中国科学技术大学 2010-2011学年第二学期《线性代数》期终考试试卷 题号 四五 六总分 得分 复评人 得分评卷人 一、填空题（本大题共9小题，共42分） (1)给定空间直角坐标系中点A(0,1,1),B(1,2,3),C(1,1,3)及D(1,3,5), 则(a)经过点A,B,C的平面的一般方程为 :(b)四 面体ABCD的体积为 。 恐 (2)设三阶方阵A=(a1,ag,B-(2ag,3a2,4a,其中a,2,a是三维列 向量。若det(A)=2,则det(B)=」 /121 (3)已知4= 012 则A1= 1001 (4设A为正交矩阵，A'为A的伴随矩阵。则det(A)= /z 12 (⑤)已知矩阵A= -1067的特征值为1=2=1，=2 y-2-1/ 则x= v= (6)已知矩阵A= 1t-1 t-11 是正定矩阵，则必须满足的条件是 (⑦)已知R上四维列向量a,a2,b1,b2,bg。若a,a2,ag线性无 关，b:(位=L,2,9)非零且与a1,2,ag均正交，则rank(b1,b2,.,bg) (⑧)设P3为次数小于等于3的实系数多项式全体构成的线性空间。定 义P回止的线性变换A:A》=(+品，则A在基1，r下 第1页共10页
学生所在系： 姓名： 学号： —————————————————————————– 答 题 时 不 要 超 过 此 线 —————————————————————————– 中 国 科 学 技 术 大 学 2010 – 2011 学年第二学期《线性代数》期终考试试卷 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 复评人 得分 评卷人 一、填空题（本大题共9小题，共42分） (1) 给定空间直角坐标系中点A(0, 1, 1)，B(1, 2, 3)，C(1, 1, 3)及D(1, 3, 5)， 则(a) 经过点A, B, C的平面的一般方程为 ；(b) 四 面体ABCD的体积为 。 (2) 设三阶方阵A = (a1, a2, a3)，B = (2a3, 3a2, 4a1)，其中a1, a2, a3是三维列 向量。若det(A) = 2，则det(B) = 。 (3) 已知A = 1 2 1 0 1 2 0 0 1 ，则A−1 = 。 (4) 设A为正交矩阵，A∗为A的伴随矩阵。则det(A∗ ) = 。 (5) 已 知 矩 阵A = x 1 2 −10 6 7 y −2 −1 的 特 征 值 为λ1 = λ2 = 1，λ3 = 2。 则x = ，y = 。 (6) 已知矩阵A = Ã 1 t − 1 t − 1 1 ! 是正定矩阵，则t必须满足的条件是 。 (7) 已 知R上 四 维 列 向 量a1, a2, a3, b1, b2, · · · , b9。 若a1, a2, a3线 性 无 关，bi (i = 1, 2, · · · , 9)非零且与a1, a2, a3均正交，则rank(b1, b2, · · · , b9) = 。 (8) 设P3[x]为次数小于等于3的实系数多项式全体构成的线性空间。定 义P3[x]上的线性变换A : A(p(x)) = (x+1) d dx p(x)，则A在基1，x，x 2，x 3下 第 1 页 共 10 页
的矩阵为 。 (⑨)在线性空间M(R)中（运算为矩阵的加法和数乘），记为所有对称矩阵 构成的子空间，为所有反对称矩阵构成的子空间。则dim=」 dim=」 得分评卷人 二、（本题15分） 己知线性方程组 +2 +3+T4 +x5=a 3x1+22+x3+x4-3x6=0 2+23+2x4+66=b 5m1+4红2+3x3+3r4-x6=2 (1)当a,b为何值时，方程组有解 (②)当方程组有解时，求出对应的齐次方程组的一组基础解系。 (③)当方程组有解时，求出方程组的全部解。 第2页共10页
的矩阵为 。 (9) 在线性空间Mn(R)中（运算为矩阵的加法和数乘），记V1为所有对称矩阵 构成的子空间，V2为所有反对称矩阵构成的子空间。则dimV1 = ， dimV2 = 。 得分 评卷人 二、（本题15分） 已知线性方程组 x1 +x2 +x3 +x4 +x5 = a 3x1 +2x2 +x3 +x4 −3x5 = 0 x2 +2x3 +2x4 +6x5 = b 5x1 +4x2 +3x3 +3x4 −x5 = 2 (1) 当a，b为何值时，方程组有解。 (2) 当方程组有解时，求出对应的齐次方程组的一组基础解系。 (3) 当方程组有解时，求出方程组的全部解。 第 2 页 共 10 页
