② iCourse·教材 线性代数与 解析几何 (第二版) 陈发来陈效群 李思敏王新茂 高等教育出服社
第二版前言 作者根据近几年的教学实践，以及广大教师与学生使用本书的反馈意见，本 着坚持主体内容与特色，适当调整章节内容的原则，对本书第一版内容作了以下 修订： 1,对某些章节的结构作了调整。例如，将n维数组向量的概念从第五章调 整到第一章，以便第三章与第四章能方便使用高维数组向量的概念：将第四章原 4.2.6节的初等变换作为单独一节放在行列式之后介绍，以便同第四章最后一节 矩阵的秩与相抵相呼应；将原5.4节子空间的概念提前到5.1节介绍，以便后续 章节的概念如线性相关（无关）、极大无关组等可以用子空间表达。 2.删除了一些相对晦涩、深奥的内容，如线性空间的同构，线性变换的运算 欧氏空间的同构，等等。 3.删除了第四章、第六章等章节中某些繁琐的例子。 4.删除了附录的应用案例，应用案例扩充后单独成册。 5.修改了原书中某些小的错误与笔误。 相信本次修订仍会留有不满意甚至错漏之处，希望能够根据以后的使用意 见，得以逐步完善。 作者 2015年3月
第一版前言 线性代数与解析几何是大学数学中最基本、最重要的课程之一，其内容是讲 授矩阵运算的原理、线性空间与线性变换的理论以及空间解析几何的基本知识。 该课程不仅是学习其他课程及学科知识的基础，而且其理论和方法在自然科学 与工程技术领域等也有着广泛的应用。此外，该课程对于培养学生的抽象思维能 力与空间想象能力也具有重要的作用。 本书是为了适应高校非数学类专业数学课程教学改革的需要，在作者讲授 此课所使用讲义的基础上编写而成的。长期以来，在我国理工科大学数学教学 中，线性代数都是作为一门独立的课程开设，而解析几何则作为微积分的一部分 置于微积分课程体系中。20世纪80年代末，陈省身先生倡导将线性代数与解析 几何课程整合，并在南开大学试点。尽管出现了担心几何被代数吃掉的状况，但 这一新的体系逐步获得了国内同行的认可。从2004年开始，我们借鉴上述做法 在中国科学技术大学针对非数学类专业开设了“线性代数与解析几何”课程。经 过七年多的教学实践，我们逐步对这门课程的指导思想、课程体系以及教学方法 等有了较为清晰的理解。 我们认为，线性代数与解析几何课程首先要解决的问题是将线性代数与解 析几何的内容有机整合，而不是简单地拼凑。在讲授线性代数内容的同时，要以 解析几何为背景及应用的对象。而讲授解析几何时，则要以线性代数为工具，使 两者相辅相成。线性代数与解析几何课程要解决的另一个问题，是线性代数的部 分内容过于抽象。线性代数被普遍认为是一门比较难学、难教的课程。主要困难 在于，同微积分相比，线性代数的公理化体系与概念太抽象。但是，学生必须通过 这一难关，必须经过从“具体的数学”到“抽象的数学”的过渡。如何让学生学 起来容易而又不降低教学质量甚至提高教学质量，也是教好这一课程所努力的 目标。 本书在写作上具有以下特点。第一，一些抽象的概念与内容都以较为具体的 对象引入。例如，通过线性映射引入矩阵乘法的定义，通过初等变换化简矩阵所 得非零行数引入矩阵的秩的概念，通过图形变换引入线性变换的概念，由数组空 间引入一般线性空间的概念与内容，等等。第二，从问题出发，引入要研究的内 容。例如，从解线性方程组出发，为解决解的存在性、唯一性、公式解、解的几何 结构等问题，引入行列式、矩阵运算、线性空间等概念与内容。第三，本书强调
ⅱ第一版前言 代数与几何的融合，代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景。例如】 介绍行列式的概念时强调它的几何意义，介绍线性相关、线性无关以及向量组的 秩的概念时用生成子空间的维数解释，并给出正交矩阵与旋转变换的关系、特征 值与特征向量的几何含义，以及用二次型研究二次曲线与曲面的分类，等等。第 四，注重知识的应用，培养学生利用所学知识解决实际问题的能力，为此在本书 附录增加了线性代数的若干应用教学案例。 全书共分八章及一个附录。内容包括向量与复数、空间解析几何、线性方程 组、矩阵与行列式、线性空间、线性变换、欧几里得空间、实二次型、线性代数 应用教学案例等。其中加“*”号的章节为选学内容，教师与学生可根据自己的安 排与兴趣选讲（学）。 本书曾作为讲义在中国科学技术大学少年班、物理、力学、化学、生物、信 息、计算机等专业试讲多年，在此期间中国科学技术大学数学系多位任课教师提 出了宝贵的修改意见；作者与北京航空航天大学李尚志教授经常性的讨论也为 本书的写作提供了指导性意见；特别感谢南开大学孟道骥教授对本书提出的有 益建议，在此一并致谢。 由于时间仓促、写作水平有限，书中错误在所难免，热诚欢迎广大读者批评 指正 作者 2011年4月于中国科学技术大学
