5.4二阶线性方程解结构 补充内容 1.数域：设F是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果F中的任意两个 数（这两个数可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是F中的数，那么F就称为 一个数域显然，全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集 合都是数域而全体整数组成的集合就不是数域。 如果数的集合F中任意两个数作某一运算的结果都在F中，我们就说数集F对这 个运算是封闭的因此，数域的定义也可以说成，如果一个包含0与1在内的数集F对 于加法、减法、乘法、除法（除数不为零）是封闭的，那么F就称为一个数域， 2.线性空间：设V是一个非空的集合，F是一个数域，在集合V的元素之间，定 义了一种运算，称为加法：即对V中的任意两个元素a,b都按某一法则对应于V中的 个元素，称x为a,b之和，记为r=a+在数域F与集合V的元素之间还定义一种运 算，称为数量乘法：即对V中任意元素a和数域F中任意数入，都按某一法则对应于V中 唯一确定的一个元素，记为y=a,且加法满足以下四条规律： (1).a+6=b+a (2).(a+)+c=a+b+c, (3).V中存在一个元素0，使对V中任意元素a,有a+0-a,称此元素0为V的零 元素 (4).对于V中每个元素a,都有V中的元素b,使得a+b=0,称为b为a的一个负元 ().1a=a(6).A(a)=(4)a: 数量乘法与加法满足下面两条规律： (T).(A+p)a=Xa+ua;(8).A(a+)=Xa+uub. 则称V是数域F上的一个线性空间，有时将V称为向量空间记为V(F).V中的元 素称为向量。 3.线性组合（线性表出） 设a1,a2,.,am(m≥1)是向量空间V(F)中一组向量，1,2，.，Am是数 域F中的一组数，若V(F)中的向量可以表示为 a=Aa1+2a2+.+Xmam 则称向量a是向量组a1,2,.,n的一个线性组合，有时也说向量a可经向量值a1,a2,.,an线 性表出。 4.线性相关（线性无关）
· 1 · 5.4 Ç 5 ê ß ) ( ÷øSN 1. Íç: F¥dò EÍ|§8‹,Ÿ•ù)0Ü1, XJF•?ø¸á Í(˘¸áÍå±É”)⁄! !»!˚(ÿÍÿè")E,¥F•Í,@oF“°è òáÍç.w, NknÍ|§8‹! N¢Í|§8‹! NEÍ|§8 ‹—¥Íç. NÍ|§8‹“ÿ¥Íç. XJÍ8‹F•?ø¸áÍä,ò$é(J—3F•,·Ç“`Í8FÈ˘ á$饵4.œd,Í罬èå±`§,XJòáù¹0Ü13SÍ8F È u\{!~{!¶{!ÿ{(ÿÍÿè")¥µ4,@oF“°èòáÍç. 2. Ç5òm: V¥òáöò8‹,F¥òáÍç,38‹VÉÉm,½ ¬ ò´$é,°è\{:=ÈV•?ø¸áÉa, b—U,ò{KÈAuV •ò áÉx,°xèa, bÉ⁄,Pèx = a + b;3ÍçFÜ8‹VÉÉmѽ¬ò´$ é, °èͲ¶{:=ÈV•?øÉa⁄ÍçF•?øÍλ,—U,ò{KÈAuV• çò(½òáÉy,Pèy = λa,Ö\{˜v±eo^5Æ: (1). a + b = b + a, (2). (a + b) + c = a + (b + c), ( 3). V•3òáÉ0,¶ÈV•?øÉa,ka + 0 = a,°dÉ0èV" ɶ (4). ÈuV•záÉa,—kV•Éb,¶a + b = 0,°èbèaòáK É; (5). 1a = a (6). λ(µa) = (λµ)a; Ͳ¶{Ü\{˜ve°¸^5Æ: (7). (λ + µ)a = λa + µa; (8). λ(a + b) = λa + µb. K°V¥ÍçF˛òáÇ5òm,kûÚV°èï˛òmPèV(F). V• É°èï˛. 3. Ç5|‹(Ç5L—) a1, a2, · · · , am (m ≥ 1)¥ï˛òmV(F)•ò|ï˛ßλ1, λ2, · · · , λm¥Í çF•ò|Í,eV(F)•ï˛å±L´è a = λ1a1 + λ2a2 + · · · + λmam K°ï˛a¥ï˛|a1, a2, · · · , amòáÇ5|‹,kûè`ï˛a å²ï˛äa1, a2, · · · , amÇ 5L—. 4. Ç5É'(Ç5Ã')
