中国科学技术大学 2007-2008学年第1学期考试试卷 考试科目：数值计算方法 得分： 学生所在系： 姓名： 学号： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将所在系、姓名、学号等填写清楚。 2。请考生在答卷纸左侧留出装订区域 3.本试卷为闭卷考试。共13道试题，满分100分，考试时间120分钟。 4.计算中保留4位小数。 得分评卷人 一、填空题 1.(6分)设X=(x1,E2,x3)T,则如下的三种公式能否成为向量范数， l+22+4l,+32+x+2r✉，x1l+3r2l 2.(3分)设A为实的对称阵，则 方法可以求出它的所有特征值。 3.(3分)设fx)=2x-6x2+1,则f-1,0,2,4,91= 4.(3分)设A= 12 ，则A1= -33 5.(3分)给出用Newtoni送代求5的格式 6.(6分)设o(a,h(a小，2(e,ls()是以互异的xr0,x1,x2,x3为节点的Lagrange插值基函数， 则∑+1P= 7.(6分)写出以(-a,f(-a,J'(-a,(0,j0,fo,(a,fa,f(a)为插值点构造的插值多项式 的截断误差：
————————————- °—————————- °———— 答 题 时 不 要 超 过 此 线 ———— °—————————- °————————————- 中国科学技术大学 2007– 2008学年第 1 学期考试试卷 考试科目： 数 值 计 算 方 法 得分： 学生所在系： 姓名： 学号： 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将所在系、姓名、学号等填写清楚。 2. 请考生在答卷纸左侧留出装订区域。 3. 本试卷为闭卷考试。共 13 道试题，满分 100 分，考试时间 120 分钟。 4. 计算中保留4位小数。 得分 评卷人 一、填空题 1. (6分) 设X = (x1, x2, x3) T，则如下的三种公式能否成为向量范数， |x1| + 2|x2| + 4|x3| ，|x1| + 3|x2 + x1| + 2|x3| ，|x1| + 3|x2| 。 2. (3分) 设A为实的对称阵，则 方法可以求出它的所有特征值。 3. (3分)设f(x) = 2x 4 − 6x 2 + 1，则f[−1, 0, 2, 4, 9] = 。 4. (3分) 设A = 1 2 −3 3 ， 则kAk1 = 。 5. (3分) 给出用Newton迭代求√4 5的格式 。 6. (6分) 设l0(x)，l1(x)，l2(x)，l3(x)是以互异的x0, x1, x2, x3为节点的Lagrange插值基函数， 则 ∑ 3 j=0 lj (x)(xj + 1)3 = 。 7. (6分) 写出以(−α, f(−α), f0 (−α)),(0, f(0), f0 (0)),(α, f(α), f0 (α)) 为插值点构造的插值多项式 的截断误差： 。 1
得分评卷人 二、解答题 8.(10分)设有数 西-112，求其形如知a+b忙2的拟合多现式. f)032 9.(10分)考虑常微分方程初值问题 =P如y,0≤工≤1用4阶经的Rung-Kutta公式 0)=1 求0.1)的近似，取步长h=0.1 咖+1=h+6(K+2K2+2K+K) K1=f(in,Un) K2=f(n+h,Un+hK1) K3=f(n+h,Un +thK) K4=f(n +h,yn +hK3)
得分 评卷人 二、解答题 8. (10分) 设有数据 xi −1 1 2 f(xi) 0 3 2 ，求其形如a + bx2的拟合多项式。 9. (10分) 考虑常微分方程初值问题 y 0 = x 2 sin y , 0 6 x 6 1 y(0) = 1 用4阶经典的Runge-Kutta公式 求y(0.1)的近似，取步长h = 0.1 yn+1 = yn + h 6 (K1 + 2K2 + 2K3 + K4) K1 = f(xn, yn) K2 = f(xn + 1 2 h, yn + 1 2 hK1) K3 = f(xn + 1 2 h, yn + 1 2 hK2) K4 = f(xn + h, yn + hK3) 2
10.(15分)用LDLT分解求解下列方程组 -6x1+3x2+2x3=-5 31+52+x4=20 21+2+6 =1
10. (15分)用LDLT分解求解下列方程组 −6x1 + 3x2 + 2x3 = −5 3x1 + 5x2 + x3 = 20 2x1 + x2 + 6x3 = 1 3
11.(15分)用Gas-Seidel方法求解下列方程组 4红1+22-x8=5 1+5m2+3r8=-4 21+2+64=2 1)写出迭代格式，2)求迭代矩阵：3)讨论迭代矩阵是否收敛？
11. (15分) 用Gauss-Seidel方法求解下列方程组 4x1 + 2x2 − x3 = 5 x1 + 5x2 + 3x3 = −4 2x1 + x2 + 6x3 = 2 1) 写出迭代格式，2) 求迭代矩阵；3) 讨论迭代矩阵是否收敛？ 4
12.(15分) 1)(10分)确定参数A,B,C和a,使得数值积分公式 e()cR-) 具有尽可能高的代数精度，并求这个代数精度。 2)6分)若工)足够光滑，求这个数值积分公式的误差
