常用积分表 CHANGYONG JIFENBIAO 《常用积分表》编委会 中国科学技术大学出版社
前 言 这本《常用积分表》是我们在参考国内外众多数学手册和积分 表的基础上，选取最基本、最常用的积分公式编纂而成的，它适合大 学生们使用，也可供教学和研究人员、工程技术人员参考 本书包含最常用的初等函数和特殊函数的不定积分与定积分 公式2552个，另外还有203个积分变换公式.积分公式中遇到的所 有函数（包括被积函数和积分后的函数）的定义和基本性质都可以 在附录中查到 为了节省篇幅，我们将不定积分公式中等式右边的任意常数都 省略了.例如，在积分公式 cosrdr sinr+C 中，我们省去C,而写成 cosadr sinz 但是，在使用这些公式做计算或练习时，一定要记住把积分常数加 上去 按照惯例，积分变量x,t和参数a,b,d取实数，1.m,n取整 数：当有其他限制时，相应公式后面的括号中会给出说明或注释. 为便于查阅和使用，我们尽量将一个积分公式编排在一个页面 上.当无法避免一个积分公式分排两面时·我们在前一面的右下角 用符号“→”标明，以提醒读者。 本书分个部分，分别是不定积分表，定积分表，积分变换表和 附录，不定积分表又分为初等函数的不定积分和特殊函数的不定积
常用积分表 分两个部分，定积分表也分为初等函数的定积分和特殊函数的定积 分两个部分，在积分变换表中，我们只选入常用的拉普拉斯变换和 傅里叶变换以及傅里叶正弦，余弦变换.附录中给出了初等函数的 定义及其相关公式和特殊函数的定义及其基本性质.常用的初等函 数的导数表、初等函数的级数展开表也放在附录中，自然科学基本 常数和国际单位制被编列在附录的末尾 本书中积分公式的序号是按初等函数的不定积分、特殊函数的 不定积分、初等函数的定积分、特殊函数的定积分4个部分分别编 列的.需要注释的符号和函数都在一个小节中首次出现时给出：在 同一小节中，该符号具有相同的意义，但不遍及其他小节 因为这是一本常用的积分表，所以所有的公式都没有注明出 处.尽管如此，我们还是在书末列出了主要的参考书目，以便读者查 找时参考 我们感谢中国科学技术大学国家同步辐射实验室和中国科学 技术大学出版社对出版这本工具书的大力支持. 对书中的缺，点和错误，诚望读者指正. 《常用积分表》编委会 2009年4月
包 录 前言.I I不定积分表.1 I,1初等函数的不定积分.1 I.1.1基本积分公式.1 I.1.2包含多项式、有理分式和无理分式的不定积分.3 I.l.2.1含有a十bx的积分.3 I.1.2.2含有a十bx和c+dx的积分 *44e5 I.1.2.3含有a十bx的积分.7 I.1.2.4含有1士x的积分.9 I.1,2.5含有2十x的积分.12 I.1,2.6含有2一x2的积分.13 I.1.2n7含有3土x3的积分.14 I.1.2.8含有c十x的积分.16 .1.2.9含有-x的积分.17 I.1.2.10含有a+bx+cx2的积分 .18 I.1,2.11含有a十bx和匠的积分.19 I.1.2.12含有√a+b7和a十红的积分.20 I.1.2.13含有√a+bz和V+dz的积分.22 I.1.2.14含有√a+bx和(a+bx)的积分.23 I.1.2.15含有√2士2的积分.26 I.1.2.16含有a2x的积分.30
