中国科学技术大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（讲义，共六章，打印版）

概率论与数理统计讲义 中国科学技术大学统计与金融系概率统计教研室 2008年4月

VÇ؆ênÚOù ¥I‰ÆEâŒÆÚO†7KXVÇÚOï¿ 2008c4

目录 第一章事件与概率 $11概率论发展简史 S1.2概率论的几个基本概念 1 S1.2.1随机试验和随机事件 51.2.2 事件的运算 ·”.4··。”···”·4· 2 51.2.3 概率的定义及性质 。·。.。·4。4。 51.2.4条件概率 S1.2.5全概率公式和Baves?公式 51.2.6事件的独立性 10 第二章随机变量及其分布 13 621随机变量的概今 13 2.2 离散型随机变量 ·。.·4.·。4。···。.·÷·”.···。 s2.210-1分布 。，。，。，。，。,，。 15 $2.2.2二项分布 15 62.2.3 Poisson分布 16 62.2.4离散的均匀分布 ” 18 2.3连续型随机变量 。4。·。·。4。 18 52.3.1正态分布 22 52.3.2指数分布 23 52.3.3均匀分布 24 2.4 多维分布 52.5边缘分布 27 S2.6条件分布和随机变量的独立性 29 62.6.1条件分布 29 2.62 随机变量的独立性 ···。.。.···。.。···。.···。 52.7随机变量的函数的概率分布 33 第三章 随机变量的数字特征 41 53.1 数学期望（均值）及中位数 。4。▣。4。▣。44。 53.1.1数学期望. 42 53.1.2数学期望的性质 44 53.13条件期望 45 531.4中位数 53.2方差、标准差和矩 48 $32.1方差和标准差 48 53.2.2矩. 49

8 ¹ 1Ù ¯‡†VÇ 1 §1.1 VÇØuÐ{¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.2 VÇØA‡ÄVg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.2.1 ‘ÅÁڑů‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.2.2 ¯‡$Ž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 §1.2.3 VǽÂ95Ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 §1.2.4 ^‡VÇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §1.2.5 VÇúªÚBayesúª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §1.2.6 ¯‡Õá5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1Ù ‘ÅCþ9Ù©Ù 13 §2.1 ‘ÅCþVg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 §2.2 lÑ.‘ÅCþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 §2.2.1 0-1©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 §2.2.2 ‘©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 §2.2.3 Poisson©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 §2.2.4 lÑþ!©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 §2.3 ëY.‘ÅCþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 §2.3.1 ©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 §2.3.2 ê©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 §2.3.3 þ!©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 §2.4 õ‘©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 §2.5 >©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 §2.6 ^‡©ÙڑÅCþÕá5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 §2.6.1 ^‡©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 §2.6.2 ‘ÅCþÕá5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 §2.7 ‘ÅCþ¼êVÇ©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1nÙ ‘ÅCþêiA 41 §3.1 êÆÏ"(þŠ)9¥ ê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 §3.1.1 êÆÏ" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 §3.1.2 êÆÏ"5Ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 §3.1.3 ^‡Ï" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 §3.1.4 ¥ ê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 §3.2 !IOÚÝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 §3.2.1 ÚIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 §3.2.2 Ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 i

3.3协方差和相关系数 .·”. 50 331协方差. 50 53.3.2相关系数 60 3.4其他一些数字特征与相关函数.·····.··.···。· 535大数定律和中心极限定理. 53 3.5.1大数定律 。，。，。，。，。， 53.5.2中心极限定理.， 54 第四章数理统计的基本概念及抽样分布 公 4.1引言 54.1.1什么叫数理统计学 57 54.1.2数理统计学的应用 413统计学发展简史. 2 54.2数理统计的若干基本概念 63 54.2.1总体和样本 S4.2.2样本的两重性和简单随机样本 54.2.3 统计模型 64.2.4统计推断 67 54.3统计量 64.3.1统计量的定义. 68 $4.3,2若干常用的统计量 68 54.4三大分布一X2,，F分布及正态总体样本均值和样本方差的分布 69 54.4.1X2分布. 70 54.4.2t分布 72 64.4.3F分布 73 54.4.4正态总体样本均值和样本方差的分布 74 75 第五章参数估计 $5.1点估计 77 55.1.1矩估计方法 。，:。g:。,:。, 77 5.1,2极大似然估计方法············· 70 5.13点估计的优良准则 。·。 84 55.2.1置信区间 522置信界······· 87 55.2.3确定样本大小 88

