第4章定积分习题课 一、求定积分 ()定积分的计算方法 「1.定积分的换元法 2.定积分的分部积分法 3.关于区域的对称性及被积函数的奇偶性：关于周期性 4.分段函数 (②)常用变量代换 1e灿-[fa-u 2fet巴- 3fm灿雪厂m0=本人血0地 4.倒代换 5.三角代换、双曲代换 12分H算定积分1=人+一) 26分4德品女 3(a5)6分)zsm2z血 &a四6m牌二 7.4国(6分厂e r41 &)6分1+V
· 1 · 1 4 Ÿ ½»©SKë ò!¶½»© (1) ½»©Oéê{: 1.½»©Ü{, 2.½»©©‹»©{, 3.'u´çÈ°59»ºÍ¤Û5;'u±œ5, 4.©„ºÍ (2) ~^C˛ìÜ 1. Z a 0 f(x)dx x=a−t == Z a 0 f(a − t)dt 2. Z 0 −a f(x)dx x=−t == Z a 0 f(−t)dt 3. Z π 0 xf(sin x)dx x=π−t == π 2 Z π 0 f(sin t)dt = π Z π 2 0 f(sin t)dt. 4. ìÜ 5. nìÜ!VìÜ 1. (17) (12©)Oé½»©I = Z 2 1 2 1 + x − 1 x e x+ 1 x dx. 2. (16) (6©) Z π 0 x sin(x) 1 + cos2(x) dx. 3. (15) (5©) Z π 2 0 x sin2 xdx. 4. (15) (5©) Z 1 0 (1 − x) 2 e x (1 + x 2) 2 dx. 5. (15) (5©) Z 1 −1 1 a x + 1 dx (a > 0). 6. (14) (8©) Z π 2 0 sin x cos x 1 + √ tan x dx. 7. (14) (6©) Z 4 0 e √ x dx. 8. (13) (6©) Z 4 0 1 1 + √ x dx.
2 9.(13)(10分)计算定积分1= (wa(ya）a 10.a26分人产aroin a6列vmar aa四分r>谢=2求fe恤 14a四分)设aec,且f0as小业=2求产f0os恤 15.ao6分求2-恤 16.(o4分)求smrt 四纷g- 四u分e 19.(0网)a分)求mim(白在 20.08分设-{-1<<0求fe-2. x20 2江oma分求（-++) sinr
· 2 · 9. (13) (10©)Oé½»©I = Z 1 0 Z 1 x arctan(t 2 )dt dx. 10. (12) (5©) Z 1 0 x 2 arcsin xdx 11. (12) (5©) Z 1 0 1 + 3x (x 2 + 1)(x + 1)dx 12. (12) (5©) Z 2π 0 p | cos x|sin5 xdx 13. (11) (8©)x > 0û,f(ln x) = 1 √ x ,¶ Z 2 −2 xf0 (x)dx. 14. (11) (8©)f(x) ∈ C[0, 1],Ö Z π 2 0 f(| cos x|)dx = 2,¶ Z 2π 0 f(| cos x|)dx. 15. (10) (5©)¶ Z 2 0 |x 3 − 1|dx. 16. (10)(4©)¶ Z π 0 sin6 xdx. 17. (10) (4©) Z √ 2 0 p 2 − x 2dx 18. (09) (4©)¶ Z π/2 0 sin3 x sin3 x + cos3 x dx. 19. (09) (4©)¶ Z 2 −2 min{ 1 |x| , x2 }dx. 20. (08) (7©)f(x) = ( xe−x 2 x ≥ 0 1 1 + cos x − 1 < x < 0. ¶ Z 4 1 f(x − 2)dx. 21. (07) (4©)¶ Z 1 −1 p 1 − x 2 + sin x sin2 x + 1 dx. 22. (06) (9©)¶ Z 1 2 − 1 2 ( p 1 − x 2 + sin(tan x))dx 23. (05) (6©)¶ Z 1 0 dx x + √ 1 − x 2 . 24. (05) (6©)¶ Z 1 0 x arctan xdx
