第5章微分方程习题课 1.熟练掌握可分离变量的方程、齐次方程、可降阶的二阶方程F,引，)= 0,F(,")=0的解法. 2.熟练掌握一阶线性齐次及非齐次方程的解法 3.熟练掌握线性齐次方程及非齐次方程的解结构， 4.熟练掌握二阶常系数线性齐次方程的解法 5.熟练掌握二阶常系数线性非齐次方程 y”+p四+gg=Pn(),”+p+qg-Pn(r)e,u∈C的解法.从而会解方程 g"+p+qw=Pn()e,”+pg+gw=P.()cosB,”+p时+gw= Pn(r)ear sin Br. 6.了解Bernoulli及Euler2方程. 7.了解常数变易法 1.(17)(6分)求解方程”+2+=e-. 2.(17)(12分)求初值问题 〔w”-(2= 0)=0)=1 3.(16)(12分)假设g=)满足微分方程，”-3到+2=(3-4红)，且其图像 在点(0,1)处与曲线=2+3+1的图像相切.试具体求出函数) 4.(16)(12分)求解微分方程到'(x)+()cot()=x2csc(r)(0<x<) 5.(15)(10分)求微分方程的通解(sinx)-(cosx)=sin2x+1 6.(15)(10分)求微分方程的通解/”-3+2y=2x. 7.(14)(10分)求方程”+=cos2x的通解 8.13)(4分)设1(e),欢(e),g(e)是二阶线性非齐次方程”+p()+q(c)y= f)的三个不同的非零解，则() (A)a(2()-h(》+c2(()-h()+h((c,c2是任意常数)是该方 程的通解。 (B)c(2()-h()+c2(()-h(e》+班（口）(a,e2是任意常数)不是该 方程的通解。 1
15Ÿ á©êßSKë 1. Ÿˆ›ºå©lC˛êß!‡gêß!å¸ êßF(x, y0 , y00) = 0, F(y, y0 , y00) = 0){. 2. Ÿˆ›ºò Ç5‡g9ö‡gêß){. 3. Ÿˆ›ºÇ5‡gêß9ö‡gêß)(. 4. Ÿˆ›º ~XÍÇ5‡gêß){. 5. Ÿˆ›º ~XÍÇ5ö‡gêß : y 00 + py0 + qy = Pn(x), y00 + py0 + qy = Pn(x)e ux, u ∈ C){. l ¨)êß y 00 + py0 + qy = Pn(x)e αx, y00 + py0 + qy = Pn(x)e αx cos βx, y00 + py0 + qy = Pn(x)e αx sin βx. 6. )Bernoulli9Eulerêß. 7. )~ÍC¥{. 1. (17) (6©) ¶)êßy 00 + 2y 0 + y = e −x . 2. (17) (12©) ¶–äØK. ( yy00 − (y 0 ) 2 = y 4 , y(0) = y 0 (0) = 1. 3. (16) (12©) by = y(x) ˜vá©êßy 00 − 3y 0 + 2y = (3 − 4x)e x , ÖŸ„î 3:(0, 1) ?ÜÇy = x 2 + 3x + 1 „îÉÉ. £‰N¶—ºÍy(x). 4. (16) (12©) ¶)á©êßy 0 (x) + y(x) cot(x) = x 2 csc(x) (0 < x < π). 5. (15) (10©) ¶á©êßœ)(sin x)y 00 − (cos x)y 0 = sin2 x + 1. 6. (15) (10©) ¶á©êßœ)y 00 − 3y 0 + 2y = 2x. 7. (14) (10©) ¶êßy 00 + y = cos2 xœ). 8. (13) (4©) y1(x), y2(x), y3(x)¥ Ç5ö‡gêßy 00 + p(x)y 0 + q(x)y = f(x)náÿ”ö"),K( ) (A) c1(y2(x) − y1(x)) + c2(y3(x) − y1(x)) + y1(x)(c1, c2¥?ø~Í)¥Tê ßœ). (B) c1(y2(x) − y1(x)) + c2(y3(x) − y1(x)) + y1(x)(c1, c2¥?ø~Í)ÿ¥T êßœ). 1