2 给定向量空间V(F)中的一个向量组a1,a2,·,am(m≥1)，如果存在数域F中 的不全为零的m个数1,2， .,Am使X1a1+2a2++mam=0,则称向量组a1,a2,.,an线 性相关，如果当且仅当1=2=.=Am=0,才有 1a1+A2a2+.+Xmam=0 ,则称向量组a1,2,·,am线性无关. 5。n维线性空间、线性空间的极大线性无关组、线性空间的基 如果向量空间V()中有n个线性无关的向量a1,2,.,a,但任意m+1个向量a1,2,.,a,a+1都 是线性相关的，那么就称V是n维的线性空间，记作Vn或dimV=n,此时称a1,a2,.,an为V的 一个极大线性无关组，也称为向量空间V()的一组基，向量空间VF)中任意元素α都 可以由它线性表出，即a=1a1+2 +an称(， ,n)为向量a关于 基a1,a2,.,an的坐标如果存在V中任意多个线性无关的向量，那么就称V是无限 维的线性空间当V中仅含零向量，就称它为零维空间. 5.4.1二阶线性齐次方程通解的结构 二阶线性微分方程的一般形式是 ”+px)y+q(e)y=fe, (6.410 其中n(qf回∈C(a,. 方程 g”+p)+q()g=0(5.4.2 称为方程(5.4.1)对应的齐次方程. 一·二阶线性齐次方程集合是一个线性空间 定理5.4.1如果h()和2（）都是(5.42)的解，则对任何常数c1,2 c1h(国)+c22(口) 也是(5.4.2)的解. 证直接验证即得到定理 定理5.4.1说明(5.42)的解空间是 一个线性空间如果能找出空间的极大线性无 关组（即基底），这个解空间的结构就完全清楚了 二.函数线性相关与线性无关的定义 定义5.41设()p2(), ,m()是定义在(a,)上的函数，如果存在不全 为0的常数c1,c2,.,cm,使得在(a,b)上， c1p1(r)+c2p2(r)+.+.+cmpm(r）=0
· 2 · â½ï˛òmV(F)•òáï˛|a1, a2, · · · , am (m ≥ 1),XJ3ÍçF• ÿ è"máÍλ1, λ2, · · · , λm¶λ1a1+λ2a2+· · ·+λmam = 0,K°ï˛|a1, a2, · · · , amÇ 5É',XJÖ=λ1 = λ2 = · · · = λm = 0,‚k λ1a1 + λ2a2 + · · · + λmam = 0 ,K°ï˛|a1, a2, · · · , amÇ5Ã'. 5. nëÇ5òm!Ç5òm4åÇ5Ã'|!Ç5òmƒ XJï˛òmV(F)•knáÇ5Ã'ï˛a1, a2, · · · , an,?øn+1áï˛a1, a2, · · · , an, an+1— ¥Ç5É',@o“°V¥nëÇ5òm,PäVn½dimV = n,dû°a1, a2, · · · , anèV òá4åÇ5Ã'|,è°èï˛òmV(F)ò|ƒ,ï˛òmV(F)•?øÉa— å±dßÇ5L—,=a = λ1a1 + λ2a2 + · · · + λnan,°(λ1, λ2, · · · , λn)èï˛a'u ƒa1, a2, · · · , anãI;XJ3V•?øıáÇ5Ã'ï˛,@o“°V¥ÃÅ ëÇ5òm.V•=¹"ï˛,“°ßè"ëòm. 5.4.1 Ç5‡gêßœ)( Ç5á©êßòÑ/™¥ y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = f(x), (5.4.1) Ÿ•p(x)!q(x)!f(x) ∈ C(a, b). êß y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0 (5.4.2) °èêß(5.4.1)ÈA‡gêß. ò. Ç5‡gêß8‹¥òáÇ5òm ½n5.4.1 XJy1(x)⁄y2(x)—¥(5.4.2)),KÈ?¤~Íc1, c2, c1y1(x) + c2y2(x) è¥(5.4.2)). y Üy=½n. ½n5.4.1`²(5.4.2))òm¥òáÇ5òm.XJUÈ—òm4åÇ5à '|(=ƒ.),˘á)òm(“ òŸ . . ºÍÇ5É'ÜÇ5Ã'½¬ ½¬5.4.1 ϕ1(x), ϕ2(x), · · · , ϕm(x)¥½¬3(a, b) ˛ºÍ,XJ3ÿ è0~Íc1, c2, · · · , cm,¶3(a, b)˛, c1ϕ1(x) + c2ϕ2(x) + · · · + · · · + cmϕm(x) ≡ 0,
