福州大学：《离散数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章 集合代数

第6章 集合代数 6.1集合的基本概念 6.2集合的运算 6.3集合恒等式

6.1 集合的基本概念 6.2 集合的运算 6.3 集合恒等式 第6章 集合代数

6.1集合的基本概念 一些事物汇集到一起组成一个整体称为集合，通常用 大写的英文字母表示。组成集合的事物叫做集合的元素或 成员，常用小写的英文字母表示。 例如 ①26个英文字母组成一个集合，任一英文字母是该集 合的元素。 ②直线上的所有点组成实数集合R,每一个实数是集合 的元素。 ③陕西科技大学全体学生组成一个集合，该校的每一 个学生是这个集合的元素

6.1集合的基本概念 一些事物汇集到一起组成一个整体称为集合，通常用 大写的英文字母表示。组成集合的事物叫做集合的元素或 成员，常用小写的英文字母表示。 例如： ①26个英文字母组成一个集合，任一英文字母是该集 合的元素。 ②直线上的所有点组成实数集合R，每一个实数是集合 R的元素。 ③陕西科技大学全体学生组成一个集合，该校的每一 个学生是这个集合的元素

6.1.1集合的表示法 集合有两种表示法。 第一种表示法是列举法：在花括号“}”中列举出 该集合的元素，元素之间用逗号隔开。 例如： 11,2,3,4,5 11,2,3,.} 1=0,1,-1,2,-2,. S=T.F 第二种表示法是描述法：用谓词界定集合的元素。 例如： Qx|x是有理数} R-x|x是实数 Cx|x是复数〉 A=x|x∈I∧0<x∧x<5

6.1.1集合的表示法 集合有两种表示法。 第一种表示法是列举法：在花括号“”中列举出 该集合的元素，元素之间用逗号隔开。 例如： I5 =1,2,3,4,5 I+ =1,2,3, „ I =0,1,-1,2,-2, „ S=T,F 第二种表示法是描述法：用谓词界定集合的元素。 例如： Q=x | x是有理数 R=x | x是实数 C=x | x是复数 A=x | x I∧0＜x∧x＜5

集合的元素必须是确定的。所谓确定的，是指任何 一个对象是不是集合的元素是明确的、确定的，不能模 棱两可。 集合的元素又是能区分的，能区分的是指集合中的 元素是互不相同的。如果一个集合中有几个元素相同， 算做一个。例如集合1,2,3,3和1,2,3}是同一集合

集合的元素必须是确定的。所谓确定的，是指任何 一个对象是不是集合的元素是明确的、确定的，不能模 棱两可。 集合的元素又是能区分的，能区分的是指集合中的 元素是互不相同的。如果一个集合中有几个元素相同， 算做一个。例如集合1,2,3,3和1,2,3是同一集合

集合的元素是任意的对象，对象是可以独立存在的具 的或抽象的客体。它可以是独立存在的数、字母、人或其它 物体，也可以是抽象的概念，当然也可以是集合。例如集合 1,2,3},1,2的元素3和1,2就是集合。 集合的元素又是无序的，即1,2,3和3,1,2}是同一集合。 设S是集合，a是S的一个元素，记为a∈S,读做“a属于 S”;如果a不是S的元素，记为a廷S,读做“a不属于S

集合的元素是任意的对象，对象是可以独立存在的具体 的或抽象的客体。它可以是独立存在的数、字母、人或其它 物体，也可以是抽象的概念，当然也可以是集合。例如集合 1,2,3,1,2的元素3和1,2就是集合。 集合的元素又是无序的，即1,2,3和3,1,2是同一集合。 设S是集合，a是S的一个元素，记为aS，读做“ a属于 S” ；如果a不是S的元素，记为aS，读做“ a不属于S ”

隶属关系的层次结构 例3.1 A={,{b,c,d,{}} {b,c}∈A {b,c} d {d} bEA {}∈A (d {小庄A d∈A

隶属关系的层次结构 例 3.1 A={ a, {b,c}, d, {{d}} } {b,c}A bA {{d}}A {d}A dA

6.1.2子集和集合的相等 定义6.1设A,B是任意的集合，当B的每一元素都是 A的元素时，则称B是A的子集，也称B被A包含，或A包含 B。记为BCA或ADB。 当B不是A的子集时，记为B实A。 BCA用谓词公式表示为：AcB台(x)(x∈A→x∈B) B4A用谓词公式表示为：B华A台（门x)(x∈B∧x廷A) 例如：设A=17,B=1,27,C=1,2,37则 ACA ACB,BCC,AcC C车B

6.1.2子集和集合的相等 定义6.1 设A，B是任意的集合，当B的每一元素都是 A的元素时，则称B是A的子集，也称B被A包含，或A包含 B。记为BA或AB。 当B不是A的子集时，记为B⊈A。 BA用谓词公式表示为： AB  (x) (xA→xB) B⊈A用谓词公式表示为： B⊈A  (x) (xB∧xA) 例如：设A=1，B=1,2，C=1,2,3 则 AA AB，BC，AC C⊈B

定义62设A,B是集合， 如果ACB且BCA,则称A与 相等。记为A=B。如果A与B不相等，记为A≠B。 集合相等也可用谓词公式表示为： A=B→ACB∧BCA 台(x)(x∈A→x∈B)∧(x)x∈B→x∈A) 台(Vx)(x∈A←→x∈B) 例如：设A=1,27,B=1,27,C=2,17则 A=C,AB

定义6.2 设A，B是集合，如果AB且BA，则称A与B 相等。记为A=B。如果A与B不相等，记为A≠B。 集合相等也可用谓词公式表示为： A=BAB∧BA (x)(xA→xB)∧(x)(xB→xA) (x)(xA↔xB) 例如：设 A=1,2，B=1, 2，C=2,1 则 A=C，A≠B

定义63设A,B是集合，如果AEB且4B,则称A) 的真子集。记为ACB。如果A不是B的真子集，记为AdB。 真子集用谓词公式表示为： ACB→ACB∧A≠B 台(Hx)(x∈A→x∈B)∧(3x)x∈B∧x庄A) 例如：设A=a,B=a,b,C=a,b,c}则 ACB,BCC,AcC AZA 又如，自然数集是整数集合的真子集， 也是有理数集 合和实数集合的真子集，即NcI,NcO,NcR

定义6.3 设A，B是集合，如果AB且A≠B，则称A是B 的真子集。记为AB。如果A不是B的真子集，记为AB。 真子集用谓词公式表示为： ABAB∧A≠B (x)(xA→xB)∧(x)(xB∧xA) 例如：设 A=a，B=a,b，C=a,b,c 则 AB，BC，AC AA 又如，自然数集是整数集合的真子集，也是有理数集 合和实数集合的真子集，即NI，NQ，NR

定义6.4不包含任何元素的集合叫空集。记为⑦。 空集可以表示为： ☑=x|P(x)∧P(x)}其中，P(x)为任意谓词 ⑦=x|x≠x7 定理6.1空集是任意集合的子集。 证明：设A是任意集合。对任意对象x,由空集的定义 知，x∈⑦为假，由条件联结词的定义知，x∈⑦→x∈A为真。 根据全称推广规则有 (x)(x∈☑→x∈A) 为真，故⑦cA

定义6.4 不包含任何元素的集合叫空集。记为。 空集可以表示为： =x | P(x)∧P(x)  其中，P(x)为任意谓词 =x | x ≠ x  定理6.1 空集是任意集合的子集。 证明：设A是任意集合。对任意对象x，由空集的定义 知，x为假，由条件联结词的定义知，x→xA为真。 根据全称推广规则有 (x)( x→xA) 为真，故A