§8.1函数的定义与性质 函数的定义 ·函数定义 ■从A到B的函数 ·函数的像 ■函数的性质 ·函数的单射、满射、双射性 ·构造双射函数
1 § 8.1 函数的定义与性质 函数的定义 函数定义 从A到B的函数 函数的像 函数的性质 函数的单射、满射、双射性 构造双射函数
函数定义 定义设F为二元关系，若Hx∈domF都存在 唯一的y∈ranF使xFy成立，则称F为函数. 对于函数F,如果有x乃y,则记作y=Fx),并称y 为F在x的值. 例1 F1={x1y1>,, F2={1y1>,} F是函数，F,不是函数 2
2 函数定义 定义 设 F 为二元关系, 若 x∈domF 都存在 唯一的y∈ranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数. 对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为 F 在 x 的值. 例1 F1={,,} F2={,} F1是函数, F2不是函数
函数相等 定义设F,G为函数，则 F=G台F二G∧GcF 如果两个函数F和G相等，一定满足下面两个条件： (1)domF=domG (2)x∈domF=domG都有Fx)=Gx) 实例函数 Fx)=(x2-1)/x+1),Gx)=x-1 不相等，因为domFCdomG
3 函数相等 定义 设F, G为函数, 则 F = G FG∧GF 如果两个函数 F 和 G 相等, 一定满足下面两个条件： (1) domF = domG (2) x∈domF = domG 都有 F(x) = G(x) 实例 函数 F(x)=(x 21)/(x+1), G(x)=x1 不相等, 因为 domFdomG
从A到B的函数 定义设A,B为集合，如果 f为函数 domf=4 ranfc B, 则称f为从A到B的函数，记作f子：A→B. 实例 FN→W,fx)=2x是从N到N的函数 g:N→N,gc)=2也是从N到N的函数
4 从 A 到 B 的函数 定义 设A, B为集合, 如果 f 为函数 domf = A ranf B, 则称 f 为从A到B的函数, 记作 f：A→B. 实例 f：N→N, f(x)=2x 是从 N 到 N 的函数 g：N→N, g(x)=2也是从 N 到 N 的函数
B上A 定义 所有从A到B的函数的集合记作B4, 读作“B上A”,符号化表示为 BM={f|fFA→B} 计数： A=m,B=n,Em,n>0,BA=nm. A=0,则BA=B2={☑}. A丰☑且B=0,则BA=O1=☑. 5
5 B上A 定义 所有从 A 到 B 的函数的集合记作 BA , 读作“B上A”，符号化表示为 BA ={ f | f：A→B } 计数： |A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=n m . A=, 则 BA=B={}. A≠且B=, 则 BA=A=
实例 例2设A={1,2,3},B={,b},求B1. 解B4=,f,f分，其中 f={,,},f={,,} f={K1,心>，,},f3={1,>,,} f{K1,b>,,},f={K1,b>,} f6={,,,,} 6
6 实例 例2 设 A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, 求BA . 解 BA = {f0 , f1 , . , f7 }, 其中 f0={,,}, f1={,,} f2={,,}，f3={,,} f4={,,}，f5={,,} f6={,,}, f7={,,}
函数的像 定义设函数fA→B,A1CA,B1CB. A,在f下的像：fA1)={fx)|x∈A1} 函数的像f孔A):A)={fx)川x∈A} B在f下的完全原像： f1(B)={x|x∈AΛfx)∈B1} 注意： 函数值fx)∈B,而像fA1)sB. 7
7 函数的像 定义 设函数 f：A→B, A1A, B1B. A1 在 f 下的像： f(A1 ) = { f(x) | x∈A1 } 函数的像 f(A) : f(A) = { f(x) | x∈A } B1 在 f 下的完全原像： f -1 (B1 ) = { x | x∈A ∧ f(x) ∈B1 } 注意： 函数值 f(x)∈B, 而像 f(A1 )B
[x/2 若x为偶数 例3设fN→N,且f(x)= x+1 若x为奇数 令A={0,1,B={2,那么有 fA)=f{0,1})={f0),1)}={0,2} 8
8 例3 设 f：N→N, 且 令A={0,1}, B={2}, 那么有 f(A) = f({0,1}) = { f(0), f(1) } = {0, 2} 若 为奇数 若 为偶数 x x x x f x 1 / 2 ( )
函数的性质 定义设fA→B, (1)若ranf=B,则称f子A→B是满射的. (2)若y∈ranf都存在唯一的x∈A使得fx)=y, 则称f子A→B是单射的. (3)若f天A→B既是满射又是单射的，则称： A→B是双射的 9
9 函数的性质 定义 设 f：A→B, （1）若ranf = B, 则称 f：A→B是满射的. （2）若 y∈ranf 都存在唯一的 x∈A使得 f(x)=y, 则称 f：A→B是单射的. （3）若 f：A→B既是满射又是单射的, 则称 f： A→B是双射的
f满射意味着： y∈B,都存在x∈A使得fx)=y. f单射意味着：x1)=fx2)→x=x2 10
10 f 满射意味着： y B, 都存在 xA 使得 f(x) = y. f 单射意味着：f(x1 ) = f(x2 ) x1= x2