3 点o侧6分求rV- 旅o侧6分快厂 2红侧6分味- 2器侧6分广va一在 29.(02)(8分)求厂fe-2),其中f回)=V④-卫. 以上是历年的期末考试题求定积分主要涉及到换元、奇偶性、分部积分法周 期性. 再给几题 计算以下定积分值 1.dconrds 2#a 8”V-z,nez ‘0+e-c= &厂arcind &厂中阿血
· 3 · 25. (04) (6©)¶ Z 1 −1 x 2 p 1 − x 2dx. 26. (04) (6©)¶ Z 4 1 ln x √ x dx. 27. (03) (5©)¶ Z π 2 0 √ 1 − cos xdx. 28. (03)(5©)¶ Z ln 2 0 √ e x − 1dx. 29. (02) (8©)¶ Z 4 0 f(x − 2)dx,Ÿ•f(x) = √ 4 − x 2. ±˛¥{cœ"£K.¶½»©Ãá9Ü!¤Û5!©‹»©{.± œ5. 2âAK Oé±e½»©ä 1. Z 1 −1 x 3 cos xdx. 2. Z 2 −2 x + |x| 1 + x 2 dx. 3. Z nπ 0 √ 1 − sin 2xdx, n ∈ Z +. 4. Z x+2π x (1 + e sin t − e − sin t )dt. 5. Z π 4 − π 4 cos2 x 1 + a−x dx, (a > 1). 6. Z 1 0 x arcsin xdx. 7. Z 1 0 ln(1 + x) (2 − x) 2 dx. 8. Z 4 1 dx x(1 + √ x) dx. 9. Z π 4 0 x 1 + cos 2x dx.
·4 10.0-r证 [vi-emu 2 +250求矿加-2恤 1.设e)-{ x>0. 14.设fr回=m(e-1只，f0=0,求厂fed 15.设Fo)=-,()求F)的分段表达式，（回）求产Fe) 16.设e+fnrd=5f)=2求fo 二.与积分有关的极限题 与积分有关的极限题主要就是两类：1.和式的极限要求能正确的将和式的极 限表达成一个定积分.2.含有变限积分的未定式的极限要求在求导的时候，对藏在 定积分内部的虹一定要正确的处理好。 1(16)(9分)求极限m名V4- 20的o9)求根现点（中厂a的 3阀仔纷求极限思名点 4间6分求极保马高品等 ga叫的Er送装=m5智器 6.(14(6分)已知fe)=e2,求imf)f2)fmt
· 4 · 10. Z 1 0 x(1 − x 4 ) 3 2 dx. 11. Z ln 2 0 p 1 − e−2xdx. 12. Z π 4 − π 4 x 1 + sin x dx 13. f(x) = ( 1 + x 2 x ≤ 0 e −x x > 0. ¶ Z 3 1 f(x − 2)dx. 14. f 0 (x) = arcsin(x − 1)2 , f(0) = 0,¶ Z 1 0 f(x)dx. 15. F(x) = Z 1 0 t|e t − x|dt,(1) ¶F(x)©„Là™, (2) ¶ Z 2e 0 F(x)dx. 16. Z π 0 [f(x) + f 00(x)] sin xdx = 5, f(π) = 2,¶f(0). . Ü»©k'4ÅK Ü»©k'4ÅKÃá“¥¸aµ1. ⁄™4Å.á¶U(Ú⁄™4 ÅLà§òá½»©.2. ¹kCÅ»©ô½™4Å.á¶3¶ûˇ,Èı3 ½»©S‹xò½á(?n–. 