中国科学技术大学数学科学学院 2016~2017学年第1学期期末考试试卷 ■A卷 ☐B卷 课程名称 计算方法（®） 课程编号 001511 考试时间 2017年1月12日 考试形式 闭卷 姓名 学号 学院 题号 四 五 六 七 总计 得分 评卷人 注意事项 1.答卷前，考生务必将所在系、姓名、学号等填写清楚。 2.本试卷共7道试题，满分100分，考试时间120分钟。 3.计算结果保留4位小数。 -、(30分)填空 (①)(9分)用规范的幂法求矩阵A的特征值。若A的按模最大特征值只有一个，则序列表现为 若A的按模最大特征值是互为反号的两个实数，则序列表现为 (2)(6分)解非线性方程f(x)=0的Newtoni选代格式为 若已知方程的根是3重根，则格式应该效为 才能保证格式具有2阶收敛速度。 (3)(3分)6个点的数值积分公式至多可以到 阶代数精度。 1-52 (④)(6分)矩阵A= -132 则A1 48-2 (⑤)(6分)已知f(1)=0.12,f（2-0.25,f3)=0.20,则用Simpson公式得到的函数f(x)在1,3)上 的数值积分为」 -,差商f1,2,3= 第1页
.密.封.线.内.不.要.答.题. 中国科学技术大学数学科学学院 2016 ～ 2017学年 第 1 学期期末考试试卷 ■A卷 □B卷 课程名称 计算方法(B) 课程编号 001511 考试时间 2017年1月12日 考试形式 闭卷 姓 名 学 号 学 院 题号 一 二 三 四 五 六 七 总计 得分 评卷人 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将所在系、姓名、学号等填写清楚。 2. 本试卷共 7 道试题， 满分 100 分，考试时间 120 分钟。 3. 计算结果保留4位小数。 一、 (30分)填空 (1) (9分) 用规范的幂法求矩阵A的特征值。若A的按模最大特征值只有一个，则序列表现为 若A的按模最大特征值是互为反号的两个实数，则序列表现为 (2) (6分) 解非线性方程f(x) = 0的Newton迭代格式为 若已知方程的根是3重根，则格式应该改为 ， 才能保证格式具有2阶收敛速度。 (3) (3分) 6个点的数值积分公式至多可以到 阶代数精度。 (4) (6分) 矩阵 A = 1 −5 2 −1 3 2 4 8 −2 ，则∥A∥1 = , ∥A∥∞ = (5) (6分) 已知f(1) = 0.12, f(2) = 0.25, f(3) = 0.20，则用Simpson公式得到的函数f(x)在[1, 3]上 的数值积分为 , 差商f[1, 2, 3] = 第 1 页
二、(10分)用Courant分解求解线性方程组 x1+5x2-2x4=13 3知1+2c2-xa=-12 3知1-4r2+5m3=-54 提示：A=LU,其中U为单位上三角阵，L为下三角阵，称为A的Courant分解。 三、(12分)按下列数据，用最小二乘法做出f(x)=a+r形式的拟合函数。 4-100.522.5 h0.600.710.750.81.0 第2页
二、 (10分) 用Courant分解求解线性方程组 x1 + 5x2 − 2x3 = 13 3x1 + 2x2 − x3 = −12 3x1 − 4x2 + 5x3 = −54 提示：A = LU，其中U为单位上三角阵，L为下三角阵，称为A的Courant分解。 三、 (12分) 按下列数据，用最小二乘法做出f(x) = a + bx2形式的拟合函数。 xi -1 0 0.5 2 2.5 yi 0.60 0.71 0.75 0.8 1.0 第 2 页
四、(12分)确定下面求积分公式中的待定参数A,使其代数精度尽可能高，写出公式并指出该求 积公式所具有的代数精度： eh≈号Uo)+faj+4o)-fa) 第3页
四、 (12分) 确定下面求积分公式中的待定参数A,使其代数精度尽可能高，写出公式并指出该求 积公式所具有的代数精度： ∫ h 0 f(x)dx ≈ h 2 (f(0) + f(h)) + Ah2 (f ′ (0) − f ′ (h)) 第 3 页
五、(12分)给定线性方程组4r=b, a-(-(} 若使用达代公式 +)=x因+ab-Ar),a∈R 求解方程。 1.写出达代公式的达代矩阵： 2.求出a的取值范围，使得迭代收敛，并指出取何值时选代收敛速度最快。 第4页
五、 (12分) 给定线性方程组Ax = b，其中 A = 3 2 1 2 ， b = 3 −1 。若使用迭代公式 x (k+1) = x (k) + α(b − Ax(k) ), α ∈ R 求解方程。 1. 写出迭代公式的迭代矩阵； 2. 求出α的取值范围，使得迭代收敛，并指出α取何值时迭代收敛速度最快。 第 4 页
六、(12分)函数f(r)足够光滑，以点2.0,4.0,6.0,8.0为节点构造的Lagrange插值多项式为1() 以4.0,6.0,8.0,10.0为插值节点的插值多项式为2()，若1(7.0)=0.325,2(7.0)=0.315， 1.用事后估计方法，估计(7.0)处的误差： 2.(z)是以2.0,4.0,6.0,8.0,10.0为节点的插值多项式，试计算1(7.0)的值.给出计算公式 并证明。 第5页
