§12.1环的定义与性质 环的定义 ■环的性质 ■子环及子环的判定 ■环同态
§ 12.1 环的定义与性质 环的定义 环的性质 子环及子环的判定 环同态
环的定义 定义12.1 设是有两个二元运算的代数系统， 满足： (1)是阿贝尔群。 (2)是半群。 (3)运算·对运算+是可分配的，即Va,b,ceA a(b+c)=(ab)+(ac) (左分配律) (bc)a=(ba)(ca) (右分配律) 则称代数系统为环。 为了区别环中的两个运算，通常称十运算为环中的 加法，·运算为环中的乘法
环的定义 定义12.1 设A,＋,·是有两个二元运算的代数系统， 满足： ⑴A,＋是阿贝尔群。 ⑵A,·是半群。 ⑶运算·对运算＋是可分配的，即a,b,cA a·(b＋c)=(a·b)＋(a·c) (左分配律) (b＋c)·a=(b·a)＋(c·a) (右分配律) 则称代数系统A,＋,·为环。 为了区别环中的两个运算，通常称＋运算为环中的 加法，·运算为环中的乘法
实例 (1)设R是实数集合，+是实数集合上的普通加法，· 是实数集合上的普通乘法。是阿贝尔群，是 半群，·对十是可分配的。于是是环，叫做实数环 R。 (2)对于复数C、有理数集合Q和整数集合Z,代数 系统和也是环。它们分别为复数环、有理 数环和整数环
实例 （1）设R是实数集合，＋是实数集合上的普通加法，· 是实数集合上的普通乘法。R,＋是阿贝尔群，R,·是 半群，·对＋是可分配的。于是R,＋,·是环，叫做实数环 R 。 （2）对于复数C、有理数集合Q和整数集合Z，代数 系统Q,＋,·和Z,＋,·也是环。它们分别为复数环、有理 数环和整数环
问题 判断下面的代数系统是否构成环 (1)设Mn(☑是元素为整数的所有n阶 方阵组成的集合，十是n阶方阵的加法，·是n阶方阵的乘 法。 (2)设A非空集合，P(A)是集合A的幂 集合，田和∩是集合的对称差和交运算。 (3)设Z0,1,.,k-1,十是Z上的模k 加法，×是Z上的模k乘法
问题 判断下面的代数系统是否构成环 （1） Mn (Z),＋, · 设Mn (Z)是元素为整数的所有n阶 方阵组成的集合，＋是n阶方阵的加法，·是n阶方阵的乘 法。 （2） P (A), ⊕,∩ 设A非空集合，P (A)是集合A的幂 集合， ⊕ 和∩是集合的对称差和交运算。 （3） Zk ,＋k ,×k 设Zk =0,1,. ,k-1，＋k是Zk上的模k 加法，×k是Zk上的模k乘法
(1)设M,()是元素为整数的所有n阶方阵组成的集合，+是n阶方阵 的加法，·是n阶方阵的乘法。方阵的加法十在M()是上封闭的、可结合 的、n阶零方阵是方阵加法的么元、每个阶方阵都有加法逆元，方阵的 加法是可交换的，所以是阿贝尔群；方阵的乘法·在M,()上是 封闭的和可结合的，所以是半群，方阵的乘法·对方阵的加法十 是可分配的。于是是环。 (2)设A非空集合，P(A)是集合A的幂集合，®和∩是集合的对称 差和交运算，已经证明是阿贝尔群，是半群，∩对© 是可分配的。所以是环。 (3)设Z0,1,.,k-1,十是Z上的模k加法，×是Z上的模k乘法， 前面已经证明是阿贝尔群，是半群，可以证明×对+是 可分配的。所以是环，叫做模整数环
（1）设Mn (I)是元素为整数的所有n阶方阵组成的集合，＋是n阶方阵 的加法，·是n阶方阵的乘法。方阵的加法＋在Mn (I)是上封闭的、可结合 的、n阶零方阵是方阵加法的幺元、每个n阶方阵都有加法逆元，方阵的 加法是可交换的，所以Mn (I),＋是阿贝尔群；方阵的乘法·在Mn (I)上是 封闭的和可结合的，所以Mn (I),·是半群，方阵的乘法·对方阵的加法＋ 是可分配的。于是Mn (I),＋, ·是环。 （2） 设A非空集合，P (A)是集合A的幂集合，⊕和∩是集合的对称 差和交运算，已经证明P (A),⊕是阿贝尔群，P (A),∩是半群，∩对⊕ 是可分配的。所以P (A), ⊕,∩是环。 （3）设Zk =0,1,.,k-1，＋k是Zk上的模k加法，×k是Zk上的模k乘法， 前面已经证明Zk ,＋k 是阿贝尔群, Zk ,×k 是半群，可以证明×k对＋k是 可分配的。所以Zk ,＋k ,×k 是环，叫做模k整数环