的 得分评卷人 三、（本题12分） 好 在线性空间M(R)中，设a= 10 11 为M2(R)的两组基。 (①)求a1,a2,ag,a4到3,3，3的过渡矩阵T。 (2)设A∈M2(R)在，32，3下的坐标为(1，-2,3,0)7，求A在a1,a2,ag a4下的坐标。 第3页共10页
—————————————————————————– 答 题 时 不 要 超 过 此 线 —————————————————————————– 得分 评卷人 三、（本题12分） 在线性空间M2(R)中，设α1 = Ã 1 0 0 0! , α2 = Ã 1 1 0 0! , α3 = Ã 1 1 1 0! , α4 = Ã 1 1 1 1! 和β1 = Ã 0 1 1 1! , β2 = Ã 1 0 1 1! , β3 = Ã 1 1 0 1! , β4 = Ã 1 1 1 0! 分别 为M2(R)的两组基。 (1) 求α1, α2, α3, α4到β1, β2, β3, β4的过渡矩阵T。 (2) 设A ∈ M2(R)在β1, β2, β3, β4下的坐标为(1, −2, 3, 0)T，求A在α1, α2, α3, α4下的坐标。 第 3 页 共 10 页
得分评卷人 四、（本题8分） 考虑分块矩阵M= A B ,其中A为n阶可逆方阵 C D 证明：ramk(M)=n+rank(D-CA-1B)。 第4页共10页
得分 评卷人 四、（本题8分） 考虑分块矩阵M = Ã A B C D! ，其中A为n阶可逆方阵。 证明：rank(M) = n + rank(D − CA−1B)。 第 4 页 共 10 页
得分评卷人 五、（本题15分》 已知二次型Q(1,d2,3)=3x+2号+3号-2红13。 (①)写出二次型Q(红1，x2,x)对应的矩阵A,和Q(1,2,x)的矩阵式。 (②)求正交变换P,使x=Py把Q(1,2,3)化为标准形。 (③)二次型是正定的、负定的还是不定的，为什么？ (4指出Q(x1,x2,x3)=1的几何意义。 第5页共10页
—————————————————————————– 答 题 时 不 要 超 过 此 线 —————————————————————————– 得分 评卷人 五、（本题15分） 已知二次型Q(x1, x2, x3) = 3x 2 1 + 2x 2 2 + 3x 2 3 − 2x1x3。 (1) 写出二次型Q(x1, x2, x3)对应的矩阵A，和Q(x1, x2, x3)的矩阵式。 (2) 求正交变换P，使x = Py把Q(x1, x2, x3)化为标准形。 (3) 二次型是正定的、负定的还是不定的，为什么？ (4) 指出Q(x1, x2, x3) = 1的几何意义。 第 5 页 共 10 页
得分评卷人 六、（本题8分） 设V是欧氏空间，b,b2,.,bn是V中一组两两正交的非零向量， 居=abk位=1,2，·，m,A=(a)nxm。证明： (I)b1,b2,.,bn线性无关。 (2)dim(,.,3nm）=rank(A）. 第6页共10页
得分 评卷人 六、（本题8分） 设V 是欧氏空间，b1, b2, · · · , bn是V 中一组两两正交的非零向量， βi = Xn k=1 akibk (i = 1, 2, · · · , m)，A = (aij )n×m。证明： (1) b1, b2, · · · , bn线性无关。 (2) dimhβ1, β2, · · · , βmi = rank(A)。 第 6 页 共 10 页
2010-2011学年第二学期《线性代数》期终考试答案 一、填空题（本大题共42分） (四（间2红-2+1=：回）aB×ACAD=专 (2)det(B)=-48. /1-23\ (3)4-1=01-2 001 (④)A=士1 (5)x=-1,y=4. (6)0<t<2. ()1 0100N 侧0120 0023 0003 (倒imM=a+),imt2=na- 2 2 二、（本题15分） 11111a 11111 a=3?11-30切等变换61226站 =B 01226b 00000b-3a 5433-12 000002-2a 四{色为0即=16=调原方程有解 (2)当a=1,b-3时 /111111 /10-1-1-5-2 B= 012263 初等变换012263 000000 000000 000000 000000 所以同原方程组导出组同解的方程组为： ∫1=+4+56 x2=-2rg-2x4-6x6 第7页共10页