目 录 第一章向量与复数 S1.1向量的线性运算. 1 写111向量及其表示.， 1 5112向量的线性运算. 2 写1.13向量的共线与共面. 51.2坐标系 6 S1.2.1仿射坐标系. 6 S1.2.2向量的坐标运算 9 写12.3直角坐标系. 513向量的数量积 11 51.3.1数量积的定义与性质 11 S1.3.2直角坐标系下数量积的计算. 13 写1向量的向量积. 14 S1.4.1向量积的定义与性质. 14 S1.4.2直角坐标系下向量积的计算 16 51.5向量的混合积 18 S1.5.1混合积的定义. 18 51.5.2直角坐标系下混合积的计算 51.5.3二重向量积. 写1.6高维数组向量. 21 S1.7复数. S171复数的四则运算. 22 S172复数的几何表示. 23 *51.8数域 26 *19求和符号. 2 习题 第二章空间解析几何 31 2.1直线与平面 31 写211直线的方程. 31 2.1.2平面的方程
ⅱ目录 52.1.3点到直线的距离 35 S2.1.4点到平面的距离 35 62.1.5两直线的位置关系. 36 62.16两平而的位置关系。，。，·。·，····。，。，·。 37 S2.1.7直线与平面的位置关系. 38 22空间曲线与曲面. 39 5221曲线与曲面的方程. 39 522.2柱面. 41 写223锥面. 42 5224旋转面. 22.5二次曲面简介. *23坐标变换 49 52.3.1坐标系的平移. 50 232坐标系的旋转. 51 2.3.3一般坐标变换 52 习题二. 53 第三章线性方程组 3,1Gss消元法. 53.2Gss消元法的矩阵表示.一 S3.3一般线性方程组的Gauss消元法 3.3.1算法描述. 63 $3.3.2线性方程组解的属性 64 习题三. 公 第四章矩阵与行列式. 64.1矩阵的定义· 542矩昨的运算. 542.1加法与数乘. 6423前明矩陈。，。+，。·。4。·。···。· 79 54.2.4转置、共轭与迹. 0 54.2.5分块运算. 543行列试. 多 431行列式的定义. 54.3.2行列式的展开式.91 543.3行列式的计算.97 写4.3.4 Cramer法则100
目录册 54.4初等变换 .102 64.5秩与相抵· ,4。月4。，。107 写4.5.1秩与相抵的定义.108 54.5.2秩的计算. .111 64.5.3相抵标准形的应用.112 习题四 .113 第五章线性空间 .117 5.1数组空间及其子空向 .117 552线性相关与线性无关.119 53极大无关组与秩 124 55.4基与维数. ·131 55.5线性方程组解集的结构 .136 55.5.1线性方程组解的存在性与唯一性，·136 S5.5.2齐次线性方程组解集的结构 13> 6553非齐次线性方程组解集的结构.，.。.，.，.，.。.，。，.，。10 55.6一般线性空间.140 55.6.1 一般线性空间的定义 .140 55.6.2一般线性空间的理论 .145 *55.7子空间的运算： 149 *65.7.1子空间的交· .150 *S5.72子空间的和.150 *S5.7.3子空间的直和 习题五. .154 第六章线性变换 .159 56.1线性变换的定义与性质.159 6.11线性变换的定义. 159 S6.1.2线性变换的性质。 56.2线性变换的矩阵 .163 56.2.1线性变换在一组基下的矩阵 .163 S6.2.2线性变换在不同基下的矩阵 166 S6.2.3矩阵的相似. .168 S63特征值与特征向量. 169 S6.3.1特征值与特征向量的定义 169 S63.2特征值与特征向量的计算.171 S6.4矩阵的相似对角化. 176 S6.4.1矩阵相似于对角矩阵的充要条件. 176 *$6.4.2特征值的代数重数与几何重数. 178 5643相似于上三角形矩阵，. ,181