§3.3 ڃ'Xê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 §3.3.1  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 §3.3.2 ƒ'Xê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 §3.4 Ù¦ êiA†ƒ'¼ê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 §3.5 Œê½ÆÚ¥%4½n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 §3.5.1 Œê½Æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 §3.5.2 ¥%4½n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1oÙ ênÚOÄVg9Ä©Ù 57 §4.1 Úó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 §4.1.1 ŸoênÚOÆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 §4.1.2 ênÚOÆA^ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 §4.1.3 ÚOÆuÐ{¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 §4.2 ênÚOeZÄVg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 §4.2.1 oNÚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 §4.2.2 ü­5Ú{ü‘Å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 §4.2.3 ÚO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 §4.2.4 ÚOíä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 §4.3 ÚOþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 §4.3.1 ÚOþ½Â . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 §4.3.2 eZ~^ÚOþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 §4.4 nŒ©Ù—χ 2 , t, F©Ù9oNþŠÚ©Ù . . . . . . 69 §4.4.1 χ 2©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 §4.4.2 t©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 §4.4.3 F©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 §4.4.4 oNþŠÚ©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 §4.4.5 A‡­‡íØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1ÊÙ ëêO 77 §5.1 :O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 §5.1.1 ÝO{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 §5.1.2 4Œq,O{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 §5.1.3 :O`ûOK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 §5.2 «mO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 §5.2.1 &«m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 §5.2.2 &. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 §5.2.3 (½Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 ii

第六章假设检验 89 56.1 基本概念和问题的提法 89 56.1.1零假设，对立假设，两类错误，拒绝域，显著性水平，功效.·.··.。89 56.1.2假设检验问题的提法， 91 56.1.3检验统计量的选取及假设检验的步骤 92 s6.2重要参数检验 66.2.1 一样本正态总体均值和方差的检验 S6.22两样本正态总体的情形.·. 97 6623成对数据 99 6.2.401分布中未知参数p的假设检验 10 s6.3.1离散总体情形. 56.3.2列联表的独立性和齐一性检验 .103 56.3.3连续总体情形 104

18Ù bu 89 §6.1 ÄVgÚ¯KJ{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 §6.1.1 "b, éáb, üa†Ø, áý, wÍ5Y², õ . . . . . . . 89 §6.1.2 bu¯KJ{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 §6.1.3 uÚOþÀ9buÚ½ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 §6.2 ­‡ëêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 §6.2.1 oNþŠÚu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 §6.2.2 üoNœ/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 §6.2.3 ¤éêâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 §6.2.4 0-1 ©Ù¥™ëêp bu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 §6.3 [Ü`Ýu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 §6.3.1 lÑoNœ/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 §6.3.2 éLÕá5Úà5u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 §6.3.3 ëYoNœ/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 iii