2010-2011学年第二学期《线性代数》期终考试答案 一、填空题（本大题共42分） (1) (a) 2x − z + 1 = 0; (b) 1 3 ¯ ¯ ¯ ¯ (AB × AC) · AD ¯ ¯ ¯ ¯ = 1 3 . (2) det(B) = −48. (3) A−1 = 1 −2 3 0 1 −2 0 0 1 . (4) A∗ = ±1. (5) x = −1, y = 4. (6) 0 < t < 2. (7) 1. (8) 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 2 3 0 0 0 3 . (9) dimV1 = n(n + 1) 2 , dimV2 = n(n − 1) 2 . 二、（本题15分） A = 1 1 1 1 1 a 3 2 1 1 −3 0 0 1 2 2 6 b 5 4 3 3 −1 2 初等变换 −−−−−−−→ 1 1 1 1 1 a 0 1 2 2 6 3a 0 0 0 0 0 b − 3a 0 0 0 0 0 2 − 2a = B (1) ( b − 3a = 0 2 − 2a = 0 , 即a = 1, b = 3时原方程有解. (2) 当a = 1, b = 3时， B = 1 1 1 1 1 1 0 1 2 2 6 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 初等变换 −−−−−−−→ 1 0 −1 −1 −5 −2 0 1 2 2 6 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 所以同原方程组导出组同解的方程组为： ( x1 = x3 + x4 + 5x5 x2 = −2x3 − 2x4 − 6x5 第 7 页 共 10 页
(③)由(2)知与原方程组同解的方程组为： -++5-2 （=-2x-24-6r5+3 令3=4=5=0，得一特解：m= 故原方程的通解为：0+c151+c22+c33(e为任意常数). 三、（本题12分） =-a1+a -1100 )=a1-+ →（）=(a1a2a3a 为=a2-0g+a4 34=ag -1100 所以过波矩阵T= 0-110 00-11 110/ 1 (2)A=(334) -2 -2 3 =(a1 02 03 04)T 3 =(03 4) 0 0 -11 由坐标的唯一性： 0 111 第8页共10页
取 x3 x4 x5 分别为 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 , 得基础解系：ξ1 = 1 −2 1 0 0 , ξ2 = 1 −2 0 1 0 , ξ3 = 5 −6 0 0 1 . (3) 由(2)知与原方程组同解的方程组为： ( x1 = x3 + x4 + 5x5 − 2 x2 = −2x3 − 2x4 − 6x5 + 3 令x3 = x4 = x5 = 0, 得一特解：η0 = −2 3 0 0 0 . 故原方程的通解为：η0 + c1ξ1 + c2ξ2 + c3ξ3 (ci为任意常数). 三、（本题12分） (1) β1 = −α1 + α4 β2 = α1 − α2 + α4 β3 = α2 − α3 + α4 β4 = α3 ⇒ (β1 β2 β3 β4) = (α1 α2 α3 α4) −1 1 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1 1 1 1 1 0 所以过渡矩阵T = −1 1 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1 1 1 1 1 0 . (2) A = (β1 β2 β3 β4) 1 −2 3 0 = (α1 α2 α3 α4) T 1 −2 3 0 = (α1 α2 α3 α4) x1 x2 x3 x4 . 由坐标的唯一性： x1 x2 x3 x4 = T 1 −2 3 0 = −1 1 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1 1 1 1 1 0 1 −2 3 0 = −3 5 −3 2 . 第 8 页 共 10 页