六、 (12分) 函数f(x)足够光滑，以点2.0, 4.0, 6.0, 8.0为节点构造的Lagrange插值多项式为l1(x)； 以4.0, 6.0, 8.0, 10.0为插值节点的插值多项式为l2(x)，若l1(7.0) = 0.325，l2(7.0) = 0.315， 1. 用事后估计方法，估计l1(7.0)处的误差； 2. l(x)是以2.0, 4.0, 6.0, 8.0, 10.0为节点的插值多项式，试计算l(7.0)的值。给出计算公式， 并证明。 第 5 页
七、2分)对常微分方程=f化，) ，在等距节点下构造如下的线性多步格式 y(a)=b +1+(a-1)n-awa-1=(a+3)/n++(3a+1)n-】 假定节点间距为h 1.证明a≠-1时格式是二阶精度的（即格式的局部截断误差为O(h),当a=-1时格式 是三阶精度的。 2.当a=-1时，说明格式是几步几阶显式还是隐式格式。 第6页
七、 (12分) 对常微分方程 y ′ = f(x, y) y(a) = b ， 在等距节点下构造如下的线性多步格式 yn+1 + (α − 1)yn − αyn−1 = h 4 [(α + 3)fn+1 + (3α + 1)fn−1] 假定节点间距为h 1. 证明α ̸= −1时格式是二阶精度的（即格式的局部截断误差为O(h 3 )），当α = −1时格式 是三阶精度的。 2. 当α = −1时，说明格式是几步几阶显式还是隐式格式。 第 6 页
答案 1.序列会收敛到一个向量（当特征值>0），或奇、偶序列收敛到互为反号的两个向量（特征值 <0)(6分) 奇、偶序列会收敛到两个向量，这两个向量不是互为反号的(3分) 2.+1=k-器(3分) +1=-3品3分) 3.11(3分) 4.16(3分)，14(3分) 5.0.22(3分)，-0.09(3分) E Ly=b, 13 Ux=V 7 =2 5 5.011.5） a 3.86 11.556.125 10.2375 a 0.6666 0.045813 第7页
答案 1. 序列会收敛到一个向量（当特征值>0），或奇、偶序列收敛到互为反号的两个向量（特征值 <0） (6分) 奇、偶序列会收敛到两个向量，这两个向量不是互为反号的 (3分) 2. xk+1 = xk − f(xk) f ′(xk) (3分) xk+1 = xk − 3 f(xk) f ′(xk) (3分) 3. 11(3分) 4. 16 (3分), 14 (3分) 5. 0.22 (3分) , -0.09 (3分) 2. 1 5 −2 3 2 −1 3 −4 5 = 1 0 0 3 −13 0 3 −19 48 13 1 5 −2 0 1 −5 13 0 0 1 Ly = b, y = 13 51 13 97 4 Ux = y x = −7 2 −5 3. 5.0 11.5 11.5 56.125 a b = 3.86 10.2375 a b = 0.6666 0.045813 第 7 页
4. 1d=h=1+1)+Ah2(0-0) 则A=位8分别 店r==0++合20-3h码) 6h=套+0+的+益0-网-若 所以代数精度为3(4分) 5.1).迭代矩阵 (6分) 2).谱半径 det X-1+3a2a =(-1+4a)(-1+a) a A-1+2a 谱半径为min4a-,a-10(2分) 分析可得0<a<是(2分) a=收敛最快(2分) 6.1. fi.0）≈5%7.0)+30，.0=0.31875 8.0 f(7.0)-l1(7.0)≈0.31875-0.325=-0.00625 2). 7.10. 2).2阶Runge-Kutta格式(2分) 第8页
4. ∫ h 0 1dx = h = h 2 (1 + 1) + Ah2 (0 − 0) ∫ h 0 xdx = h 2 2 = h 2 (0 + h) + Ah2 (1 − 1) ∫ h 0 x 2dx = h 3 3 = h 2 (0 + h 2 ) + Ah2 (0 − 2h) 则A = h 12 (8分) 又 ∫ h 0 x 3dx = h 4 4 = h 2 (0 + h 3 ) + h 12 h 2 (0 − 3h 2 ) ∫ h 0 x 4dx = h 5 5 ̸= h 2 (0 + h 4 ) + h 12 h 2 (0 − 4h 3 ) = h 5 6 所以代数精度为3 (4分) 5. 1). 迭代矩阵 I − αA = 1 − 3α −2α −α 1 − 2α (6分) 2). 谱半径 det λ − 1 + 3α 2α α λ − 1 + 2α = (λ − 1 + 4α)(λ − 1 + α) 谱半径为 min(|4α − 1|, |α − 1|) (2分) 分析可得0 < α < 1 2 (2分) α = 2 5收敛最快 (2分) 6. 1). f(7.0) − l1(7.0) f(7.0) − l2(7.0) ≈ 7.0 − 2.0 7.0 − 10.0 f(7.0) ≈ 5l2(7.0) + 3.0l1(7.0) 8.0 = 0.31875 f(7.0) − l1(7.0) ≈ 0.31875 − 0.325 = −0.00625 2). = 7. 1). 2). 2阶Runge-Kutta格式 (2分) 第 8 页