高等学校教学参考书 复变函数习题集 范宜传彭清泉编 55 人人名A“放站
序言 本习题集可作为理工科大学与师范院校有关复变函数论课程 的教学参考书；对于自修复变函数论的读者，也可作为一本辅助性 的读物.它的内容有四个部分，编排的顺序如下：每一章节的开 始，摘有基本知识提要，帮助读者复习；其次，选取了一定数量的例 题，供读者演题时参考；再次，安排大量的习题；最后，附有大部分 习题的提示、答案或解答.为了弥补某些题目没有给出解答，在附 录Ⅱ中列出主要参考书目，以便读者查阅。 本习题集的初稿写于一九六二年，这次付印前作了修订，但 限于编者的水平，书中一定存在许多不妥之处与错误，殷切地期 待使用本书的老师与读者们批评指正. 本习题集的编写，曾得到武汉大学李国平教授，南京大学叶 南薰教授、郑维德副教授热情鼓励，以及华侨大学数学系一些同 志的帮助，在此谨向他们表示衷心的感： 编者 一九七九年六月
录 序言 第一章复数 多上。复数的盐本运算，模与幅角.一】 2.复数序列与级数.测地投影.3 第二章.复变函数 月1、复变函数的极限与连续性.22 景2.复变函数的导数.25 第三章初等函数与它所构成的映射 §1.初等超越函数的定义与它的基本性质.33 52.导数的儿何意义，保角映射的概念.39 写3.初等函数所构成的映射.43 第四章积分 写1.复变积分. .58 2.哥西定理与哥西积分公式.63 第五章一致收敛性 图数项序列与级数，无穷乘积，含参变量的积分.75 第六章幕级数与它的应用 正则函数的展开，最大模原理，施瓦兹引理.88 第七章单值函数的奇点 §1.罗朗级数与孤立奇点的分类.113 写2.整函数与半纯函数.125 第八章残数与它的应用 多1，残数的计算与残数基本定理.136 员2。残数在实积分计算上的应用.144 $3。残数的其他应用（正则函数零点的分布，半纯函数的展开， 级数的求和).+.156 ·
第九章解析延拓与多值函数 1.解折延拓.164 S2。多值函数与它的黎曼曲面.173 第十章保角映射（续） §1，保角映射的一般原理. .180 §2。多角形映射的施瓦兹-克利斯托弗尔公式.188 S3。单叶映射的性质.198 第十一章伽马函数T(z).203 附录I提示与答案.11 附录夏主要参考书.279 附录厘人名对照表.281 ·2●
第一章复 数 §1.复数的基本运算，模与幅角 (一)设心、y是两个实数，则由它们组成的表示式x十称 为复数，记为a: =x+划(i=/-1), 其中x称为2的实部，y称为2的虚部，分别记作 x=Rez,y=Imz. 我们称x一为名的共轭数，记作元.两个复数1=x十1 与22=x2+2,当且仅当=2,1=时，才说它们相等. 关于复数的四则运算定义如下： 加法：1十2=(x1+x)十i(1+2), 减法：1-22=（一）十i(1-), 乘法：2=(x1一1y2)+i(12十1r2）, 显然，如上定义的加法与乘法，其运算满足交换律、结合律及乘法 对加法的分配律. 除法：设2≠0，则L-2坐+2二驰 22x经十行 x十y (二)当考虑笛卡尔坐标平面xOy时，那么，在平面上每一 个具有坐标(x,)的点便与复数2=x+划之间建立了一一对应 的关系.再者，注意到平面上的每一点又都对应于一个完全确定 的向量一这个点的向径；反之，平面上每一向径，也都对应干 一个完全确定的点一这个向径的终点.因此，我们也可以用 平面上的向径来表示复数.对应于2的向径的长度T称为复数 2的模，记作|；由Ox轴的正向转到和该向径的方向一致时所 ·1·
成的角度中，称为2的幅角，记作Argz(中只能确定到相差2π的 任意整数倍；若转动是反时针向，中为正，否则为负).显然有： T=|zl=√+=√2，币=Arg2=Arotg, 名=t+划=r(cosΦ+igin中). 最后一式就是复数名的极坐标表示式，也称三角表示式. 对于名=0，其|z=0,但Ag2无意义；当2≠0时，在其幅角 的一切值中，只有-一值满足 一π<Φ≤n, 此值称为幅角的主值，以小写p=arg2表示.我们有 Arg2=argg+2nπ(n=0,土1，土2，.). (三)关于模、幅角，有下述一些明显性质： |z1z2=22,} -哥a*0, Arg()-Arg+Arg ArArgs:-Argza 这些公式可以推广到任意有限个复数，.，的情形特 别地，令1=2=.=m=名时，则有乘方公式： zn=rm(cosnΦ+isin九Φ) 再令？=1，便得到德摩弗公式： (cosΦ+言sinΦ)"=co9nΦ+isinn中， 例题与习题 1.试求复数片的实部与虚部。 解设2三x上，我们有 名-1_《8-10(a+五_(2-1)（元+1）=28-元+名-1 8+1(a+1)(a+1)1z+1|2 (x+1)2+y2 =（x2+-1)+2g (x+1)2+y2. 、2