1. (16) (9©) ¶4Å limn→∞ Pn k=1 1 √ 4n2 − k 2 . 2. (16) (9©) ¶4Å limx→∞ 1 x 4 + x Z x 2 0 t arctan(t) dt! . 3. (15) (5©)¶4Å limn→∞ Pn k=1 k n + k 4. (15) (5©)¶4Ålimx→0 R x 2 0 sin tdt ln(1 + x 4) . 5. (14) (10©) Æf 0 (x)ÎY,f(0) = 0, f0 (0) 6= 0,¶limx→0 R 1 0 f(x 2 t)dt x R 1 0 f(xt)dt . 6. (14) (6©) Æf(x) = e x 3 ,¶ limn→∞ [f(1)f(2)· · · f(n)] 1 4 . 7. (13) (6©) limn→∞ ln(1 + 1 n ) n + 1 + ln(1 + 2 n ) n + 2 + · · · + ln(1 + n n ) n + n
5 &网， 1 2网含平 10.(仙，)6分)求m片+).2m-可. e-2a广e2fe) 山四6分设国eC,x且，职号=1求，=阳 12.(0)6分)求▣P+2”+,p是正常数。 nP 厂sint'dt 13.(06分)*织1+可 14o6分)求典（要+平++法) (tanr)d 1返你补考萄)分球，甲a+-a (t-si血d 19.(04)(7分)求盟 0、(侧6分求11+21+.+ n(IP+2 +，p>0
· 5 · 8. (12) (7©) lim x→+∞ 1 x 4 + |sin x| Z x 2 0 t 3 1 + t 2 dt 9. (12) (7©) limn→∞ Pn k=1 n n2 + k 2 10. (11, 07) (6©)¶ limn→∞ 1 n pn n(n + 1)· · ·(2n − 1). 11. (11) (6©)f(x) ∈ C[0, +∞),Ö lim x→+∞ f(x) x 2 = 1,¶ lim x→+∞ e −2x Z x 0 e 2t f(t)dt f(x) . 12. (10) (5©)¶ limn→∞ 1 p + 2p + · · · + n p np+1 , p¥~Í. 13. (10) (5©)¶limx→0 Z x 0 sin t 3 dt ln(1 + x 4) . 14. (08) (5©)¶ limn→∞ 3 r n + 1 n4 + 3 r n + 2 n4 + · · · + 3 r n + n n4 ! . 15. (08) (8©)Oé4Ålimx→0 (1 − 3x) 4 x + 6 sin(x 3 ) (sin x) 3 − 2 Z x 0 (tan x) 3 dt (arctan x) 3 16. (07÷Ú) (7©)¶ lim x→+∞ 1 x Z x 0 (1 + t 2 )e t 2−x 2 dt. 17. (05) (6©)¶ limn→∞ Pn k=1 k 2 k 3 + n3 . 18. (05) (6©)¶limx→0 Z x 0 (tan t − sin t)dt Z x 2 0 arcsin tdt . 19. (04) (7©)¶limx→0 Z x 0 (t − sin t)dt Z x 2 0 arcsin tdt . 20. (03) (5©)¶ limn→∞ 1 p+1 + 2p+1 + · · · + n p+1 n(1p + 2p + · · · + np) , p > 0
