中国科学技术大学 2017一2018学年第一学期考试试卷 考试科目概率论与数理统计(B) 得分 所在系 姓名 学号 考试时间：2018年1月10日上午8：30-10：30： 使用简单计算器 一(30分，每小题3分)填空题或单选题，答案可以直接写在试卷上. ()设随机事件A和B相互独立，A和C相互独立，且B和C互斥.若P(A)=P(B)=1/2, P(ACABUC)=1/4,P(C)= (②)一只蚂蚁从等边三角形△ABC的顶点A出发开始沿着边爬行，设它每次爬行到一 个顶点后，会休憩片刻再随机选择一条边继续爬行，则第次爬行是往A爬的概率 (③)设连续型随机变量x的密度函数f(e)满足f1+x)=f1-x),且f(x)dr=0.4 则P(X 0的Poisson分布.若记Z=XY,则Cov(X,Z)= (⑥)设将1米长的木棒随机截成两段，其中一段的长度记为X,另一段长度的1/3记为Y, 则X与Y的相关系数为() (A)1(B)-1 (C-1/3 (D)1/3 (T)设X1,X2,·,Xg是来自总体X~N(0,1)的一组简单随机样本，则下列统计量中 服从F分布的是( (A) (B)+++器(Cz+(D)+黑 (⑧)设X1,X2,.,Xn是来自总体X的一组简单随机样本，以了和S2分别表示样本均值 和样本方差.若记Var(X)=a2, 则( (A)S是的无偏估计量(B)S是的极大似然估计量 (C)S与X相互独立 (D)以上均不对 (⑨)设来自总体X~(4,0.9)一组容量为9的简单随机样本，其样本均值=5,则未 知参数μ的置信度为0.95的置信区间为 (保留到小数点后三位) (10)设X1,X2,·,Xn是来自正态总体N(4,σ)的一组简单随机样本，据此样本做假设 检验 o：≠o,其中40是给定的已知常数，则( (A)如果在检验水平a=0.05下接受Ho,那么在检验水平a=0.01下必接受H0 (B)如果在检验水平a=0.05下拒绝Ho,那么在检验水平a=0.01下必接受Ho (C)如果在检验水平a=0.05下接受H,那么在检验水平a=0.01下必拒绝H。 (D)如果在检验水平a=0.05下拒绝H0,那么在检验水平a=0.01下必拒绝丑 2017一2018学年第一学期概率论与数理统计(B)试卷共3页第1页
• I â ! E ‚ å ! 2017—2018!c1ò!œ!¡¡Ú !¡â8 V«ÿÜÍn⁄O(B) "© §3X 6! !“ !¡ûm: 2018c1"10F˛Ã8:30–10:30; ¶^{¸OéÏ . C . æ . Ç . ò. (30©, z#K3©) WòK!¸¿K, âYå±Ü"%3¡Ú˛. (1) %ë"ØáA⁄BÉp’·, A⁄CÉp’·, ÖB⁄Cp!. eP(A) = P(B)=1/2, P(AC|AB [ C)=1/4, KP(C) = . (2) òêȨl%>n#/4ABC&':A—um©˜X>˜1, %ßzg˜1)ò á':$, ¨>ì°è2ë"¿Jò^>UY˜1, K1ng˜1¥ A˜&V« è . (3) %ÎY.ë"C˛X&ó›ºÍf(x)˜vf(1 + x) = f(1 x), ÖR 2 0 f(x)dx = 0.4, KP(X 0&Poisson©Ÿ. ePZ = XY , KCov(X, Z) = . (6) %Ú1í#&7ïë"$§¸„, Ÿ•ò„&#›PèX, ,ò„#›&1/3PèY , KXÜY &É'XÍè( ) (A) 1 (B) 1 (C) 1/3 (D) 1/3 (7) %X1, X2, ··· , X9¥5goNX ⇠ N(0, 1)&ò|{¸ë"$&, Ke&⁄O˛• —lF©Ÿ&¥( ) (A) X2 1 +X2 2 +X2 3 X2 4 +X2 5 +···+X2 9 (B) X2 1 +X2 2 +X2 3 +X2 4 +X2 5 X2 5 +X2 6 +X2 7 +X2 8 +X2 9 (C) X2 1 +X2 2 +X2 3 2(X2 4 +X2 5 +···+X2 9 ) (D) 2(X2 1 +X2 2 +X2 3 ) X2 4 +X2 5 +···+X2 9 (8) %X1, X2, ··· , Xn¥5goNX&ò|{¸ë"$&, ±X⁄S2©OL´$&˛ä ⁄$&ê%. ePVar(X) = 2, K( ) (A) S¥&%†%O˛ (B) S¥&4åq,%O˛ (C) SÜXÉp’· (D) ±˛˛ÿÈ (9) %5goNX ⇠ N(µ, 0.92)ò|N˛è9&{¸ë"$&, Ÿ$&˛äX = 5, Kô &Î͵&ò&›è0.95&ò&´mè (*3)#Í:$n†). (10) %X1, X2, ··· , Xn¥5g$%oNN(µ, 2)&ò|{¸ë"$&, ‚d$&âb% u%H0 : µ = µ0 $ H1 : µ 6= µ0, Ÿ•µ0¥â-&Æ&~Í, K( ) (A) XJ3u%Y&↵ = 0.05e".H0, @o3u%Y&↵ = 0.01e7".H0 (B) XJ3u%Y&↵ = 0.05e·˝H0, @o3u%Y&↵ = 0.01e7".H0 (C) XJ3u%Y&↵ = 0.05e".H0, @o3u%Y&↵ = 0.01e7·˝H0 (D) XJ3u%Y&↵ = 0.05e·˝H0, @o3u%Y&↵ = 0.01e7·˝H0 2017—2018!c1ò!œV«ÿÜÍn⁄O(B)¡Ú ! 3 ê 1 1 ê
二.(16分)设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为 f(,)Ce-22+2-,-000为未知参数，而X,X2,·,Xn是来自该总体的一组简单随机样本。 (1)求a的矩估计量a,和极大似然估计量a2: (2)求p=P(0<X<V的极大似然估计量到 (3)问ā1和à2是否为无偏估计？若是，请证明你的结论；若不是，请修正之 五.(10分)为了检验某种体育锻炼对减肥的效果，随机抽取了10名减肥者进行测试.在进 行体育锻炼前后这些减肥者的体重（单位：千克）数据列表如下，问该体育锻炼方法对降 低体重是否具有显著性（设人的体重服从正态分布.取显著性水平a=0.05)? 锻炼前体重70656758697274616367 锻炼后体重68606858677070606065 六.(10分)上海证券综合指数简称“上证指数”，反映了上海证券交易所上市股票价格的变 动情况.自上证指数诞生的二十七年(1991年1月至2017年12月)以来，所有月份上涨或 下跌的情况如下： 月份一二三四五六七八九十十一十二 上涨月数142116151414131511131813 下跌月数1361112131314121614914 结合你所学的知识，我们能否认为上证指数的涨跌与月份有关？ 附录：上分位数表 u0.025=1.96,40.05=1.645 t8(0.025)=2.306,t8(0.05)=1.86,t(0.025)=2.262,te(0.05)=1.833 x(0.05)=19.675. 2017一2018学年第一学期概车论与教星统计(B)试卷共3页第2页
!. (16©)%%ëë"ï˛(X, Y )&È‹ó›ºÍè f(x, y) = Ce2x2+2xyy2 , 1 0èô&ÎÍ, &X1, X2, ··· , Xn¥5gToN&ò|{¸ë"$&. (1) ¶a&›%O˛aˆ1⁄4åq,%O˛aˆ2; (2) ¶p = P(0 <X< pa)&4åq,%O˛pˆ; (3) Øaˆ1⁄aˆ2¥ƒè%†%O? e¥, ûy&\&(ÿ; eÿ¥, û?$É. . (10©) è(u%,´Nò‚ıÈ~ù&.J, ë"ƒ((10!~ùˆ?1ˇ¡. 3? 