·2 (C)ca((e)-h(e》+c2((e)-h(x》+h(c)(c1,c2是任意常数)是该方 程的解 (D)c1(2()-h(》+c2(购(x)-h(》+功（任）(1，c2是任意常数)不是该 方程的解. 9.(13(10分)求方程-2+影=xe2的通解 10.(12)求下面微分方程的通解或初值问题 (a(10分)”-3+2g=2x-3.(6)(10分)y"+()2=,y0)=(0=1 解(a)y=qe2+c2e2r+工. )令/=)，得密+刀=1，解得p-1+Gey,由初始条件知1=0从 而p=1,于是=x+2,再由初始条件得c2=1,所以y=x+1. 11.(1)(4分)设()，2(，(c)线性无关，且都是二阶线性非齐次方程”+（工）+ q)y=f()的解，其中n(),q(r,f()均为连续函数，A,2为任意常数，则非齐次 方程的通解为D) (A)h+c2+ (B)c11+c22-(+c2 (Cc1h1+c22-(1-c1-c2)g (D)c1h1+c22+(1-c1-c2)欧 2四8分求定解陶s名- 的解 0)=1 13.(11)(15分)求”+a2y=8 cos br的通解，其中a>0,b>0为相同或不同的常数. 解对应的齐次方程的特征方程为2+a2=0,特征根为士i,其通解为c1 c0+ c2 sinar,下面考虑方程/”+a2y=8ebr(). 令可=zeb恤代人（内，得方程”+2i+(@2-2)z=8 当≠时，取：=。二示此时门方程有特解。二，则原方程有特 解28 任造常数 m虹，原方程的适解为y=白caear+。二示，为 当a=时设：=A红则A=高此时有特解 xeir,则原方程有特 解血b，所以原方程的通解为=1 c+s血ar+号d,G,为任 意常数
· 2 · (C) c1(y2(x) − y1(x)) + c2(y3(x) − y1(x)) + y1(x)(c1, c2¥?ø~Í)¥Tê ß). (D) c1(y2(x) − y1(x)) + c2(y3(x) − y1(x)) + y1(x)(c1, c2¥?ø~Í)ÿ¥T êß). 9. (13) (10©) ¶êßy 00 − 2y 0 + y = xexœ). 10. (12) ¶e°á©êßœ)½–äØK (a) (10©) y 00−3y 0+2y = 2x−3. (b) (10©) y 00+(y 0 ) 2 = y 0 , y(0) = y 0 (0) = 1. ) (a) y = c1e x + c2e 2x + x. (b) -y 0 = p(y), dp dy + p = 1,)p = 1 + c1e −y ,d–©^ác1 = 0,l p = 1,u¥y = x + c2,2d–©^ác2 = 1,§±y = x + 1. 11. (11) (4©) y1(x), y2(x), y3(x)Ç5Ã',Ö—¥ Ç5ö‡gêßy 00+p(x)y 0+ q(x)y = f(x)),Ÿ•p(x), q(x), f(x)˛èÎYºÍ,c1, c2è?ø~Í,Kö‡g êßœ)è( D ) (A) c1y1 + c2y2 + y3 (B) c1y1 + c2y2 − (c1 + c2)y3 (C) c1y1 + c2y2 − (1 − c1 − c2)y3 (D) c1y1 + c2y2 + (1 − c1 − c2)y3 12. (11) (8©) ¶½)ØK ( dy dx = 2012x+y y(0) = 1 ). ) ©lC˛)êßœ)è2012x + 2012−y = c,ì 0, b > 0èÉ”½ÿ”~Í. ) ÈA‡gêßAêßèλ 2+a 2 = 0,Aäè±ai,Ÿœ)èc1 cos ax+ c2 sin ax,e°ƒêßy 00 + a 2y = 8e ibx (∗). -y˜ = zeibxì<(*),êßz 00 + 2biz0 + (a 2 − b 2 )z = 8. (1) a 6= bû,z = 8 a 2 − b 2 ,dû(*)êßkA) 8 a 2 − b 2 e ibx ,KêßkA ) 8 a 2 − b 2 cos bx,êßœ)èy = c1 cos ax+c2 sin ax+ 8 a 2 − b 2 cos bx, c1, c2è ?ø~Í. (2) a = bû,z = Ax,KA = 4 ib ,dû(*)kA) 4 ibxeibx ,KêßkA ) 4x b sin bx,§±êßœ)èy = c1 cos ax + c2 sin ax + 4x b sin bx, c1, c2è? ø~Í