6 21.(03)(6分)求m v如础 以上是历年的期末考试题，再给几题 1.求興云+ 1 2.求典+》1+P(1+严 3求职言m+-0+可 厂(e-tfe)i 4.设fr)在工=0的某邻域内连续，f0)≠0，求m fu-0w 求典（品+m额++m②） 4n 三.关于变限积分 只要题中出现变限定积分，一般都牵涉求导，例如求单调区间、极值、凹凸性、 拐点、间接给出函数所满足的方程等.要求一定熟练掌握变限积分的求导.特别注 意上限或下限是关于的函数及变限积分的被积函数中还含有x的情形的求导。 上0分设)是由：一广”业=0定的适数试求号数值岂 之段)=厂a恤其中是已知的注线函数。且马但=AA为 常数). (1)(8分)求红： (2)(4分)讨论(x)在x=0处的连续性 &a)设f在(-心，+∞)是连续正值函数且f-)=f,设g国=[上 tf)dt,-a≤x≤a,a>0
· 6 · 21. (03) (5©)¶ lim x→0+ Z x 3 0 √ sin tdt x 3 22. (02) (7©)¶limx→0 Z x 0 arcsin t 2 dt x − sin x ±˛¥{cœ"£K,2âAK 1. ¶ limn→∞ Pn i=1 1 √ n2 + i 2 . 2. ¶ limn→∞ n2 q (1 + 1 n ) 1(1 + 2 n ) 2 · · ·(1 + n n ) n. 3. ¶ limn→∞ Pn i=1 1 p (n + i − 1)(n + i) . 4. f(x)3x = 0,çSÎY,f(0) 6= 0,¶limx→0 Z x 0 (x − t)f(t)dt x Z x 0 f(x − t)dt . 5. ¶ limn→∞ π n cos π 4n + cos 3π 4n + · · · + cos (2n − 1)π 4n . n. 'uCÅ»© êáK•—yCŽ»©,òÑ—V¶,~X¶¸N´m!4ä!]‡5! $:!m◺ͧ˜vêß .á¶ò½Ÿˆ›ºCÅ»©¶. AO5 ø˛Å½eÅ¥'uxºÍ9CÅ»©»ºÍ•Ñ¹kxú/¶. 1. (17) (10©)y(x) ¥dx − Z x+y 1 e −t 2 dt = 0 (½ºÍ. £¶Íä dy dx x=0 . 2. (17) ϕ(x) = Z 1 0 f(xt)dt,Ÿ•f(x)¥ÆÎYºÍßÖlimx→0 f(x) x = A (Aè ~Í). (1)(8©)¶ϕ 0 (x); (2)(4©)?ÿϕ 0 (x)3x = 0?ÎY5. 3. (17) f(t)3(−∞, +∞)¥ÎYäºÍ,Öf(−t) = f(t),g(x) = Z a −a |x − t|f(t)dt, −a 6 x 6 a, a > 0
(1)(4分)求证g()是严格单调递增的： (②)(4分)求出g()的最小值点 (3)4分)当g)的最小值等于fa)-a2-1时，求fe. 4(0(分对于定文在整个实轴上的函数e=。C-t+2P关于其极 大值点、极小值点和拐点描述正确的是() (A)极大值点：无：极小值点：1：拐点：-2,1 (B)极大值点：-2：极小值点：无：拐点：0,1 (C极大值点：无：极小值点：1：拐点：-2,0 D)极大值点：-2：极小值点：无：拐点：-2， 五.(O9)a分)设f"连线，F回=厂(2-P",当r→0时，Fe)的导数Fo)与r为 等价无穷小量，则”0)= &.(0s)8分)设=2+ce,z∈1,2=0h+广 dt,x∈ 有一根. 以下再给几题练习 1设z之-1，求Q-0a 2求fa=。2-te-的最大值与最小值 3.设f(口)是奇函数，除缸=0外处处连续缸=0是其第一类间断点，则厂f)d是( (A)连续的奇函数 (B)连续的偶函数 (C)在x=0间断的奇函数(D)在x=0间断的偶函数 四.关于概念与性质 1.(13)(4分)下列等式正确的是() A云[地=o@)云∫e地=f 岳[ft=ja-f) (D)f(z)dr=f(z)