常用积分表 I.1.2.17含有a十6z十c的积分.34 I.1.2.18含有√bx+cx和√bx-cz的积分.37 I.1.2.19含有a十c和的积分.38 I.1.2.20含有√2ar一x和V√2ax十x的积分 .40 I.1.2.21其他形式的代数函数的积分.41 1.1.3三角函数和反三角函数的不定积分.44 I.L.3.1含有sin"a.z,cos"ax,tana.x,cot'ax,sec"ax,csca.r的 积分.44 I.l.3.2含有sin"axcos'ar的积分.47 【.13含有和的积分 .47 I.l.3.4含有x"sin'ax和x"cos'ax的积分 .50 115含有oa的分 .52 I.1.3.6含有sina.sinbx,sinaxcosbr和cosa.rcosba的积分.55 1.1及7含有na2az的税分.57 1 [.1.3.8含有1士siax和1士coSar的积分.58 I.1.3.9含有a土bsincx和a士bcoscr的积分.59 1.1.3.10含有1±bsin'ax,1±bcos2ax和c2土sin2ax, c2士c0s2a江的积分.61 I.1.3.1】含有psinax十g00sax的积分.63 I.l.3.12含有p2sin2a.x士dcos2ax的积分 .64 I.l.3.13含有sin"z,cOs"I与sinnr,cosr组合的积分.65 I.1.3.14含有sin(ax+b)和cos(cx+d)的积分 65 I.1.3.15含有√1士sinax和V1士cosa.x的积分 .66 I.1.3.16含有√1士sin2a.z和√土cos ar的积分.67 I.1.3.17含有√个一k2$inx和√a2simx-1的积分.69 I.1.3.18含有tanax和cotax的积分.71 I.1.3.19三角函数与代数函数组合的积分.72 I.1.3.20三角函数与指数函数和双曲函数组合的积分.73 I.1.3.21含有sinx2,cosx2和更复杂自变数的三角函数的积分.74 I.1.3.22反三角函数的积分. .75
目录 V I.1.4对数函数、指数函数和双曲函数的不定积分.78 I.1.4.1对数函数的积分 .78 I.1.4.2指数函数的积分.82 I.1.4.3双曲函数的积分.86 I.1.4.4双曲函数与幂函数、指数函数和三角函数组合的积分.94 .1.4.5反双曲函数的积分.97 I,2特殊函数的不定积分 .100 1.2.1完全椭圆积分的积分 .100 I.2.2勒让德椭圆积分（不完全椭圆积分）的积分.101 I.2.3指数积分函数的积分.102 I.2.4正弦积分和余弦积分函数的积分.103 I.2.5概率积分和菲涅耳函数的积分.104 I.2.6贝塞尔函数的积分.104 Ⅱ定积分表. .105 Ⅱ.1.初等函数的定积分.105 Ⅱ.1.1幂函数和代数函数的定积分.105 Ⅱ.1.1.1含有x和a°士x2的积分.105 Ⅱ.1.1.2含有a十x”,a十bx和a十2bx十cx2的积分.107 Ⅱ.1.1.3含有x士和1士的积分.109 Ⅱ.1.1.4含有√士x的积分.110 Ⅱ，1.2三角函数和反三角函数的定积分.112 Ⅱ.1.21含有sirx,cosx,tanz的积分，积分区间为[0，受].112 Ⅱ.1.2.2含有sinx,cosx,tan'x的积分，积分区间为[0，r].113 Ⅱ.1.2.3含有sinx和coSnz的积分，积分区间为[0，π].114 Ⅱ.1.2.4含有simx和COSnZ的积分，积分区间为-元，x].115 .1.2.5含有其他倍角三角函数的积分.116 Ⅱ.1.2.6含有三角函数的代数式的积分，积分区间为[0.受].17 Ⅱ.1.2.7含有三角函数的代数式的积分，积分区间为[0，π].119 Ⅱ.1.2.8三角函数的幂函数的积分 .120 Ⅱ.1.2.9三角函数的幂函数与线性函数的三角函数组合的积分.120