3 14.(10)(9分)求解初值问题2”=1+户，0)=1,0)=1，要求把解x)表示 成x的显函数. 15.(10)(9分)求微分方程”+=e2的通解。 答案到-号+6m+血 16.(10)(4分)已知方程x”-=r2的解为多项式形式，其通解为y=c9+c22+x3 17.(09)(4分)设g=fx)是方程/”-2y+eng=0的一个解，且f(x0)=0.则y fe)在0处(A)】 (A)取极大值(B)取极小值(C)某邻域内单调增(D)某邻域内单调减 18.(09)(4分)设g=e(qinx+2csx,(C,2为任意常数)为某二阶常系数线性 齐次方程的通解，则该方程为 (化为二阶导数前的系数为1) 19.(09)(12分)求方程/”+2r(2-0,满足初始条件0)=1，(0)=-的特解 20.(09)(12分)求微分方程”+4+4划=cr的通解，其中a为常数. 21.(08)设y=f倒在0，+o∞)上可导，f0)=0,且反函数为g(r.已知f)t+ 求(1)=f(x)满足的方程.(2)求=f(x)的表达式. 2.(08)已知g=是x2/+可-=0的-个解，则2+-y=3x2的通解 为 23.(07)设1，欢，%为微分方程”+(c)川+q(划=(z)的三个不同的解，且1二距不 是常数，则方程的通解为 24.(07)求”-3+2y=xc的通解。 25.(06)设y=x)具有直到22阶的连续导数，2=(2)20 ()试用y的各阶导数来表示z与”. (②)设y满足方程r2y2)+44ry2)+(462+x2)y20)+40uy19)+380y18+z= 0.试写出z所满足的二阶微分方程，并求出通解
· 3 · 14. (10) (9©)¶)–äØK2yy00 = 1 + y 02 , y(0) = 1, y0 (0) = 1,á¶r)y(x)L´ §xwºÍ. âY:y = x 2 2 + x + 1. 15. (10) (9©)¶á©êßy 00 + y = e 2xœ). âY:y = e 2x 5 + c1 cos x + c2 sin x. 16. (10) (4©)Æêßxy00−y 0 = x 2)èıë™/™,Ÿœ)èy = c1 + c2x 2 + x 3/3. 17. (09) (4©)y = f(x)¥êßy 00 − 2y 0 + e sin y = 0òá),Öf 0 (x0) = 0,Ky = f(x)3x0?( A ) (A) 4åä (B) 4ä (C) ,çS¸NO (D) ,çS¸N~ 18. (09) (4©)y = e x (c1 sin x+c2 cos x), (c1, c2è?ø~Í)è, ~XÍÇ5 ‡gêßœ),KTêßè .(zè ÍcXÍè1). 19. (09) (12©)¶êßy 00 + 2x(y 0 ) 2 = 0,˜v–©^áy(0) = 1, y0 (0) = − 1 2 A). 20. (09) (12©)¶á©êßy 00 + 4y 0 + 4y = e axœ),Ÿ•aè~Í. 21. (08) y = f(x)3[0, +∞)˛å,f(0) = 0,ÖáºÍèg(x).Æ Z x 0 tf(t)dt + Z f(x) 0 g(t)dt = x 2 e x . ¶(1) y = f(x)˜vêß. (2) ¶y = f(x)Là™. 22. (08) Æy = 1 x ¥x 2y 00 + xy0 − y = 0òá),Kx 2y 00 + xy0 − y = 3x 2œ) è . 23. (07) y1, y2, y3èá©êßy 00+p(x)y 0+q(x)y = f(x)náÿ”),Ö y1 − y2 y2 − y3 ÿ ¥~Í,Kêßœ)è . 24. (07) ¶y 00 − 3y 0 + 2y 0 = xexœ). 25. (06) y = y(x)‰kÜ22 ÎYÍ,z = (x 2y) (20) (1) £^yà Í5L´zÜz 00 . (2) y˜vêßx 2y (22)+44xy(21)+(462+x 2 )y (20)+40xy(19)+380y (18)+x = 0.£—z§˜v á©êß,ø¶—œ).