· 7 · (1)(4©) ¶yg 0 (x)¥ÓǸN4O; (2) (4©) ¶—g(x)Åä:; (3) (4©) g(x)Åä uf(a) − a 2 − 1û߶f(t). 4. (10) (4©)Èu½¬3ᢶ˛ºÍf(x) = Z x 0 (t − 1)(t + 2)2 dt'uŸ4 åä:!4ä:⁄$:£„(¥( ) (A) 4åä:µÃ¶4ä:µ1¶$:µ−2, 1 (B) 4åä:µ−2¶4ä:µÃ¶$:µ0, 1 (C) 4åä:µÃ¶4ä:µ1¶$:µ−2, 0 (D) 4åä:µ−2¶4ä:µÃ¶$:µ−2, 1 5. (09) (4©)f 00(x)ÎY,F(x) = Z x 0 (x 2−t 2 )f 00(t)dt,x → 0û,F(x)ÍF 0 (x)Üx 2è dð˛,Kf 00(0) = . 6. (08) (8©)ϕ(x) = 2 + cos x, x ∈ [1, 2], Φ(x) = Z x 1 ϕ(t)dt + Z x 2 1 ϕ(t) dt, x ∈ [1, 2],yµ(1) Φ(x)3(1, 2)SÓǸN4O¶(2) êßΦ(x) = 03(1, 2)SkÖ= kòä. ±e2âAKˆS 1. x ≥ −1,¶ Z x −1 (1 − |t|)dt. 2. ¶f(x) = Z x 2 0 (2 − t)e −t dtÅåäÜÅä. 3. f(x)¥¤ºÍ,ÿx = 0 ??ÎY,x = 0¥Ÿ1òam‰:,K Z x 0 f(t)dt¥( ) (A) ÎY¤ºÍ (B) ÎYÛºÍ (C) 3x = 0m‰¤ºÍ (D) 3x = 0m‰ÛºÍ o. 'uVgÜ5ü 1. (13) (4©) e ™(¥( ) (A) d dx Z b a f(x)dx = f(x) (B) d dx Z f(x)dx = f(x) (C) d dx Z x a f(t)dt = f(x) − f(a) (D) Z f 0 (x)dx = f(x)
8 2.(13)(4分)设fx)在a,上黎曼可积，则() (A)厂f)在[a,上不一定连续(B)「f)i在a,上可微 (©厂广f0在a,上不一定存在(D)厂f0a在a,上不一定可微 3.(13)(4分)设F(x)是f(x)在a,上的一个原函数则() (A)f工)在a,上黎曼可积(B)f(x)在a,1上不一定黎曼可积 (C)f(x)在a,上可微(D)f(x)在a,上不可微 4.(11)(3分)下列陈述正确的是() (A)若fP(e)在a,上可积，则fa)在a,上可积 (B)【a,上的单调有界函数必可积 (C)若f(x)在a,上存在原函数，则f(r)在a,上必可积 (D)若fr)在a,可上可积，则fx)在[a,可上必存在原函数 am8分/e-{:ca则1=广e是() 0. x=0 (A)Riemann积分且值为 (⑧)广义积分且发散 ()Ricma积分且值为 (B)广义积分且值为 &间6分满藏Fo=[如) (A)恒为零(B)为负数(C)为正数(D)不是常数 7.(10)(4分)下列命题正确的是(） (A)若函数Ricmann可积，则其必有原函数 (B)即使有限闭区间上的函数f(x)为某一函数的导函数，但f(z)也不一定Riemann可 积 (C)若函数f(e)在有限闭区间a,可上Riemann可积，则在开区间(a,)内至少 存在一点，使得f)d=f)6-a) (D)函数f()在有限闭区间a,上有定义，且只有有限个间断点，那么其在a,上Riemann可 积