3 则称21，p2,·,m(在(a,b)上)线性相关否则，称它们线性无关 例5.4.11，sin工，cosr在实轴上线性无关，而1，sin2x,cos2x在实轴上线性相关 证若1，sn工，c0sx线性相关，则有不全为0的c1,2,c3使 1+e2simx+C3 COS三0 分别取x=0,牙，元，就得到 9+cg=c1+9=9-cg=0 只有c1=c2=c3=0.矛盾.故1，sn工，c0s线性无关又由 -1+sim2x+cos2x三0. 可知1，in2工，cos2线性相关 例5.4.2函数组1，工，.，xm(m∈Z+)在实数轴上线性无关 证明（反证法）假设函数组1，·，xm(m∈Z+)在实数轴上线性相关，则有 不全为零的常数C。.CC.,C使得 Co+Cx+C2x2+.+Cmxm=0 在实轴上任意点均成立，但是C+Cr+C22+.+Cmm是一个非零多项式，它至 多有m个实根，故C0+C工+C2x2+.+Cmxm=0不可能在实轴上均成立. 三.两个可微函数h(c),2(工)的线性相关与线性无关 1.Wronsky行列式 定义5.4.2设h()和()是可微函数称 a倒=h国 为1(r)和2()的Wronsky行列式 2.任意两个可微函数线性相关的必要条件（线性无关的充分条件） 定理5.4.2设h()和2(e)可微且线性相关，则()三0. 证因为h()和2()可微且线性相关，所以有不全为0的常数c1,使 q1()+c2()=0, 由此又有 C1(x)+c25(x）≡0
· 3 · K°ϕ1, ϕ2, · · · , ϕm(3(a, b)˛)Ç5É'.ƒK,°ßÇÇ5Ã'. ~5.4.1 1,sin x, cos x3¢¶˛Ç5Ã', 1,sin2 x, cos2 x 3¢¶˛Ç5É'. y e1,sin x, cos xÇ5É',Kkÿ è0c1, c2, c3 ¶ c1 + c2 sin x + c3 cos x ≡ 0. ©Ox = 0, π 2 , π,“ c1 + c3 = c1 + c2 = c1 − c3 = 0, êkc1 = c2 = c3 = 0.gÒ.1,sin x, cos xÇ5Ã'.qd −1 + sin2 x + cos2 x ≡ 0, å,1,sin2 x, cos2 xÇ5É'. ~5.4.2 ºÍ|1, x, · · · , xm (m ∈ Z +)3¢Í¶˛Ç5Ã'. y² (áy{) bºÍ|1, x, · · · , xm (m ∈ Z +)3¢Í¶˛Ç5É',Kk ÿ è"~ÍC0, C1, C2, · · · , Cm¶ C0 + C1x + C2x 2 + · · · + Cmx m = 0 3¢¶˛?ø:˛§·,¥C0 + C1x + C2x 2 + · · · + Cmx m¥òáö"ıë™,ßñ ıkmá¢ä,C0 + C1x + C2x 2 + · · · + Cmx m = 0ÿåU3¢¶˛˛§·. n. ¸áåáºÍy1(x), y2(x)Ç5É'ÜÇ5Ã' 1. Wronsky 1™ ½¬5.4.2 y1(x)⁄y2(x)¥åáºÍ,° w(x) = y1(x) y2(x) y 0 1 (x) y 0 2 (x) èy1(x)⁄y2(x)Wronsky1™ 2. ?ø¸áåáºÍÇ5É'7á^á(Ç5Ã'ø©^á) ½n5.4.2 y1(x)⁄y2(x)åáÖÇ5É',Kw(x) ≡ 0. y œèy1(x)⁄y2(x)åáÖÇ5É'ߧ±kÿ è0~Íc1, c2¶ c1y1(x) + c2y2(x) ≡ 0, ddqk c1y 0 1 (x) + c2y 0 2 (x) ≡ 0.