12. (15分) 1) (10分) 确定参数A，B，C和α，使得数值积分公式 ∫ 2 −2 f(x)dx ≈ Af(α) + Bf(0) + Cf(−α) 具有尽可能高的代数精度，并求这个代数精度。 2) (5分) 若f(x)足够光滑，求这个数值积分公式的误差 5
13.(5分)在做Newton插值时，已知节点组{ao,1,·,n}和各阶差商 {f(o,fo小f0,1,.,f0,1,2,.,zn:现增加了节点（红+f红n+1》,试给 出求差商f儿z0,x1,·,工，xn+]的算法
13. (5分) 在做Newton插值时，已知节点组{x0, x1, · · · , xn}和各阶差商 {f(x0), f[x0, x1], f[x0, x1, x2], · · · , f[x0, x1, x2, · · · , xn]}；现增加了节点(xn+1, f(xn+1))，试给 出求差商f[x0, x1, · · · , xn, xn+1]的算法。 6
答案 1.是(2分)，是(2分)，否(2分) 2.jacobi(3分) 3.23分) 4.5(3分) 区+痘 6.(e+1)3(3分) 7.-ay-a.() 8. （目-( e00() 目-(0 9. K1=0(2分) K2=0.04207(2分) K3=0.042132分】 K:=0.084372分) (0.1)=1.00421(2分) 1 -6 0.L= -1/21 D 13/2 -1/34/131 236/39 -0.51 (6分) -0.33330.30771 6.0513
答案 1. 是(2分)，是(2分)，否(2分) 2. jacobi (3分) 3. 2(3分) 4. 5 (3分) 5. 3 4 xk + 5 4x 3 k 6. (x + 1)3 (3分) 7. f (6)(ξ) 6! (x − α) 2 (x) 2 (x − α) 2 , ξ ∈ [a, c] (4分) 8. 3 ∑x 2 i ∑x 2 i ∑x 4 i a b = ∑yi ∑x 2 i yi 3 6 6 18 a b = 5 11 (6) a b = 9 10 (4) 9. K1 = 0(2分) K2 = 0.04207(2分) K3 = 0.04213(2分) K4 = 0.08437(2分) y(0.1) = 1.00421(2分) 10. L = 1 −1/2 1 −1/3 4/13 1 D = −6 13/2 236/39 或 L = 1 −0.5 1 −0.3333 0.3077 1 D = −6 6.5 6.0513 (6分) 7
Ly=b D:=y=>- 35/2 2= -236/39 -5 0.8333 2.0 17.5 2.6923 3.0 (9分)】 -6.0513 -1.0 -1.0 11.1)(5分)2) 0-1/21/4 01/10-13/206分) 03/201/40 3)收敛，对角占优(3分) 12.1) A+B+C=22d=4 A(-a)+C(a)=2,xdz=0 4-or+caP=层rt=9 A(-a)3+C(a3=∫2r2dc=0 A-a+Ca A 10 B= 9600 2) f产f99e+arzr-a 26 ( =1756: 13. f,5n4l=fo）-f To-In+l 8
Ly = b Dz = y L T x = z => y = −5 35/2 −236/39 z = 5/6 35/13 −1 x = 2 3 −1 或 y = −5 17.5 −6.0513 z = 0.8333 2.6923 −1.0 x = 2.0 3.0 −1.0 (9分) 11. 1) (5分) 2) 0 −1/2 1/4 0 1/10 −13/20 0 3/20 1/40 (5分) 3) 收敛，对角占优(3分) 12. 1) A + B + C = ∫ 2 −2 x 0dx = 4 A(−α) + C(α) = ∫ 2 −2 x 1dx = 0 A(−α) 2 + C(α) 2 = ∫ 2 −2 x 2dx = 16 3 A(−α) 3 + C(α) 3 = ∫ 2 −2 x 3dx = 0 A(−α) 4 + C(α) 4 = ∫ 2 −2 x 4dx = 64 5 A = 10 9 B = 16 9 C = 10 9 α = √ 12 5 2) ∫ 2 −2 f (6)(ξ) 6! (x + α) 2x 2 (x − α) 2 = 1024 175 f (6)(ξ) 6! = 64 7875 f (6)(ξ) 13. f[x0, xn+1] = f(x0) − f(xn+1) x0 − xn+1 8
fo,n+l=到-f马过 1-n+1 fo,5l=m,-fm,n 2-n+1 fo.,nl=o.-fo-2al 9
f[x0, x1, xn+1] = f[x0, x1] − f[x0, xn+1] x1 − xn+1 f[x0, x1, x2, xn+1] = f[x0, x1, x2] − f[x0, x1, xn+1] x2 − xn+1 · · · f[x0, x1, · · · , xn+1] = f[x0, · · · , xn] − f[x0, · · · , xn−1, xn+1] xn − xn+1 9