4 2流.求划+=1十五的适解 27.(05)求/”-3y+2y=2x2e-x的通解 28.(04)求”-+y=2的通解。 29.o设fa)=r+厂f0t,其中a为连续函数求 30.(03)求”+=e-z的通解 31.(02)求x/+xy=1的通解， 32.(02)求”+y=xC的通解 33.(02)求（红+1）”+x可-y=1的通解，(y=e是对应的齐次方程的一个解). 以上是历年的期末考试题，下面再补充几题 1.用变量代换x=cos七，(0<t<),化简方程(1-x2)”-+=0,并求其满 足=0=1,1=0=2的解。 2.设位于第一象限的曲线=化过点（停其上任意一点户，）处的法线 与轴的交点为Q,且线段PQ被x轴平分. ()求g=f)的方程. (②)已知曲线y=s血x在0，上的弧长为，试用1表示曲线g=fx)的弧 长5 3.函数=)在(-oo,+o∞)内有二阶导数，且g≠0，x-x()是y=()的反函 数. 四试将：=0)所满足的方程票+山+如（偏）'=0变换为 )的方程. (②)求变换后的微分方程满足初始条件0)=0,0)=的解
· 4 · 26. (05) ¶y 0 + 1 x y = 1 1 + x 2 .œ). 27. (05) ¶y 00 − 3y 0 + 2y = 2x 2 e −xœ). 28. (04) ¶y 00 − y 0 + y = xexœ). 29. (04) f(x) = x + Z x 0 f(t)dt,Ÿ•f(x)èÎYºÍ,¶f(x). 30. (03)¶y 00 + y = e −xœ). 31. (02) ¶x 3y 0 + xy = 1œ). 32. (02) ¶y 00 + y = xexœ). 33. (02) ¶(x + 1)y 00 + xy0 − y = 1œ),(y = e −x¥ÈA‡gêßòá)). ±˛¥{cœ"£K,e°2÷øAK. 1. ^C˛ìÜx = cost, (0 < t < π),z{êß(1 − x 2 )y 00 − xy0 + y = 0,ø¶Ÿ˜ vy|x=0 = 1, y0 |x=0 = 2). 2. †u1òñÅÇy = f(x)L:( √ 2 2 , 1 2 ),Ÿ˛?øò:P(x, y)?{Ç Üy¶:èQ,ÖÇ„P Qx¶²©. (1) ¶y = f(x)êß. (2) ÆÇy = sin x3[0, π]˛lèl,£^lL´Çy = f(x)l S. 3. ºÍy = y(x)3(−∞, +∞)Sk Í,Öy 0 6= 0, x = x(y)¥y = y(x)ẠÍ. (1) £Úx = x(y)§˜vêß d 2x dx2 + (y + sin x) dx dy 3 = 0,CÜèy = y(x)êß. (2) ¶CÜá©êߘv–©^áy(0) = 0, y0 (0) = 3 2 ).