中国科学技术大学2015-2016学年第2学期 《多变量微积分》期末考试试卷 (闭卷120分钟) 题号 四五 六 总分 分数 评卷人 注意：1，所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 3.如答题空白不够，可写在当页背面，并标明题号. 得分评卷人 一、计算下列积分（共30分） 1.(7分)设a,6R为已知常数，且R>0,计算曲线积分(-ay)r+(bcr)dy,其中积 分曲线C是圆周x2+y2=2,沿逆时针方向 2.(7分)计算曲面积分 a+广aa+d,其中配是百上半球 面z=V1-x2-y以及xoy平面围成的立体的全表面的外侧， 第1页，共6页 扫描全能王创建
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3(8盼分)计算自线积分-r+22-+8e2-y,其中自线c是平 面工+y+2=2与柱面4+M=1的交线，从2轴正向来看，C沿逆时针方向， 4.(8分)计算曲面积分 dudz+udzdx+ddy (x2+22+22) 其中是曲面2x2+22+z2=4的外侧 第2页，共6页 织 扫描全能王创建
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得分评卷人 二、 (体题8分)将函数回=-2展成：的郭级数并指出 1 其收敛域。 得分评卷人 (本题8分)设g(x)= e-t+tdt,求g(x),g(o)】 得分评卷人 四、（本题10分）已知向量场寸(x,)=(x2-2y名，2-2x名，2- 2x,(x,)∈R3,证明：寸(x,)是有势场，并求全体势函数. 扫描全能王创建
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得分评卷人 国五体题10分将高数回=m加片展成的零级数 并求f(0),f)(0)的值. 得分评卷人 六、（本题6分） 求级业空会产产的收数区用与有数 2+1 第4页，共6页 扫描全能王创建
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得分评卷人 七、（本题20分） 设f(x)是以2π为周期的周期函数，在[-T,π)上的表达式为 T+2, -T≤x≤0， f(x)= T-x,0<x<π， ()将f()展成傅里叶级数，并指出该傅里叶级数的收敛性， (2)写出相应的Parseval等式： 1 (③)根据f()的傅里叶级数，分别求出数项级数 点(2m-1p· 1 (4)④根据上述的Parseval等式分别求出数项级数 扫描全能王创建
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3.(8分)计算曲线积分(y 一2 得分评卷人 八、 得分评卷人 九、体题4分闲脂无穷级数运心的微性 -0nr 第6页，共6页 织 扫描全能王创建
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2015-2016《多变量微积分》期末考试解答 恐Rn0o .(2 wd+a迪=（器-）a咖=6+ow=o+爬.7分 2期，令2Q=元限曲歌所图的区装.RQ,RC回 由caus公式原式=(8+%+）dzdyds=3e2+y+ddd4分 用球坐标代换x=广n8c99,y=rm99,3=rces0 原式-3。dd 3解，设是平面z+y+2=2上以C为边界的部分，取上侧，2与C的方向成右手系。(2分) 由Stokes公式 (2-z2)dr+(2x2-x2)dy+3x2-2)d 1 ds /(8x+4g+6z)dS.(5) ∑：z=2-x-y,D:l+l≤1，dS=1+设+2dxdy=V3dxdy.(6分) 根据积分区域的对称性： 原式=-24r+2y+3(2-x-ddy=-2广6ddy=-24.(8分) y 4解：令P= 2+2+Q=++R 2+2+则 -+4 （红2+y2+z23 8Q 2-2+2+21-3y2e2+2+21 .(x2+y2+z23 0那-e++82)量-3222+2+21 + .(2分) +=0, 所以当2+y2+2≠0时，0+时+02 取小球面2)：x2+2+2=e2内侧，e>0充分小，使2o位于2内部，公，2围成的区域记为加 2 扫描全能王创建
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所以 .(8分) 二、（本题8分）将函数f(x)= 子子一2屁成：的幕级数，并指出其收数 1 1 1 19x 中有7- ，<1.(6分) x∈(-1,1).(8分) 0s2 三、体题8分设国-。求划e以g0 解：回=。 .(6分) in?m g0)=6e证=-6-少8分) 四、（本题10分）解：rot =(0,0,0).(3分) x2-2yz 是单连通区中的无旋场，从而是有势场】 22 设P 2y,Q=2-2x,R=2-2x,势函数 .(6分 (-v.=) p(x,)= Pdc+Qdy+Rdz.(7分》 P,.zne J0,00) +w+e-2 =3r3++-2xy2+0.（10分 -(1+x)-(1-x)」 1 五、（本题10分）解：f)= .(2分) 1+( (1+2 1+2 扫描全能王创建
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影阳王親馬料 合酷 +=(-1rn, ,<1.(4分) 所用0=后e地-盒-s-盒- 所以 +- ≤1.(？分) fm(0)=61,f8)(0)=0.(10分) 六体超6分解，因=生+3典二号=子所以收做区同-小 含+=运y=气)-部：州1 1+x2 x2n 1.(5分) 3, 所以S(x)= x=0 点因利a为阳的白树连缺。 a0= 2 (x-x)dx=x a-动co业=n2=-(-116分 音+盒卸归=：e .(5分)》 ()②Paraeval等式：+元c2=号Pi7分 +(,6-州剂 -1 co,令r=0, ，n2 1 T2 有 (2m-1严-8 (13分)是 =石(5分 人南4列-盛r: 所以= n! xn”xdz.(2分)
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设n=厂”lh”zd,令nx=u, -=广 (-1)n （-1)rn =十+)=a 所以.左边-盒-营a列 米，一产aa所 级数是交错级数。 会=典 织an=点 开=0 sindn+ J(n+1)V 织 扫描全能王创建
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