中国科学技术大学数学科学学院 2018~2019学年第1学期期中考试试卷 课程名称单变量微积分 课程编号 001512 考试时间 2018年11月17日 考试形式 闭卷 姓名 学号 学院 题号 二 四 五 六 七 总分 得分 一、求下列各极限（每小题6分，共30分） (）(+n-n. ②)ntam3r2 第1页，共13页
•IâÆE‚åÆÍÆâÆÆ 2018 * 2019 Æc1 1 Æœœ•££Ú ë߶° ¸C˛á»© ëß?“ 001512 £ûm 2018c1117F £/™ 4Ú 6 ¶ Æ “ Æ K“ ò n o 8 ‘ o© © . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ò!¶eà4Å (zK 6 ©, 30 ©) (1) limn→∞ ( √3 n3 + n2 − n). (2) limn→∞ (n tan 1 n ) n 2 . 1 1 ê , 13 ê
国，职9+2，其中a6为正实数 第2页，共13页
(3) limx→0 e x sin x − cos x x 2 . (4) lim x→+∞ ( √x a 3 + 2 √x b 3 ) x , Ÿ• a, b è¢Í. 1 2 ê , 13 ê
问，一 22020 二、（体题10分）求f)=2a在x=0处的第2018阶导数值f01(0). 第3页，共13页
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5) limx→0 sin2018 x − x 2018 x 2020 . !( K 10 ©) ¶f(x) = 1 2x2−1 3 x = 0 ?1 2018 Íä f (2018)(0). 1 3 ê , 13 ê
三、（本题10分）设函数y=(x)由方程组 fr =t-sint y=1-cost 肥求乱和凯： 第4页，共13页
n!( K 10 ©) ºÍy = y(x) dêß| x = t − sin t y = 1 − cost §(½. ¶ dy dx t= π 2 ⁄ d 2 y dx 2 t= π 2 . 1 4 ê , 13 ê
四、（本题10分） 设e3b-a. 第5页，共13页
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o ! ( K 10 © ) e 3e ( b − a). 1 5 ê , 13 ê
五、（本题10分）设n为正整数，f(x)为R上n阶可导函数，满足：红∈R, fm(x川≤1. 06分)证明，职码-0 (②)(5分)证明：存在实数L,使得f(x)+xn+1在区间（亿，+o∞）上为递增函数 第6页，共13页
!( K 10 ©) n èÍ, f(x) è R ˛ n åºÍ, ˜v: ∀x ∈ R, |f (n) (x)| ≤ 1. (1) (5©) y²: lim x→+∞ f(x) x n+1 = 0. (2) (5©) y²: 3¢Í L, ¶ f(x) + x n+1 3´m(L, +∞) ˛è4OºÍ. 1 6 ê , 13 ê
六、（本题10分）设f(x)为R上的二阶可导函数，满足：f0)=1,f(0)=0, f(0)>0,f(1)=0.试证明：存在x0∈(0,1)，使得f(xo)=0. 第7页，共13页
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8!( K 10 ©) f(x) è R ˛ åºÍ, ˜v: f(0) = 1, f 0 (0) = 0, f 00(0) > 0, f(1) = 0. £y²: 3x0 ∈ (0, 1), ¶ f 0 (x0) = 0. 1 7 ê , 13 ê
七、（本题20分）设f(x)为如下定义的R上的函数： f(x)= 1,x=0. (①)(10分)求∫(x),并证明f(x)为R上的连续函数 (②)(5分)证明存在0∈R,满足：f(xo训<1，并且r∈R,f(川≤f(aro训 (3)(5分)设a∈R,令1=a,工n+1=f(xn,n=1,2,.证明：1imxn存在 第8页，共13页
‘!( K 20 ©) f(x) èXe½¬ R ˛ºÍµ f(x) = sin x x , x 6= 0; 1, x = 0. (1) (10©) ¶ f 0 (x), øy² f 0 (x) è R ˛ÎYºÍ. (2) (5©)y²3 x0 ∈ R, ˜v: |f 0 (x0)| < 1, øÖ ∀x ∈ R, |f 0 (x)| ≤ |f 0 (x0)|. (3) (5©) a ∈ R, - x1 = a, xn+1 = f(xn), n = 1, 2, · · · . y²: limn→∞ xn 3. 1 8 ê , 13 ê
参考答案 一.(a)由于1+月=1+3额+分，从而 n+r-n=n1+-)=n元+a分)=3+o4→3 (2) (ntan( -r =(1-动+o(3)(1+a+o(3)) =(1++o()m2→e (3) gm-osr-1+xr+y2+o(r2sin2-号+o(r》 T2 -1+e+a》+-a-号+o】→ 2 (④ a2=e2ma=1+2+o() =enb=1+业+o) 1n(e+)=1n1++20-) =ln(1+2++o() =+2+o() 从而 h+2装)=g+2+0→g+2 故 9+2=4单→添 (5) sin2018x=(e-￡+o(x3)2018 =x2018(1-号+o(x2)2018 =x2018(1-2018(号+o(x2)+o(x2) =x2018-102r2020+oe2020) 第9页，共13页