iw目录 *S6.5若尔当标准形简介 .182 习题六.，.189 第七章欧几里得空间.194 写71定义与基本性质.194 7.11欧几里得空间的定义194 S712欧儿里得空间的性质. .·.195 §7.2内积的表示与标准正交基 .198 S7.3欧几里得空间中的线性变换.。202 57.3.1正交变换与正交矩阵 4.202 S7.3.2对称变换与对称矩阵.205 733实对称矩阵的对角化. 207 *57.4欧几里得空间的子空间. 208 *575酉空间.210 s7.5.1酉空间的基本概念。 210 S7.5.2酉空间的基本性质. 211 7.53酉变换与西矩阵 212 S7.5.4 Hermite变换与Hermite矩阵. 214 7.5.5 规范变换与规范矩阵. 215 S7.5.6酉变换和Hermite变换的对角化. 21g 习题七. 220 第八章实二次型.224 58.1二次型的矩阵表示 ,224 58.2 次型的标准形. 226 583相合不变量与分类.234 8.4 二次曲线与曲面的分类 236 68.5正定型.·····， ··240 习题八.24 参考文献 .248
第一章 向量与复数 解析几何中最基本的方法是坐标法，通过在平面或空间中引入坐 标系，将平面或空间中的点用它的坐标来表示，几何图形就可以通过点 的坐标所满足的方程来表示，也就将几何问题转化为代数问题.通过代 数运算来解决几何问题是解析几何的基本思想 解析几何中另一种重要方法是向量法，它也是将代数运算引入几 何学的方法.向量法不需要引入坐标系，具有很强的几何直观，同时也 可以进行代数运算，利用向量法可以很简洁地解决许多问题，在力学 物理学和工程技术等领域有着广泛的应用.此外，向量也是我们学习抽 象线性空间理论的基础. 中学教材中介绍了平面向量和空间向量的加法、数乘、数量积等 运算，以及向量法在求解平面几何和空间几何问题中的应用.为保证本 教材的自完备性，我们还是从向量的定义出发，完整地介绍向量的各种 运算规则，并着重强调它与后续章节的关系 本章中我们讨论的向量均为三雏空间中的向量 §1.1向量的线性运算 §1.1.1向量及其表示 向量的概念来源于物理学.很多物理量不仅有大小，而且有方向，例如速度 位移、力等等.抛开它们的物理意义，只保留大小与方向两个要素，就抽象为数 学中的向量概念：既有大小，又有方向的量称为向量， 一般用有向线段表示一个向量，线段的长度表示它的大小，线段的方向表示 它的方向.以空间中A为起点，B为终点的有向线段所表示的向量记为AB,有 时常用黑斜体小写字母a,b,c等表示向量.如果两个向量大小相等、方向相同， 就称这两个向量是相等的 如果两个向量的大小相等而方向相反，则称这两个向量互为反向量.向量α 的反向量记为一a,有时也称为a的负向量
2第一章向量与复数 向量的长度也称为向量的模，向量a的模用a表示.模为1的向量称为单 位向量，模为零的向量称为零向量，记作0.零向量的起点和终点是重合的，因此 它没有确定的方向. 如果向量a与向量b的方向相同或相反，就称它们平行，记作a伍.如果向 量a与向量b的方向互相垂直，就称它们垂直或正交，记作a⊥b.规定零向量 与任何向量都平行且正交， 向量OA与OB所夹的角∠AOB称为它们之间的夹角.向量夹角介于0与 元之间.向量OA与0B平行当且仅当它们之间的夹角为0或元，而向量0A与 品垂直当且仅当它们之同的夹角为。 S1.1.2向量的线性运算 将物理学中速度、力的合成法加以抽象，就得到向量加法的定义.给定具有 相同起点O的两个向量a=OA,b=OB,则以OA,OB为邻边的平行四边形 的对角线向量c=O乙（图1.1）就称为这两个向量的和，记作 0d=OA+OB或者c=a+b. 这种求和的方法称为平行四边形法则。 图1.1向量的加法 从图1.1可知OB=AC,所以O乙=OA+AC,这称为两个向量的和的三 角形法则.由定义不难看出向量的加法满足以下的性质： a+b=b+a; (1.1) a+(b+c)=(a+b)+c 1.2) a+0=a (1.3) a+(-a)=0. (1.40 向量的减法为向量加法的逆运算.对于向量a,b,定义向量减法a一b= a+(-b) 定义向量a与实数入的乘积为一个向量，记为入a,它的模为al,它的方 向规定为：当入>0时，与a同向：当入<0时，与a反向.这种运算称为向量的