第一章事件与概率 教学目的： 1)掌握随机事件的概念和相关运算. 2)了解概率的不同定义，掌握古典概型的基本计算. 3)掌握条件概率的概念，熟练运用全概率公式和Bays公式 4)掌握事件独立的概念和有关运算. 1.1概率论发展简史 概率论起源于17世纪，现在公认是1654年Pascal与Fermat就赌博中的数学问题所展 开的讨论，在讨论中提出了一些基本概念，最典型的例子是如何分赌本的问题.两个赌 徒相约赌若干局，谁先赢s局就算谁赢.由此提出期望的概念.之后几个数学大家Huygens. Bernouli,J,De Moivre等研究了这个问题，Bernouli对频率与概率接近这一事实给予了 理论上的阐述.1812年Laplace在《分析概率论》中最早叙述了概率论的几个基本定理， 给出了古典概率的明确定义.1814年在《概率的哲学探讨》一书中，记载了一个有趣的统 计故事，根据伦敦、彼得堡、柏林和全法国的统计资料，得出几乎一致的男婴和女婴出生 的比例为22：21，即男婴比例为51.16%，或男婴与女婴的比值为104.76：100，可是统计1745 1784年整整40年巴黎男婴的出生率时，得到的比例为25：24(104.17：100)，调查研究后发现 巴黎人有遗弃男婴的陋习.1900年Hilbert在第二届世界数学家大会上提出了23个有名的 问题，主体是对新世纪数学发展方向的探讨.关于建立概率论的公理体系是他所提的 第六个问题“借助公理来研究那些在其中数学起重要作用的物理科学：首先是概率和力 学”.随后Poincare,.Borl等都对概率论公理体系的建立做出了努力，1933年苏联的大数 学家Kolmogorov(1903-1987)正式提出了概率论的公理体系.概率论从此得到迅速的发展 在此基础上，数理统计也得到了迅速的发展。 S1.2概率论的几个基本概念 1.2.1随机试验和随机事件 随机现象：自然界中的客观现象，当人们观测它时，所得结果不能预先确定，而仅仅 是多种可能结果之一 举例说明随机现象

1Ù ¯‡†VÇ Æ8µ 1) ݺ‘ů‡Vgڃ'$Ž. 2) )VÇØӽ§ݺ;V.ÄOŽ. 3) ݺ^‡VÇVg§Ùö$^VÇúªÚBayesúª. 4) ݺ¯‡ÕáVgÚk'$Ž. §1.1 VÇØuÐ{¤ VÇØå u17­V, y3ú@´1654cPascal†FermatÒÙÆ¥êƯK¤Ð m?Ø, 3?Ø¥JÑ ÄVg, ;.~f´XÛ©Ù¯K. ü‡Ù äƒÙeZÛ, XkIsÛҎXI. ddJÑÏ"Vg. ƒ￾A‡êƌ[Huygens, Bernouli, J, De Moivre ïÄ ù‡¯K, Bernouli éªÇ†VÇCù¯¢‰ƒ nØþã. 1812cLaplace 35©ÛVÇØ6¥@Qã VÇØA‡Ä½n, ‰Ñ ;VDz(½Â. 1814c35VÇóÆ&?6Ö¥, P1 ‡kÚ O¯, ŠâÔí!*!yÚ{IÚO], ÑAI?Úå?Ñ) '~22:21, =I?'~51.16%, ½I?†å?'Š104.76:100, Œ´ÚO1745- 1784c40cniI?Ñ)Ǟ, '~25:24 (104.17:100), NïÄ￾uy ni<k¢ïI?§S. 1900cHilbert 313­.êÆ[Œ¬þJÑ 23‡k¶ ¯K, ÌN´é#­VêÆuА•&?. 'uïáVÇØúnNX´¦¤J 18‡¯K“/Ïún5ïÄ@ 3Ù¥êÆ孇Š^Ôn‰Æ; Äk´VÇÚå Æ”. ‘￾Poincare, BorelÑéVÇØúnNXïá‰Ñ ãå, 1933c€éŒê Æ[Kolmogorov(1903-1987)ªJÑ VÇØúnNX. VÇØldׄuÐ, 3dÄ:þ, ênÚO ׄuÐ. §1.2 VÇØA‡ÄVg §1.2.1 ‘ÅÁڑů‡ ‘Åy: g,.¥*y, <‚*ÿ§ž, ¤(JØUýk(½, == ´õ«ŒU(Jƒ. Þ~`²‘Åy. 1