ÎâY ò. (1) du (1 + 1 n ) 1 3 = 1 + 1 3n + o( 1 n ), l √3 n3 + n2 − n = n((1 + 1 n ) 1 3 − 1) = n( 1 3n + o( 1 n )) = 1 3 + o(1) → 1 3 (2) (n tan 1 n ) n 2 = (n sin 1 n cos 1 n ) n 2 = (n( 1 n − 1 6n3 + o( 1 n3 )) 1 − 1 2n2 + o( 1 n2 ) ) n 2 = (1 − 1 6n2 + o( 1 n2 ) 1 − 1 2n2 + o( 1 n2 ) ) n 2 = ((1 − 1 6n2 + o( 1 n2 ))(1 + 1 2n2 + o( 1 n2 )))n 2 = (1 + 1 3n2 + o( 1 n2 ))n 2 → e 1 3 (3) e x sin x − cos x x 2 = 1 + x sin x + x 2 sin2 x 2 + o(x 2 sin2 x) − (1 − x 2 2 + o(x 2 )) x 2 = 1 + x(x + o(x)) + o(x 2 ) − (1 − x 2 2 + o(x 2 )) x 2 → 3 2 (4) a 1 x = e 1 x ln a = 1 + ln a x + o( 1 x ) b 1 x = e 1 x ln b = 1 + ln b x + o( 1 x ) ln( a 1 x 3 + 2b 1 x 3 ) = ln(1 + a 1 x −1 3 + 2(b 1 x −1) 3 ) = ln(1 + ln a 3x + 2 ln b 3x + o( 1 x )) = ln a 3x + 2 ln b 3x + o( 1 x ) l x ln(a 1 x 3 + 2b 1 x 3 ) = ln a 3 + 2 ln b 3 + o(1) → ln a 3 + 2 ln b 3 ( √x a 3 + 2 √x b 3 ) x = e x ln( a 1 x 3 + 2b 1 x 3 ) → √3 ab2 (5) sin2018 x = (x − x 3 6 + o(x 3 ))2018 = x 2018(1 − x 2 6 + o(x 2 ))2018 = x 2018(1 − 2018( x 2 6 + o(x 2 )) + o(x 2 )) = x 2018 − 1009 3 x 2020 + o(x 2020) 1 9 ê , 13 ê
从而 x2020 二.证法一：由于f(x)2x2-1)=1,两边求n阶导数，再利用莱布尼茨公式，得到 fm(x)(2x2-1)+4nxfm-(z)+2m(n-1)fm-2(x)=0 .(6分) 从而 Fm(0)=2n(n-1)fa-2(0) .(8分) 故 f2018)(0)=2009×20181×f0)=-2109×20181 .(10分) 证法二：9)=1 1 一在y=0处的泰勒展开为 9)=1+y+y2+.++o(),y→0. .(4分) 因此当x→0时， fa)=（-101-2n=（-11+2r2)+2xP+.+2r)+or20n8》 .(8分) 由带皮亚诺余项的奉勒展开的唯一性，知-2“=0，从而 2018! f2018)(0)=-21019×2018! .(10分) dz =1-cost ，=sint dt 第10页，共13页
l sin2018 x − x 2018 x 2020 → − 1009 3 . y{ò: du f(x)(2x 2 − 1) = 1, ¸>¶ n Í, 2|^4ŸZ]˙™, f (n) (x)(2x 2 − 1) + 4nxf(n−1)(x) + 2n(n − 1)f (n−2)(x) = 0 · · · · · · (6©) l f (n) (0) = 2n(n − 1)f (n−2)(0) · · · · · · (8©) f (2018)(0) = 21009 × 2018! × f(0) = −2 1009 × 2018! · · · · · · (10©) y{: g(y) = 1 1 − y 3 y = 0 ?V–mè g(y) = 1 + y + y 2 + · · · + y n + o(y n ), y → 0. · · · · · · (4©) œd x → 0 û, f(x) = (−1) 1 1 − 2x 2 = (−1)(1 + (2x 2 ) + (2x 2 ) 2 + · · · + (2x 2 ) 1009 + o(x 2018)) · · · · · · (8©) dëôÊÏ{ëV–mçò5, −2 1009 = f (2018)(0) 2018! ,l f (2018)(0) = −2 1019 × 2018! · · · · · · (10©) n. dx dt = 1 − cost dy dt = sin t 1 10 ê , 13 ê