1Nò‚ıc$˘/~ùˆ&N+(¸†:Zé)Í‚&LXe, ØTNò‚ıê{ȸ $N+¥ƒ‰kwÕ5(%<&N+—l$%©Ÿ, (wÕ5Y&↵=0.05)? ‚ıcN+ 70 65 67 58 69 72 74 61 63 67 ‚ı$N+ 68 60 68 58 67 70 70 60 60 65 8. (10©)˛(y n‹çÍ{°“˛yçÍ”, áN(˛(y -¥§˛+)¶dÇ&C ƒú(. g˛yçÍ1)&%õ‘c(1991c1"ñ2017c12")±5, §k"+˛fi! eO&ú(Xe: "+ ò % n o 8 ‘ l õ õò õ% ˛fi"Í 14 21 16 15 14 14 13 15 11 13 18 13 eO"Í 13 6 11 12 13 13 14 12 16 14 9 14 (‹\§!&&£, +ÇUƒ@è˛yçÍ&fiOÜ"+k'? N": ˛©†ÍL u0.025 = 1.96, u0.05 = 1.645; t8(0.025) = 2.306, t8(0.05) = 1.86, t9(0.025) = 2.262, t9(0.05) = 1.833; 2 11(0.05) = 19.675. 2017—2018!c1ò!œV«ÿÜÍn⁄O(B)¡Ú !3 ê 1 2 ê
参考答案 一.（每小题3分） 1-(-)m-1B:2:XB;D:C4.412,5.588:A 二.(1)(8分)由 -Pane-a 可知C=: (②)(8分)由于X的边缘密度函数为 从而， fx()=fe》_- -000 (②)(4分)易知，E(U+V)=E(X+Y)=2. (③)(6分)由EU-EV=EZ=a,可知EU=1+,EV=1- 四.()(6分)矩估计量a1=X,极大似然估计量2=Xm (2)(4分)由p=知其极大似然估计量为驴=1/Xm； (3)(8分)矩估计a1是无偏的，因E(à)=E()=(X)=a:而由Xm的密度函数为 )=nF()() 知E(a2)=2”a.故a2不是无偏估计，可修正为a=t出Xo. 五.(10分)成对数据.首先可算得相减之后，有下=2，S=28/9.故由 =3.59>tg(0.05)=1.833, 5 可拒绝原假设(：锻炼前后体重无显著变化)，即认为该体育锻炼方法对降低体重具 有显者性. 六.(10分)列联表齐一性检验.两行的和分别为177和147，每列之和均为27.由此可算 得x统计量的值为11.394<X(0.05)=19.675,故可认为“无充分证据表明上证指数 的涤跌与月份有关”或“上证指数的涨跌与月份无关”， 3
Î"âY ò. (z#K3©) 1 4 ; 1 3 [1 (1 2 )n1]; B; 2; ; B; D; C; [4.412, 5.588]; A. !. (1) (8©) d Z 1 1 Z 1 1 e2x2+2xyy2 dxdy = Z 1 1 ex2 dx Z 1 1 e(xy)2 dy = ⇡ å&C = 1 ⇡ ; (2) (8©) duX&>*ó›ºÍè fX(x) = Z 1 1 f(x, y)dy = 1 p⇡ ex2 , l&, fY |X(y|x) = f(x, y) fX(x) = 1 p⇡ e(xy)2 , 1 0. (2) (4©) ¥&, E(U + V ) = E(X + Y ) = 2. (3) (6©) dEU EV = EZ = p 1 ⇡ , å&EU =1+ 1 2 p⇡ , EV = 1 1 2 p⇡ . o. (1) (6©) ›%O˛aˆ1 = 3 2X, 4åq,%O˛aˆ2 = X(n); (2) (4©) dp = 1 a&Ÿ4åq,%O˛èpˆ = 1/X(n); (3) (8©) ›%Oaˆ1¥%†&, œE(ˆa1) = 3 2E(X) = 3 2E(X) = a; &dX(n)&ó›ºÍè h(x) = n[F(x)]n1 f(x) = 2n a2n x2n1 , 0 t9(0.05) = 1.833, å·˝+b%(H0: ‚ıc$N+%wÕCz), =@èTNò‚ıê{ȸ$N+‰ kwÕ5. 8. (10©) &ÈL‡ò5u%. ¸1&⁄©Oè177⁄147, z&É⁄˛è27. ddåé "2⁄O˛&äè11.394 < 2 11(0.05) = 19.675, *å@è“%ø©y‚L&˛yçÍ &fiOÜ"+k'”!“˛yçÍ&fiOÜ"+%'”. 3