随机试验：随机现象的实现和对它某个特征的观测 随机试验中要求试验的结果至少2个，每次试验或观测得到其中的一个结果，在试 验和观测之前不能预知是哪个结果发生。此外，要求在相同的条件下能重复试验。 如观测把硬币抛4次后正面向上的次数：观测某地的温度变化：某电话总机单位时间 内转接的电话次数 定义1.21，基本事件：随机试验中的每个单一结果，它犹如分子中的原子，在化学反应 中不能再分，所以有“基本”两字 如把硬币抛3次后有8种可能结果：正正正、正正反、正反正、反正正、正反反、反正 反、反反正、反反反.这8种可能结果的每一个都是基本事件 定义122.随机事件：简称事件，在随机试验中我们所关心的可能出现的各种结果，它 由一个或若千个基本事件组成， 随机事件常用大写英文字母A,B,C,D等表示.如果用语言表达，则要用花括号括起 来 定义1.2.3.样本空间：随机试验中所有基本事件所构成的集合，通常用2或S表示 例1.2.1.掷一枚骰子，观察出现的点数.则={1,2,3,4,5,6 例122.考察某一地区的年降雨量，则={0≤x<T},这里T表示某个常数，表示 降雨量不会超过T, 定义1.2.4.必然事件（但）：在试验中一定会发生的事件 不可能事件()：在试验中不可能发生的事件. 51.2.2事件的运算 可以证明，把样本空间中的基本事件与空间中的点相对应，则事件与集合相对应，因 此事件运算与集合运算可以建立一一对应关系， 1.子事件ACB:事件A发生蕴含事件B一定发生，则事件A称为事件B的子事件，记 为ACB.若ACB,且BCA,则称事件A与事件B相等，记为A=B. 2

‘ÅÁ: ‘Åy¢yÚé§,‡A*ÿ. ‘ÅÁ¥‡¦Á(J2‡§zgÁ½*ÿÙ¥‡(J§3Á Ú*ÿƒcØUý´=‡(Ju)"d §‡¦3ƒÓ^‡eU­EÁ" X*ÿrM14g￾¡•þgê; *ÿ,/§ÝCz; ,>{oÅü žm S=>{gê. ½Â 1.2.1. į‡: ‘ÅÁ¥z‡ü(J, §gX©f¥f, 3zƇA ¥ØU2©, ¤±k“Ä”üi. XrM13g￾k8«ŒU(J: !‡!‡!‡!‡‡!‡ ‡!‡‡!‡‡‡. ù8«ŒU(Jz‡Ñ´Ä¯‡. ½Â 1.2.2. ‘ů‡: {¡¯‡, 3‘ÅÁ¥·‚¤'%ŒUÑyˆ«(J, § d‡½eZ‡Ä¯‡|¤. ‘ů‡~^Œ=©i1A, B, C, DL«. XJ^ŠóLˆ, K‡^s)Ò)å 5. ½Â 1.2.3. m: ‘ÅÁ¥¤kį‡¤¤8Ü, Ï~^Ω½SL«. ~ 1.2.1. •qf, * Ñy:ê. K Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. ~ 1.2.2.  ,/«cü…þ, K Ω = {x|0 ≤ x < T}, ùp T L«,‡~ê, L« ü…þج‡L T. ½Â 1.2.4. 7,¯‡(Ω): 3Á¥½¬u)¯‡; ،U¯‡(φ): 3Á¥ØŒUu)¯‡. §1.2.2 ¯‡$Ž Œ±y², rm¥Ä¯‡†m¥:ƒéA, K¯‡†8܃éA, Ï d¯‡$Ž†8Ü$ŽŒ±ïáéA'X. 1. f¯‡A ⊂ B: ¯‡Au)%¹¯‡B½u), K¯‡A¡¯‡Bf¯‡, P A ⊂ B. eA ⊂ B, …B ⊂ A, K¡¯‡A†¯‡Bƒ, PA = B. 2