-4 这时必有 倒= h())-2(()=0. ()() 由定理5.42可知，h(c),2(c)是(a,b)中不恒为零的可微函数，若有x0∈(a,b)使(ro)≠ 0,则1（口）与班(c)线性无关 定理5.4,2的逆命题不一定成立 例如 ，x≥0 与 0-{8 线性无关，但()三O. 3.任意两个不恒为零的可微函数线性相关（线性无关）的充要条件 定理5.4.3设1（工）和2（工）都不恒为零， 则(与线性相关的充分必婴条件是存在非零常数c使Qn 证“→ 因为h()与2(x)线性相关，故有不全为零的常数c,2,使 9班（）+c2欢()=0 取xo,使2(o)≠0，于是就必有c1≠0，否则由上式可知也要有e2=0.同理c2≠0.于 是令c=-号（≠0），就有 2()=c1() “←”若2()=c()(c≠0).由c()-2(d)=0,可知h()与2()线性相 关 4。二阶线性齐次方程任意两个解h(c,()线性无关（线性相关）的充要条件 定理5.4.4设1（口）和h(c)是(5.4.2)的解，则h(c)和2(c)线性无关的充分必要 条件是它们的m(c)在(a,b)中处处不为0. 证充分性十分明显.下面证明必要性. 设曰)和2（工）是5.42)的线性无关解，如果有0∈(a,)使 C)Bco
· 4 · ˘û7k w(x) = y1(x) y2(x) y 0 1 (x) y 0 2 (x) = y1(x)y 0 2 (x) − y2(x)y 0 1 (x) ≡ 0. d½n5.4.2 å,y1(x), y2(x)¥(a, b)•ÿðè"åáºÍ,ekx0 ∈ (a, b)¶w(x0) 6= 0,Ky1(x)Üy2(x)Ç5Ã'. 5 ½n5.4.2_·Kÿò½§·. ~X y1(x) = ( x 2 , x > 0 −x 2 , x 6 0 Ü y2(x) = ( 2x 2 , x > 0 −3x 2 , x 6 0 Ç5Ã',w(x) ≡ 0. 3. ?ø¸áÿðè"åáºÍÇ5É'(Ç5Ã')øá^á ½n5.4.3 y1(x)⁄y2(x)—ÿðè", Ky1(x)Üy2(x)Ç5É'ø©7á^á¥:3ö"~Íc,¶y2(x) = cy1(x). y /⇒0 œèy1(x)Üy2(x)Ç5É',kÿ è"~Íc1, c2,¶ c1y1(x) + c2y2(x) ≡ 0, x0,¶y2(x0) 6= 0,u¥“7kc1 6= 0,ƒKd˛™åèákc2 = 0.”nc2 6= 0.u ¥-c = − c1 c2 (6= 0),“k y2(x) = cy1(x) /⇐0 ey2(x) = cy1(x) (c 6= 0),dcy1(x) − y2(x) = 0,åy1(x)Üy2(x)Ç5É '. 4. Ç5‡gêß?ø¸á)y1(x), y2(x)Ç5Ã'(Ç5É')øá^á ½n5.4.4 y1(x)⁄y2(x)¥(5.4.2)),Ky1(x)⁄y2(x)Ç5Ã'ø©7á ^á¥ßÇw(x)3(a, b)•??ÿè0. y ø©5õ©²w.e°y²7á5. y1(x)⁄y2(x)¥(5.4.2)Ç5Ã'),XJkx0 ∈ (a, b)¶ w(x0) = y1(x0) y2(x0) y 0 1 (x0) y 0 2 (x0) = 0,
