P的坐标为】
· 6 · 8. (13)(10©) ¶~Íλä߶°xyz = λÜ˝•° x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 131ò %ÅSÉÉßø¶—É:?¸°˙ɲ°. 9. (13)(4©) 3ÇΓ : x = t, y = −t 3 , z = t 3§kÉÇ•ßܲ°x+2y+z = 4² 1ÉÇ( ) (A) êk1^ (B) êk2^ (C) ñk3^ (D) ÿ3. 10. (12)(4©) e4á¿ë•,ÿ(¥( ). (A) åáºÍf(x, y)3:M0(x0, y0)?†Íf 0 x (x0, y0)A¤ø¬¥ò mÇ ( z = f(x, y) y = y0 3:(x0, y0, z0)?ÉÇÈx¶«. (B) ºÍF(x, y, z)3:M0(x0, y0, z0)?åá,ÖF(x0, y0, z0) = 0,Kö"ï˛n = (F 0 x (M0), F0 y (M0), F0 z (M0)) ¥òm°F(x, y, z) = 03:M0?ɲ°{ï ˛. (C) åáºÍz = f(x, y)3:M0(x0, y0)?á©dz = f 0 x (M0)4x+f 0 y (M0)4y A¤ø¬¥°z = f(x, y)3:(x0, y0, z0)?ɲ°'uzäO˛. (D) •°x 2 + y 2 + z 2 = 14˛,:M0(1, 2, 3)?òÇΓ3T:?ÉÇêߥ: x − 1 1 = y − 2 −2 = z − 3 0 . 11. (12)(4©) ºÍf(u, v)åá,y²°f y − b x − a , z − c x − a = 0§kɲ°—œ L”òá½:. 12. (11)(4©) ºÍf(x, y)3(0, 0)NCk½¬ßÖf 0 x (0, 0) = 3, f0 y (0, 0) = 1,K e(ÿ(k( )á" i) df|(0,0) = 3dx + dy; ii) °z = f(x, y)3:(0, 0, f(0, 0))?{ï˛è(3, 1, 1)¶ iii) Ç ( z = f(x, y) y = 0 3:(0, 0, f(0, 0))?Éï˛è(1, 0, 3). (A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3 13. (11)(4©) °z − e z + 2xy = 33:(1, 2, 0)?ɲ°êßè . 14. (11)(4©) ÇC : x = t, y = t 2 , z = t 331ò%Å•:P?ÉDz1u² °3x + 4y − z = 4,KPãIè .