9 2.事件的和(AUB)：事件A和事件B中至少有一个发生的这一事件称为事件A和事 件B的和，记为AUB. 9 3.事件的积(A∩B)：事件A和事件B同时发生这一事件称为事件A和事件B的积，记 为AnB. 如果AnB=·,则称A和B不相容，即事件A和B不能同时发生 4.对立事件A(或A):A不发生这一事件称为事件A的对立事件（或余事件） 5.事件A和事件B的差A-B:事件A发生而事件B不发生这一事件称为事件A和事件B的 差，记为A-B,或等价的，AB

2. ¯‡Ú(A ∪ B) : ¯‡AÚ¯‡B¥k‡u)ù¯‡¡¯‡AÚ¯ ‡BÚ, PA ∪ B. 3. ¯‡È(A ∩ B) : ¯‡AÚ¯‡BӞu)ù¯‡¡¯‡AÚ¯‡BÈ, P A ∩ B. XJA ∩ B = φ, K¡AÚB؃N, =¯‡AÚBØUӞu). 4. éᯇAc (½A¯): AØu)ù¯‡¡¯‡Aéᯇ(½{¯‡) . 5. ¯‡AÚ¯‡BA−B: ¯‡Au) ¯‡BØu)ù¯‡¡¯‡AÚ¯‡B , PA − B, ½d, ABc . 3

De Morgan对偶法则： AUB=AnB, AnB=AUB, 上面公式可以推广到n个事件 94=0a 04=0a $1.2.3概率的定义及性质 1.概率的定义 什么叫概率？直观地讲，概率是随机事件发生可能性大小的数字表征，其值在和1之 间，换句话说，概率是事件的函数.如何求出事件A的概率（记为P(4)? (1)古典概型：有两个条件， 第一，（有限性）试验结果只有有限个（记为）， 第二，（等可能性）每个基本事件发生的可能性相同 为计算事件A的概率，设A中包含m个基本事件，则定义事件A的概率为 P(A)=" 记号：为方便起见，以#(B)记事件B中基本事件的个数，因此 P(A)=#(4 #@ (2)概率的统计定义 古典概型的两个条件往往不能满足，此时如何定义概率？常用的一种方法是把含 有事件A的随机试验独立重复做n次(Bernouli试验)，设事件A发生了nA次，称比值一为 事件A发生的频率，当n越来越大时，频率会在某个值附近波动，且波动越来越小，这个 值p就定义为事件A的概率. 注意：为什么不能写为im一+=p?因为一不是n的函数 几个例子：英文字母被使用的频率是相当稳定的：福尔摩斯探案集第四本《跳舞的 小人》，福尔摩斯用频率破了丘比特和埃尔茜之间联络密码：1872年英国人Six,W把π算 4

De Morganéó{K: A ∪ B = A¯ ∩ B, ¯ A ∩ B = A¯ ∪ B, ¯ þ¡úªŒ±í2n‡¯‡: [n i=1 Ai = \n i=1 A¯ i \n i=1 Ai = [n i=1 A¯ i §1.2.3 VǽÂ95Ÿ 1. Vǽ ŸoVÇ? †*/ù, VÇ´‘ů‡u)ŒU5ŒêiL, ي30Ú1ƒ m, †é{`, VÇ´¯‡¼ê. Xۦѯ‡AVÇ(PP(A))? (1) ;V.: kü‡^‡, 1, (k5) Á(Jkk‡(Pn) , 1, (ŒU5) z‡Ä¯‡u)ŒU5ƒÓ. OŽ¯‡AVÇ, A¥¹m‡Ä¯‡, K½Â¯‡AVǏ P(A) = m n PÒ: B儧±#(B)P¯‡B¥Ä¯‡‡ê§Ïd§ P(A) = #(A) #(Ω) (2) VÇÚO½Â ;V.ü‡^‡ ØU÷v, džXÛ½ÂVÇ? ~^«{´r¹ k¯‡A‘ÅÁÕá­E‰ng(BernouliÁ) , ¯‡Au) nAg, ¡'ŠnA n  ¯‡Au)ªÇ, n5Œž, ªÇ¬3,‡ŠpNCÅÄ, …ÅÄ5, ù‡ Špҽ¯‡AVÇ. 5¿: ŸoØUlimn→∞ nA n = p? ϏnA n Ø´n¼ê. A‡~f: =©i1¦^ªÇ´ƒ­½; 4d&Y81o5aÍ <6, 4d^ªÇ» £'AÚD0ƒméäè; 1872c=I<Shix, W rπŽ 4