四、（本题8分） ,注意相抵的方阵秩相同。 所以rank(M）=rank 40 =rank(A)+rank(D-CA-1B) 0 D-CA-B =n+rank(D-CA-B). 五、（本题15分》 ()Q(1,2,)=xTAx,其中A= G-0 (2)因为1-A川=(A-4)(A-2)2,所以A的特征值为A1=4,2==2. -1/ 令P=(1x2x) 0 P为正交矩阵。 =4划+2+2. x=Py (3)Q是正定的，因为正惯性指数r=n=3. (Q(红1，工2：xg)=1表示椭球面。 五、（本题8分）》 (四因为b,b,b两两正交，所以b)=高bP={bP≠0，三 设Ab1+2b2+.+入nbn=0,用b,作内积得：入b,b)=0→入=0，i=1,2,n 即b1,b2,.,bn线性无关 第9页共10页
四、（本题8分） 因为Ã I 0 −CA−1 I ! M Ã I −A−1B 0 I ! = Ã A 0 0 D − CA−1B ! , 注意相抵的方阵秩相同. 所以 rank(M) = rank A 0 0 D − CA−1B = rank(A) + rank(D − CA−1B) = n + rank(D − CA−1B). 五、（本题15分） (1) Q(x1, x2, x3) = x T Ax, 其中 A = 3 0 −1 0 2 0 −1 0 3 , x = x1 x2 x3 . (2) 因为|λI − A| = (λ − 4)(λ − 2)2 , 所以A的特征值为λ1 = 4, λ2 = λ3 = 2. 相应的正交向量组：x1 = 1 √ 2 1 0 −1 , x2 = 1 √ 2 1 0 1 , x3 = 0 1 0 . 令P = (x1 x2 x3) = √ 1 2 √ 1 2 0 0 0 1 √−1 2 √ 1 2 0 , P为正交矩阵. 则Q(x1, x2, x3) ¯ ¯ ¯ ¯ x=P y = 4y 2 1 + 2y 2 2 + 2y 2 3 . (3) Q是正定的，因为正惯性指数r = n = 3. (4) Q(x1, x2, x3) = 1表示椭球面. 五、（本题8分） (1) 因为b1, b2, · · · , bn两两正交, 所以hbi , bj i = δij · |bi | 2 = ( |bi | 2 6= 0, i = j, 0, i 6= j. 设λ1b1 +λ2b2 +· · ·+λnbn = 0, 用bi作内积得：λihbi , bii = 0 ⇒ λi = 0, i = 1, 2, · · · , n. 即b1, b2, · · · , bn线性无关. 第 9 页 共 10 页
(2)依题知：(，2，.，3n)=(b1,b2,. 设rank(A)=r,不妨设A的前r列线性无关，则A的第列G>r)都可由前r列线性表示. (ixr). \ 所以品G>r)是，2，.，3的线性组合.下面只要说明3,32，.，3线性无关即可. 设+2+.+入月，=(：.，)：=0， x 因为b1,b2,. 又因为系数阵是列满秩的，所以1=2=.=入=0. →月，品，.，民是线性无关的。 故dim(,2.3n）=rank(4=r 第10页共10页
(2) 依题知：(β1, β2, · · · , βn) = (b1, b2, · · · , bn) a11 · · · ann . . . . . . an1 · · · ann . 设rank(A) = r, 不妨设A的前r列线性无关, 则A的第j列(j > r)都可由前r列线性表示. 因为βj = Xn k=1 akjbk ⇒ βj = (b1, b2, · · · , bn) a1j . . . anj (j > r). 所以βj (j > r)是β1, β2, · · · , βr的线性组合. 下面只要说明β1, β2, · · · , βr线性无关即可. 设λ1β1 + λ2β2 + · · · + λrβr = (β1, β2, · · · , βr) λ1 . . . λr = 0, ⇒ (b1, b2, · · · , bn) a11 · · · a1r . . . . . . an1 · · · anr λ1 . . . λr = 0. 因为b1, b2, · · · , bn线性无关, 所以 a11 · · · a1r . . . . . . an1 · · · anr λ1 . . . λr = 0. 又因为系数阵是列满秩的，所以λ1 = λ2 = · · · = λr = 0. ⇒ β1, β2, · · · , βr是线性无关的. 故dimhβ1, β2, · · · βmi = rank(A) = r. (或者利用P AQ = Ã Ir 0 0 0! (相抵标准形), 其中P, Q可逆, 也可以类似地证明.) 第 10 页 共 10 页