· 8 · 2. (13) (4©) f(x)3[a, b]˛i˘å»,K( ) (A) Z x a f(t)dt3[a, b]˛ÿò½ÎY (B) Z x a f(t)dt3[a, b]˛åá (C) Z x a f(t)dt3[a, b]˛ÿò½3 (D) Z x a f(t)dt3[a, b]˛ÿò½åá 3. (13) (4©) F(x)¥f(x)3[a, b]˛òáºÍ,K( ) (A) f(x)3[a, b]˛i˘å» (B) f(x)3[a, b]˛ÿò½i˘å» (C) f(x)3[a, b]˛åá (D) f(x)3[a, b]˛ÿåá 4. (11) (3©)eù„(¥( ) (A) ef 2 (x)3[a, b]˛å»,Kf(x)3[a, b]˛å» (B) [a, b]˛¸Nk.ºÍ7å» (C) ef(x)3[a, b]˛3ºÍ,Kf(x)3[a, b]˛7å» (D) ef(x)3[a, b]˛å»,Kf(x)3[a, b]˛73ºÍ 5. (11) (3©)f(x) = ( x ln2 x, x ∈ (0, 1] 0. x = 0 KI = Z 1 0 f(x)dx¥( ) (A) Riemann»©Öäè 1 4 (B) 2¬»©Öu— (C) Riemann»©Öäè 1 3 (B) 2¬»©Öäè 1 2 6. (11) (3©)ºÍF(x) = Z x+2π x e sin t sin tdt( ) (A) ðè" (B)èKÍ (C) èÍ (D) ÿ¥~Í 7. (10) (4©)e·K(¥( ) (A) eºÍRiemannå»,KŸ7kºÍ (B) =¶kÅ4´m˛ºÍf(x)è,òºÍºÍ,f(x)èÿò½Riemannå » (C) eºÍf(x)3kÅ4´m[a, b]˛Riemannå»,K3m´m(a, b)Sñ 3ò:ξ,¶ Z b a f(x)dx = f(ξ)(b − a) (D) ºÍf(x)3kÅ4´m[a, b]˛k½¬,ÖêkkÅám‰:,@oŸ3[a, b]˛Riemannå »
9 8.(10)(4分)下列命题正确的是() (A)齐次二阶线性微分方程/”+p(x)/+g(x)y=0不一定存在两个线性无 关的解，其中p(),q(工)是实轴上的连续函数 (B)微分方程xd+yy=0,满足1)=1的解在x=2处有定义 ©积分广左山是收敛的 D)积分广1e:存在，当且仅当f和广f均存在 9.(10)(4分)在计算有理函数的不定积分过程中，下述四类函数中除()除外 (A)反正弦函数(B)反正切函数(C)对数函数 (D)幂函数 10.(09)(4分)下列命题正确的是() (a若f)在a,止可积则F=厂f)是fa在a,上的一个原函 数 (B)若fx川在[a,上可积，则f(c)在[a,上一定可积 (C)若fe)在区间(a,b)内不是连续函数，则f口)在区间(a,)内必无原函数 (D)若fx)在a,上可积g)在a,上不可积，则f()+9(r)在a,上不可 积 1.(0侧)（分）设回为给定的连续函数，令1-t红也，其中，s>0则I的值 为 (A)依赖于s和t (B)依赖于,和 (C)依赖于t不依赖于s (D)依赖于8不依赖于t 五。求广义积分 求广义积分其实就是和求定积分一样，同样涉及到凑微分、换元、分部积分，所 不同的是，求定积分最后一步计算NL公式的值是代值计算，而求广义积分是求极 限值得注意的是不要将被积函数随便的分开.因为只有在两个函数的广义积分都收 敛的情况下才可.另外在使用分部积分法的时候也要注意u(r)()=u(r)(洁 广,如果e北不存在不要马上下结论说广义积分发散，因为正确 的是求，im()(r胎-v(o)u(四极限是否存在
· 9 · 8. (10) (4©)e·K(¥( ) (A) ‡g Ç5á©êßy 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0ÿò½3¸áÇ5à '),Ÿ•p(x), q(x)¥¢¶˛ÎYºÍ (B) á©êßxdx + ydy = 0,˜vy(1) = 1)3x = 2?k½¬ (C) »© Z +∞ 1 1 √ x dx¥¬Ò (D) »© Z +∞ −∞ f(x)dx3,Ö= Z 0 −∞ f(x)dx⁄ Z +∞ 0 f(x)dx˛3 9. (10) (4©)3OéknºÍÿ½»©Lß•,e„oaºÍ•ÿ( )ÿ (A) áuºÍ (B) áÉºÍ (C) ÈÍºÍ (D) òºÍ 10. (09) (4©)e·K(¥( ) (A) ef(x)3[a, b]˛å»,KF(x) = Z x a f(t)dt¥f(x)3[a, b]˛òáº Í (B) e|f(x)|3[a, b]˛å»,Kf(x)3[a, b]˛ò½å» (C) ef(x)3´m(a, b)Sÿ¥ÎYºÍ,Kf(x)3´m(a, b)S7ÃºÍ (D) ef(x)3[a, b]˛å»,g(x)3[a, b]˛ÿå»,Kf(x) + g(x)3[a, b]˛ÿå » 11. (09) (4©)f(x)èâ½ÎYºÍ,-I = t Z s t 0 f(tx)dx,Ÿ•t, s > 0,KIä è( ) (A) ù6us⁄t (B) ù6us, t⁄x (C) ù6utÿù6us (D) ù6usÿù6ut . ¶2¬»© ¶2¬»©Ÿ¢“¥⁄¶½»©ò,”9ná©!Ü!©‹»©,§ ÿ”¥,¶½»©Åò⁄OéN-L˙™ä¥ìäOé, ¶2¬»©¥¶4 Å.ä5ø¥ÿáÚ»ºÍëB©m.œèêk3¸áºÍ2¬»©—¬ Òú¹e‚å., 3¶^©‹»©{ûˇèá5ø Z +∞ a u(x)dv(x) = u(x)v(x)| +∞ a − Z +∞ a v(x)du(x),XJu(x)v(x)| +∞ a ÿ3ÿáͲe(ÿ`2¬»©u—,œè( ¥¶ lim b→+∞ u(x)v(x)| b a − Z b a v(x)du(x) ! 4Å¥ƒ3.
·10 10m02分)设时任意王数0积分广但收效3其中间为注续通数0 A.试证明 广1：a=A8 (a,3>0). 2(16)(6分)厂h回血，其中n为正整数 &a的6分人广中 46分广casd. i)6分re- 6(a26分广严a 不四分冰产一限器积分价定义计到 8.(09)(4分)下列广义积分发散的是() w广cu回 o四广a Q网s分快广 0(o网)6分r+后=() (A) (B)1 (C)2 D号 网课广血 2四e快产c-a 四6分加≥0么=厂广e求证-号
· 10 · 1. (17) (12©) ,È?øÍθ,»© Z +∞ θ f(x) x dx¬Ò,Ÿ•f(x)èÎYºÍ,f(0) = A.£y² Z +∞ 0 f(αx) − f(βx) x dx = A ln β α , (α, β > 0). 2. (16) (6©) Z 1 0 lnn (x) dx, Ÿ•n èÍ. 3. (15) (5©) Z +∞ 0 1 x 3 + 1 dx. 4. (14) (6©) Z +∞ 0 e −x cos xdx. 5. (13) (6©) Z +∞ 0 x 3 e −x 2 dx. 6. (12) (5©) Z +∞ 1 arctan x x 2 dx 7. (10) (5©)¶ Z 1 −1 dx √ 1 − x 2 (ä‚×»©½¬Oé) 8. (09) (4©)e2¬»©u—¥( ) (A) Z +∞ 0 e − √ x dx (B) Z π 2 0 dx cos x √ sin x (C) Z 1 0 ln x √ x dx (D) Z +∞ 3 dx x(ln √ x) 2 9. (09) (8©)¶ Z +∞ 0 dx 1 + e 2x . 10. (08) (5©) Z +∞ 1 dx (x + 3)√ x − 1 = ( ) (A) π (B) 1 (C) 2 (D) π 2 11. (07) (5©)¶ Z +∞ 1 x ln x (1 + x 2) 2 dx. 12. (06) (9©)¶ Z +∞ 0 e − √ x dx. 13. (05) (8©)n ≥ 0, In = Z ∞ 0 x 2n+1e −x 2 dx,¶yIn = n! 2