则有不全为0的G1,c2使 c11(o)+2欢(ro)=0 c11(r0)+C26(ro)=0 由定理5.4.1可知， ()=c1h()+c2h() 是(5.42)的解，它满足 y(ro=y(x0)=0. 然，)=0也是(5.42)满足上述初始条件的解由初值解的存在唯一性定理知，必 有 y(e)=0. 即h()与()线性相关，与假设矛盾故如()处处不为0 四。二阶线性齐次方程的解结构 定理5.4.5方程(5.4.2)存在线性无关解h(c)和2（工）. 证由初值解的存在唯一性可知，给定0∈(a,),方程5.32)有满足初值条件h(c0 1,(ro)=0和2(o)=0,(ro)=1的解1()和().由于 故它们是线性无关的， 定理5.4.6设1()和2(c)是(5.4.2)的线性无关解，则(5.42)的通解为 y=cah(e)+c22(.(6.43) 证显然(5.4.3)都是(5.4.2)的解。 设(c)使(5.4.2)的解，取o有 圈o 则关于g,2
· 5 · Kkÿ è0c1, c2¶ ( c1y1(x0) + c2y2(x0) = 0 c1y 0 1 (x0) + c2y 0 2 (x0) = 0 d½n5.4.1å, y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) ¥(5.4.2)),ߘv y(x0) = y 0 (x0) = 0. w,˜y(x) ≡ 0è¥(5.4.2)˜v˛„–©^á).d–ä)3çò5½n,7 k y(x) ≡ 0. =y1(x)Üy2(x)Ç5É',ÜbgÒ.w(x)??ÿè0. o. Ç5‡gêß)( ½n5.4.5 êß(5.4.2)3Ç5Ã')y1(x)⁄y2(x). y d–ä)3çò5å,â½x0 ∈ (a, b),êß(5.3.2)k˜v–ä^áy1(x0) = 1, y0 1 (x0) = 0⁄y2(x0) = 0, y0 2 (x0) = 1)y1(x)⁄y2(x).du w(x0) = 1 0 0 1 = 1 6= 0, ßÇ¥Ç5Ã'. ½n5.4.6 y1(x)⁄y2(x)¥(5.4.2)Ç5Ã'),K(5.4.2)œ)è y = c1y1(x) + c2y2(x). (5.4.3) y w,(5.4.3)—¥(5.4.2)). y(x)¶(5.4.2)), x0k y1(x0) y2(x0) y 0 1 (x0) y 0 2 (x0) 6= 0 K'uc1, c2
6 ∫c1(ao）+c22(ro)=(ro) c1(ro）+c2(xo)=(ro) 的方程组一定有解1，c2 由于 )=1h()+c22( 满足 所以，由初值解的唯一性可知， ()=()=c1h()+c2(r) 所以(5.43)已包含(5.4.2)的全部解 五。已知二阶线性齐次方程的一个非零解，求与之线性无关的另一解的方法 一般不能经初等积分求出(5.4.2)两个线性无关解，但如果我们已经知道了(5.4.2)的 一个非零解，就可以求出与之线性无关的另一个解。 方法一 定理5.4.7(Liouville))设h(e)和h(c)是(54.2)的两个解，则有c∈R使其Wronsky行 列式 "e)=ce/naye 证 w'（✉)=(h(r)()-(a)(Y =(c)()-(r2( =一h(cx)()+q()()+(e)p()()+q()h(》 =-px(h(c)2(a)-2(c(x》 -p(r)w(r). 这是一个一阶线性齐次方程，它的解是 ue)-ce/rayds