到707位，1944.5-1945.3数学家法格逊认为π的小数位的数字对0到9应该是等可能的，但核 对Shix的结果发现数字7太少，故对Six的结果有怀疑，重新计算发现前527位是正确的 后面不对了，计算机出现后，法国人让盖尤计算了π的前100万位小数，发现各个数字出 现的频率相同. (3)主观概率 关于概率的统计定义，我们可能会想到，如果试验不能在相同的条件下独立重复很 多次时该怎么办？还有人们常谈论种种事件出现机会的大小，如某人有80%的可能性办 成某事.如某人有80%的可能性办成某事另一人则认为仅有0%的可能性.即我们常常 会拿一个数字去估计这类事件发生的可能性，而心目中并不把它与频率挂钩.这种概率 称为主观概率，这类概率有相当的生活基础。在金融和管理等方面有大量的应用，这 学派称为Bayes学派，近来得到越来越多的认可.但是当前用频率来定义概率的频率派 仍是数理统计的主流。焦点是频率派认为概率是客观存在，不可能因人而异。 (④概率的公理化定义：对概率运算规定一些简单的基本法则， ()设A是随机事件，则0≤P(A)≤1， ()设n为必然事件，则P)=1, ()若事件A和B不相容，则P(AUB)=P(A)+P(B) 为了对可数无穷个事件仍能成立，我们要把上面公式中的两个事件推广到可数无穷个两 两不相容的事件序列 AP(A) 2.古典概率计算的几个例子 计算古典概率，主要用到排列组合的知识 复习选排列，重复排列和组合公式有关知识 例1.2.3.一个班有r个人，不计2月29日出生的（即假定一年为365天），问至少有两人同 一天生日的概率是多少？ 要点：（）本问题中的样本空间是什么？（②）重复排列，（③）先计算余事件 例1.24.金中有32只红球，4只白球，从中任摸2球，求两球中至少有一个白球的概率。 要点：(1)样本空间可以考虑为所有可能的组合，也可以考虑为所有可能的选排列 5

707 , 1944.5-1945.3êÆ[{‚Ö@πê êié09AT´ŒU, Ø éShix(Juyêi7, éShix(Jk~¦, ­#OŽuyc527 ´(, ￾¡Øé . OŽÅÑy￾, {I<4.XcOŽ πc100 ê, uyˆ‡êiÑ yªÇƒÓ. (3) Ì*VÇ 'uVÇÚO½Â, ·‚ŒU¬Ž, XJÁØU3ƒÓ^‡eÕá­Eé õgžTNo? „k<‚~!Ø««¯‡ÑyŬŒ, X,<k80%ŒU5 ¤,¯. X,<k80%ŒU5¤,¯.,<K@=k50%ŒU5. =·‚~~ ¬<‡êiOùa¯‡u)ŒU5, %8¥¿Ør§†ªÇ!. ù«VÇ ¡Ì*VÇ, ùaVÇkƒ)¹Ä:. 37KÚ+n¡kŒþA^, ù Æ￾¡Bayes Æ￾, C55õ@Œ. ´c^ªÇ5½ÂVǪÇ￾ E´ênÚOÌ6. ￾:´ªÇ￾@VÇ´*3§ØŒUÏ< É. (4) VÇúnz½Â: éVÇ$Ž5½ {üÄ{K, (i) A ´‘ů‡, K0 ≤ P(A) ≤ 1, (ii) ُ7,¯‡, KP(Ω) = 1, (iii) e¯‡AÚB؃N, KP(A ∪ B) = P(A) + P(B),  éŒêᇯ‡EU¤á, ·‚‡rþ¡úª¥ü‡¯‡í2Œêá‡ü ü؃N¯‡S P( [∞ i=1 Ai) = X∞ i=1 P(Ai) 2. ;VÇOŽA‡~f OŽ;VÇ, ̇^ü|Ü£. ESÀü, ­EüÚ|Üúªk'£. ~ 1.2.3. ‡kr‡<, ØO229FÑ)(=b½c365U) , ¯kü<Ó U)FVÇ´õ? ‡:: (1) ¯K¥m´Ÿo? (2) ­Eü, (3) kOŽ{¯‡ ~ 1.2.4. Ý¥k32ù¥, 4x¥, l¥?¹2¥, ¦ü¥¥k‡x¥VÇ. ‡:: (1) mŒ±ď¤kŒU|Ü, Œ±ď¤kŒUÀü, 5