则 e格=+m=+影+子 2 2.试证明不等式 21十22≤21l+12,1川1|-|2l川≤|1-22 证因为|21十22=(21十2)(1十22)=(21十2)(1十2) =211十2122十122十22元2， 但 12十元122=2Re{z1元2}，|Rez≤|z 则|a1+名22=|12+2Re{a1元2}+|z22, ≤|a12+2a12l+{a22 =|a112+2a11{2|+|222=(1z11+|2)2 于是引21十2≤|a1十2引.对第二个不等式可类似地证明.（如果 考虑复数的向量表示，那么，上述不等式正好是两个明显的几何事 实，即：三角形两边之和大于第三边，三角形任一边总大于其他两 边之差.) 3.试证明以1，名2,23为顶点的三角形与以01，w2,w3为顶点 的三角形同向相似的充分必要条件是 21w:1 22.021=0 123031 证我们以∠3记顶点在3的那个角，那么，所述的两个三 角形同向相似的充要条件是 ∠g=∠03，而且22二=102-wl 21一23|01-03 =8务=a8监-贵 那么，上述两个条件可合并为 32一23-02-03 312301-03 3●
此即 21w11 22021=0. 133031| 4.若6≠0，试证明 1+co30+c0320+.+co3n0= sin号+sin(a+} 29im2 sin0+sin20+.+sinne= 00 2sin 2 证令名=cos0+isin0,由德摩弗公式，得 zm=cosn0+isinno. 但根据 1+2+22+.十20=1-21 二2，有 1+(cos0+isin0)++(cosne+isinne) =1-[cos(m+1)0+isin(n+1)9] 1-(cos0+isin0) 即 (1+cos0+.+cos%0)+i(sin0+.+sinn0) -[1-cos(n+1)0-isin(n+1)0](1-cos0+isin0) (1-c0s0)2+sin20 f(0) f(0) 2a0co4in(2 f(0)=[1-cos(n+1)0](1-cos0)+sin0sin(n+1)0 +i[sin0(1-co3(n+1)8)-(1-cos0)sin(n+1)0]. 再经一些简单运算，可得 1+cosf+.+cosn0=Rcf(0)） aing} ·4·
sinin) 2sin 0 sin0+.+sinng=Im_f()）=9 0 4sin2 2sin 2 5.我们给出下述定义：适合等式 m=:（n为自然数) 的复数5，称为复数名的%次根，记作5=云、试求一切的5. 解若名=0，则显然5=0；若2≠0，我们令 a=r(cos中+isinΦ)，5=p(cosΨ+isinΨ)， 那么 p"(cosnΨ+isinnΨ)=r(cosΦ+isinΦ). 比较两端的模与幅角，得到 p=T,n亚=p+2kr 即 p=T,华=p+2km 此处/T表示r的n次算术根，p表示主值argz 让k=0,1,2,.,%一1.可见？的2次根共有个，它们可以 表示为： -coiin) 2 显然，它们分布在以原点为中心以”为半径的圆周的一个内接 正？边形的顶点上. 6.试求满足下列关系式的点2的轨迹： Ree=se)层3s1 解(1)因为22=(x2-)+i2x,则 ·5
Re{e2=x2-2. 可见，所求的轨迹是双曲线2一2=a.(当a=0时，退化为一对 直线.) (2)注意到两个复数相减的模，就是相应的两个点之间的距 离。可见经-1，aw>l,求证 多项式 an2+.十a1名十00 的零点或者在Re1时，我们有Re(合)>0，面且 >。+8g-箭-器-品 >a+}品品之1-2可 9 现以r-1+今巫表示2-r=9的正根，则1到>r时，1-2a 9 >0;可见，当Re≥0，|z≥r时，()≠0.这就证明了f(2)的 零点或者在Re<0内，或者在1<上+团内. 8.试求下列各式的x与y(x、y都是实数)： (1)(1+2i)x+(3-5)划=1-3； (②)e+g-号-=-y+5(c+i-9 (3)x十iy=√a+ib. 。6·