为了叙述方便，今后将环中加法的单位元记作0， 乘法的单位元记作1（对于某些环中的乘法不存在单位元）。 对环中的任何元素x,称x的加法逆元为负元，记作-x。 若x存在乘法逆元，则将它称为x的逆元，记为x。 用x-y表示x+(-y)。 n个x 用x表示x+x++,即的加法幂。 nx 用x"表示 XX.x, 即的乘法幂
为了叙述方便，今后将环中加法的单位元记作0， 乘法的单位元记作1(对于某些环中的乘法不存在单位元)。 对环中的任何元素x，称x的加法逆元为负元，记作–x。 若x存在乘法逆元，则将它称为x的逆元，记为x –1 。 用x–y表示x(–y)。 用nx表示 ，即的加法幂。 用x n表示 ，即的乘法幂。 x + + + n个 x x x x ·· · n个 x x x
环的性质 定理12.1 设是环，则对任意的a,b,ceA, 下列结论成立： (1)0=0'=0 (2)m'(-b)=(-)b=-(b) (3)'(b-c)=(b)-(c) (b-c少=(ba)-(ca) (4)a,42,.an,b,b2.bnm∈R,(n,m≥2) 立26，-22a4
定理12.1 设A,＋,·是环，则对任意的a,b,cA， 下列结论成立： ⑴ a·0=0·a=0 ⑵ a·(–b)=(–a)·b =–(a·b) ⑶ a·(b–c)=(a·b)–(a·c) (b–c)·a=(b·a)– (c·a) ⑷ 环的性质 n i m j n i m j i j i j n m a b a b a a a b b b R n m 1 1 1 1 1 2 1 2 , , , , , ( , 2)
证明：(1)0+0=0='(0+0)=(a0)+(0) 由消去律得 a0=0 同理可证 00=0 (2)b+'(-b)='(b+(-b)=0=0,所以-(rb)=r(-b) 同理可证 -(ab)=(-0)b (3)a'(b-c)='(b+(-c)=(ab)+(c(-c)=(b)+(-(c) =(b)-(ac) (b-c)=(b+(-c)=(ba+(-c))=(ba)+(-(c) =(b'0)-(c)
证明：⑴ a·0+0=a·0=a·(0+0)=(a·0)+(a·0) 由消去律得 a·0=0 同理可证 0·a=0 ⑵ a·b+a·(–b)=a·(b+(–b))=a·0=0，所以 –(a·b)=a·(–b) 同理可证 –(a·b)=(–a)·b ⑶ a·(b–c)=a·(b+(–c))=(a·b)+(a·(–c))=(a·b)+(–(a·c)) =(a·b)–(a·c) (b–c)·a=(b+(–c))·a=(b·a)+((–c)·a)=(b·a)+(–(c·a)) =(b·a)–(c·a)
子环 定义12.2 设是环，S是A的非空子集。如 果也构成环，则称是环的子环。 如果是的子环，并且ScA,则称是的真子环。 显然，有理数环和整数环是实数环 的子环，且是真子环。 根据子群和子半群的判定定理可得到子环的判定定 理
定义12.2 设A,＋,·是环，S是A的非空子集。如 果S,＋, ·也构成环，则称S,＋, ·是环A,＋,·的子环。 如果S,＋,·是A,＋,·的子环，并且SA，则称S, ＋,·是A,＋,·的真子环。 显然，有理数环Q,＋,·和整数环I,＋,·是实数环 R,＋,·的子环，且是真子环。 根据子群和子半群的判定定理可得到子环的判定定 理。 子环
子环判定理 定理12.2设是环，S是A的非空子集。如果 1)Va,b∈S,-b∈S (2)Va,b∈S,a'b∈S 则是的子环。 证明：Va,b∈S,a-b∈S,由子群判定定理知是 的子群，因而是群。因为是Abl群， 故也是Abel群。 Va,b∈S,ab∈S根据半群判定定理知是半群。 乘法·对加法十的分配律在S中也成立。 所以，是环，因而是的子环
定理12.2 设A,＋,·是环，S是A的非空子集。如果 ⑴ a,bS，a–bS ⑵ a,bS，a·bS 则S,＋, ·是A,＋,·的子环。 证明：a,bS，a–bS，由子群判定定理知S,＋是 A,＋的子群，因而S,＋是群。因为A,＋是Abel群， 故S,＋也是Abel群。 a,bS，a·bS根据半群判定定理知S,·是半群。 乘法·对加法＋的分配律在S中也成立。 所以，S,＋,·是环，因而S,＋,·是A,＋,·的子环。 子环判定理