有些问题中只能考虑其中之一，具体问题具体分析 (②)本题可以直接计算随机事件的概率，也可以先计算对应的余事件的概率，然后得 到所需事件的概率 51.2.4条件概率 1.条件概率的定义 一般讲，条件概率就是在知道了一定的信息下所得到的随机事件的概率.如两个 工厂A和B生产同一品牌的电视机，商场中该品牌有个统一的次品率，比如0.5%，如果你 从某个途径知道该商场的这批电视机是A厂生产的，则你买到的电视机的次品率不再 是0.5%，而应该比0.5%要小，这个概率就是条件概率，即你在知道了这批电视机是A厂生 产的附加条件下的概率就是条件概率」 保险中应用的存活人数死亡率也是条件概率 定义1.2.5.设事件A和B是随机试验中的两个事件，P(B)>0,称 P(AIB)-P(AD) P(B) 为事件B发生条件下事件A发生的条件概率. 注1.2.1.P(A)和P(AB)是不同的两个概率.如图，设矩形A的面积为1，则PA)表示A的 面积，而P(AB)表示在B中，A所占的比例，即AB这块面积在B中所占的比例 也可以从概率的统计定义，即用频率来近似概率这一角度来理解条件概率.设在次 独立试验中，事件A发生了nA次，事件B发生了nB次，事件AB发生了nAB次，事件B发生 下事件A发生的频率为

k ¯K¥UÄÙ¥ƒ, äN¯KäN©Û, (2) KŒ±†OŽ‘ů‡VÇ, Œ±kOŽéA{¯‡VÇ, ,￾ ¤I¯‡VÇ. §1.2.4 ^‡VÇ 1. ^‡Vǽ „ù, ^‡VÇÒ´3 ½&Ee¤‘ů‡VÇ. Xü‡ ó‚AÚB)Ó¬ý>ÀÅ, û|¥T¬ýk‡Úg¬Ç, 'X0.5%, XJ\ l,‡å»Tû|ù1>ÀÅ´A‚), K\ï>ÀÅg¬ÇØ2 ´0.5%, AT'0.5%‡, ù‡VÇÒ´^‡VÇ, =\3 ù1>ÀÅ´A‚) N\^‡eVÇÒ´^‡VÇ. x¥A^¹ 0 , ¡ P(A|B) = P(AB) P(B) ¯‡Bu)^‡e¯‡Au)^‡VÇ. 5 1.2.1. P(A)ÚP(A|B) ´ØÓü‡VÇ. Xã, Ý/A¡È1, KP(A)L«A ¡È, P(A|B)L«3B¥, A¤Ó'~, =ABù¬¡È3B¥¤Ó'~. Œ±lVÇÚO½Â, =^ªÇ5CqVÇùÝ5n)^‡VÇ. 3ng ÕáÁ¥, ¯‡Au) nAg, ¯‡Bu) nBg, ¯‡ABu) nABg, ¯‡Bu) e¯‡Au)ªÇ nAB nB ≈ P(AB) P(B) 6