· 6 · ( c1y1(x0) + c2y2(x0) = y(x0) c1y 0 1 (x0) + c2y 0 2 (x0) = y 0 (x0) êß|ò½k)c1, c2. du y˜(x) = c1y1(x) + c2y2(x) ˜v y˜(x0) = y(x0), y˜ 0 (x0) = y 0 (x0), §±,d–ä)çò5å, y(x) ≡ y˜(x) = c1y1(x) + c2y2(x). §±(5.4.3)Æù¹(5.4.2) ‹). . Æ Ç5‡gêßòáö"),¶ÜÉÇ5Ã',ò)ê{ òÑÿU²– »©¶—(5.4.2)¸áÇ5Ã'),XJ·ÇƲ (5.4.2) òáö"),“屶—ÜÉÇ5Ã',òá). ê{ò: ½n5.4.7 (Liouville) y1(x)⁄y2(x)¥(5.4.2)¸á),Kkc ∈ R¶ŸWronsky1 ™ w(x) = ce − Z p(x)dx . y w 0 (x) = (y1(x)y 0 2 (x) − y 0 1 (x)y2(x))0 = y1(x)y 00 2 (x) − y 00 1 (x)y2(x) = −y1(x)(p(x)y 0 2 (x) + q(x)y2(x)) + y2(x)(p(x)y 0 1 (x) + q(x)y1(x)) = −p(x)(y1(x)y 0 2 (x) − y2(x)y 0 1 (x)) = −p(x)w(x), ˘¥òáò Ç5‡gêß,ß)¥ w(x) = ce − Z p(x)dx .
7 注若取e=厂ek则 e=e人ed →w(o)=c 即有 w()=w(ro)e-()d 上式说明(5.4.2)的解h1()和2(x)的Wronsky行列式处处不为零或恒为零. 设1(e)是(5.4.2)的一个非零解，由Liouville2公式有（取c=1) ()-器-高e 所以可取 )=n回∫西fre地在 方法二 设n(口)是(54.2)的一个非零解，现在来求一个与n(e)线性无关的解2（红）. 设y=功()，代入方程(5.42)就得到 +(+)》-064 即 (mzy+e)+2血n(cy-0.(5.45) 积分之就有 阿e地 故方程5.42)有特解 国=n国行a在，64同 由于'0.故四(x)=z'2(x)￥0.即知1(x)与(x)线性无关 这里的方法在解高阶线性微分方程时有重要应用当已知道阶齐次线性方程 ym+m(e)a-)+.+m-i(e)/+mey=0(5.47) 的一个解)时，令=,则方程(6.47)就化成方程 2m+9m(口)zm-1)+.+9m-1(z)2'=0.(54.8)
· 7 · 5 eZ p(x)dx = Z x x0 p(x)dx,K w(x) = ce − Z x x0 p(x)dx =⇒ w(x0) = c, =k w(x) = w(x0)e − R x x0 p(x)dx ˛™`²(5.4.2))y1(x)⁄y2(x)Wronsky1™??ÿè"½ðè". y1(x)¥(5.4.2)òáö"),dLiouville˙™k(c = 1) y2(x) y1(x) 0 = w(x) y 2 1 (x) = 1 y 2 1 (x) e − R p(x)dx . §±å y2(x) = y1(x) Z 1 y 2 1 (x) e − R p(x)dxdx. ê{ y1(x)¥(5.4.2)òáö"),y35¶òáÜy1(x)Ç5Ã')y2(x). y = zy1(x),ì\êß(5.4.2)“ z 00 + p(x) + 2y 0 1 (x) y1(x) z 0 = 0, (5.4.4) = (ln z 0 ) 0 + p(x) + 2(ln y1(x))0 = 0. (5.4.5) »©É,“k z 0 = 1 y 2 1 (x) e − R p(x)dx , êß(5.4.2)kA) y2(x) = y1(x) Z 1 y 2 1 (x) e − R p(x)dxdx, (5.4.6) duz 0 6= 0,w(x) = z 0y 2 1 (x) 6= 0,=y1(x)Üy2(x)Ç5Ã'. ˘pê{3)p Ç5á©êßûkáA^.Æn ‡gÇ5êß y (n) + p1(x)y (n−1) + · · · + pn−1(x)y 0 + pn(x)y = 0 (5.4.7) òá)y˜(x)û,-y = zy˜(x),Kêß(5.4.7)“z§êß z (n) + q1(x)z (n−1) + · · · + qn−1(x)z 0 = 0. (5.4.8)
8 (5.4.8)是的n一1阶齐次线性方程.就是说变量代换y=c)有“降阶”的作用。 例5.4.3已知y=如是方程 +2y+y=0 的一个特解，求方程的通解。 解 -学∫=学∫会 故原方程的通解为 y=(imx-2cos 5,4.2二阶线性非齐次方程通解的结构 定理5.4.8设x)是方程(5.41)的一个特解，h(工)和2（口）是方程(5.42)的两个 线性无关解则 y=c1h()+c2()+)(5.4.9) 是(54.1)的通解 证容易验证(5.4.9)是(5.4.1)的解. 如果y=(x)是(5.4.1)的一个解，则容易验证y=(x)-x)是(5.4,2)的解因此 有常数，c2使 (）-=c11()+c22( 即有 (x)=c1h(c)+c2(a+x). 因此(5.4.9包含了(5.4.1)的全部解，即(5.4.9)是5.4.1)的通解. 类似一阶线性微分方程的求解方法，可以用“常数变易法”由(5.4.2)的两个线性 无关解求出5.41)的一个特解。 设1()和2()是(5.42)的两个线性无关解，而(5.4.1)有形如 r)=c1(c)(国)+c2(c)2()(54.10) 的特解于是 矿(x)=c()()+c2(r)(x)+(x)()+(r)()
· 8 · (5.4.8)¥z 0n − 1 ‡gÇ5êß.“¥`C˛ìÜy = zy˜(x)k“¸ ” ä^. ~5.4.3 Æy = sin x x ¥êß y 00 + 2 x y 0 + y = 0 òáA),¶êßœ). ) y2(x) = sin x x Z x 2 sin2 x e − R 2 x dxdx = sin x x Z dx sin2 x = − sin x x cot x = − cos x x , êßœ)è y = 1 x (c1 sin x − c2 cos x). 5.4.2 Ç5ö‡gêßœ)( ½n5.4.8 y˜(x)¥êß(5.4.1)òáA),y1(x)⁄y2(x)¥êß(5.4.2)¸á Ç5Ã').K y = c1y1(x) + c2y2(x) + ˜y(x) (5.4.9) ¥(5.4.1)œ). y N¥y(5.4.9)¥(5.4.1)). XJy = y(x)¥(5.4.1)òá),KN¥yy = y(x) − y˜(x)¥(5.4.2)).œd k~Íc1, c2¶ y(x) − y˜(x) = c1y1(x) + c2y2(x), =k y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + ˜y(x). œd(5.4.9)ù¹ (5.4.1) ‹),=(5.4.9)¥(5.4.1)œ). aqò Ç5á©ê߶)ê{,å±^“~ÍC¥{”d(5.4.2)¸áÇ5 Ã')¶—(5.4.1)òáA). y1(x)⁄y2(x)¥(5.4.2)¸áÇ5Ã'), (5.4.1)k/X y˜(x) = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x) (5.4.10) A).u¥ y˜ 0 (x) = c1(x)y 0 1 (x) + c2(x)y 0 2 (x) + c 0 1 (x)y1(x) + c 0 2 (x)y2(x).
令 4(()+(2()=0,(5.41） 则有 (m)=ca(r(x)+c2(r(x)(6.4.12) 及 "()=(r)()+(r)()+c()"(）+c(r)().(5.4.13) 由于h(x)和h2c)是(5.4.2)的解，x)是(5.4.1)的解将(5.4.10).(5.4.12)，5.4.13)式代入 方程(5.4.1)就得到 4()+())=f. 上式与5.411)联立，解出<（任）和(c),取区间中的某一点0，积分就得到 即有 a-em0nnte但0a.641 世(t) 例5.4.4求解微分方程 x”-=x2 解先解对应齐次方程 x”-=0. 该方程有两个显然的解 h()=1,()=x2 下面用常数变易法求原方程的特解.设 x)=ca()+c2(a)r2, 对照(5.4.11)和(5.4.14)，可得 (x)+(x)r2=0, ()=2 于是可取 a间-号aa=-君
· 9 · - c 0 1 (x)y1(x) + c 0 2 (x)y2(x) = 0, (5.4.11) Kk y˜ 0 (x) = c1(x)y 0 1 (x) + c2(x)y 0 2 (x) (5.4.12) 9 y˜ 00(x) = c 0 1 (x)y 0 1 (x) + c 0 2 (x)y 0 2 (x) + c1(x)y 00 1 (x) + c2(x)y 00 2 (x). (5.4.13) duy1(x)⁄y2(x)¥(5.4.2)),˜y(x)¥(5.4.1)),Ú(5.4.10),(5.4.12),(5.4.13) ™ì\ êß(5.4.1)“ c 0 1 (x)y 0 1 (x) + c 0 2 (x)y 0 2 (x) = f(x). ˛™Ü(5.4.11)È·,)—c 0 1 (x)⁄c 0 2 (x),´m•,ò:x0,»©“ c1(x) = − Z x x0 y2(t)f(t) w(t) dt, c2(x) = Z x x0 y1(t)f(t) w(t) dt, =k y˜(x) = Z x x0 y2(x)y1(t) − y1(x)y2(t) w(t) f(t)dt. (5.4.14) ~5.4.4 ¶)á©êß xy00 − y 0 = x 2 . ) k)ÈA‡gêß xy00 − y 0 = 0. Têßk¸áw,) y1(x) = 1, y2(x) = x 2 . e°^~ÍC¥{¶êßA)y˜(x). y˜(x) = c1(x) + c2(x)x 2 , ÈÏ(5.4.11)⁄(5.4.14),å c 0 1 (x) + c 0 2 (x)x 2 = 0, c 0 2 (x) = 1 2 . u¥å c2(x) = x 2 , c1(x) = − x 3 6
10 即 a号 故原方程通解为 v=0+er2+ 注此例求特解可以用公式，但是再用公式时，一定要将方程变成标准形式否 则将会出错例如 mn- 02 正确的是：方程变形为 -y=x 12 1 z2 02t 二阶线性齐次和非齐次方程的通解结构可以推广到阶线性齐次和非齐次方 程 定理5.4.9如果h(,2(.()是线性齐次方程 yo）+pn-1(cyn-1)+.+o(a)g=0(5.415) 的个线性无关解，()是对应非齐次方程 四+p-1(m-1+.+e=f）(5.416) 的一个特解，则方程(5.415)和(5.4.16)的通解分别是 =c1()+c22()+.+cmh( 和 y=c1h(a)+c22(回)+.+cn()+( 班()，().()称为方程(54.15)的基本解组
· 10 · = y˜(x) = x 3 3 . êßœ)è y = c1 + c2x 2 + x 3 3 . 5 d~¶A)å±^˙™,¥2^˙™û,ò½áÚêßC§IO/™,ƒ KÚ¨—Ü.~X y˜(x) = Z x 0 1 t 2 1 x 2 1 t 2 0 2t t 2 dt = 1 8 x 4 . (¥µêßC/è y 00 − 1 x y 0 = x. y˜(x) = Z x 0 1 t 2 1 x 2 1 t 2 0 2t tdt = 1 3 x 3 . Ç5‡g⁄ö‡gêßœ)(å±Ì2n Ç5‡g⁄ö‡gê ß. ½n5.4.9 XJy1(x), y2(x)· · · yn(x)¥Ç5‡gêß y (n) + pn−1(x)y (n−1) + · · · + p0(x)y = 0 (5.4.15) náÇ5Ã'),ye(x)¥ÈAö‡gêß y (n) + pn−1(x)y (n−1) + · · · + p0(x)y = f(x) (5.4.16) òáA),Kêß(5.4.15)⁄(5.4.16)œ)©O¥ y = c1y1(x) + c2y2(x) + · · · + cnyn(x) ⁄ y = c1y1(x) + c2y2(x) + · · · + cnyn(x) + ye(x) y1(x), y2(x)· · · yn(x)°èêß(5.4.15)ƒ )|.