常用积分表 Ⅱ.1.2.10三角函数的幂函数与三角函数的有理函数组合的积分.121 Ⅱ.1.2.11含有三角函数的线性函数的幂函数的积分.122 Ⅱ.1.2.12含有其他形式的三角函数的幂函数的积分.123 Ⅱ.12.13更复杂自变数的三角函数的积分.125 Ⅱ.1.2.14三角函数与有理函数组合的积分.127 Ⅱ.1.2.15三角函数与无理函数组合的积分.130 Ⅱ.1.2.16三角函数与幂函数组合的积分.131 Ⅱ.1.2.17三角函数的有理函数与x的有理函数组合的积分.132 Ⅱ.1.2.18三角函数的幂函数与x的幂函数组合的积分.133 Ⅱ.1.2.19含有sin'ax,cosax,tan'ar和组合的积分，积分 区间为[0,0∞].135 Ⅱ.1.2.20含有V1士sin zi和√个士k2cosx的积分.136 Ⅱ.1.2.21更复杂自变数的三角函数与幂函数组合的积分.137 Ⅱ.1.2.22三角函数与指数函数组合的积分.139 Ⅱ.1.2.23三角函数与指数函数和幂函数组合的积分，积分 区间为[0,6].140 Ⅱ.1.2.24三角函数与三角函数的指数函数组合的积分.141 Ⅱ.1.2.25三角函数与双曲函数组合的积分.141 Ⅱ.1.2.26三角函数与双曲函数和幂函数组合的积分.142 Ⅱ.1.2.27三角函数与双曲函数、指数函数和幂函数组合的积分.142 Ⅱ.1.2.28反三角函数与幂函数和代数函数组合的积分.143 Ⅱ.1.2.29反三角函数与三角函数、指数函数和对数函数组合的 积分.146 Ⅱ.1.3指数函数和对数函数的定积分， .147 Ⅱ.1.3.1含有e",w,em2的积分.147 1.】.3.2含有更复杂自变数的指数函数的积分.149 Ⅱ.1.3.3指数函数的有理式与幂函数和有理函数组合的积分.149 Ⅱ.1.34指数函数与有理函数组合的积分.152 Ⅱ.1.3.5指数函数与无理函数组合的积分 .152 Ⅱ.1.3.6指数函数的代数函数与幂函数组合的积分.153 Ⅱ.1.3.7更复杂自变数的指数函数与幂函数组合的积分.154 .l.3.8含有对数函数nx和(nx)”的积分.155
目录 Ⅱ.1.3.9含有更复杂自变数的对数函数的积分.156 Ⅱ.1.3.10对数函数与有理函数组合的积分.159 Ⅱ.1.3.11对数函数与无理函数组合的积分.160 Ⅱ.1.3.12对数函数与幂函数和有理函数组合的积分.160 Ⅱ.1.3.13含有对数函数的幂函数的积分161 Ⅱ.1.3.14更复杂自变数的对数函数与代数函数组合的积分.162 Ⅱ.1.3.15对数函数与指数函数组合的积分 163 Ⅱ.L.3.16对数函数与三角函数组合的积分.164 Ⅱ.1.3.17对数函数与三角函数、指数函数、双曲函数和幂函数 组合的积分. .166 Ⅱ.1.4双曲函数和反双曲函数的定积分.167 Ⅱ.1.4.1含有sinha.x和coshbx的积分，积分区间为[0，∞].167 Ⅱ.1.4.2双曲函数与指数函数组合的积分.170 Ⅱ.1.4.3反双曲函数的积分.170 Ⅱ.1.5重积分. .172 Ⅱ.1.5.1积分次序和积分变量交换的积分 172 Ⅱ.L.5.2具有常数积分限的二重积分和三重积分.173 Ⅱ.2特殊函数的定积分 .17 .2.1椭圆函数的定积分. 174 Ⅱ.2.1.1椭圆积分的积分.17 ‖.2.1.2椭圆积分相对于模数的积分.175 Ⅱ.2.1.3完全椭圆积分相对于模数的积分.175 Ⅱ.2.2指数积分、正弦积分等函数的定积分.176 Ⅱ.2.2.1指数积分的积分. 176 重.2.2.2对数积分的积分.177 Ⅱ.2.2.3正弦积分和余弦积分函数的积分.177 Ⅱ.2.2.4概率积分函数的积分 .179 Ⅱ.2.2.5菲涅耳函数的积分. .179 】.2.3加马(Gamma))函数的定积分.180 Ⅱ.2.3.1伽马函数的积分.180 1.2.3.2你马函数与三角函数组合的积分.181 】.2.3.3伽马函数的对数的积分.181 2.3.4函数的积分.182
常用积分表 Ⅱ.2.4贝塞尔(Bessel)函数的定积分 .183 Ⅱ.2.4.1贝塞尔函数的积分 .183 Ⅱ.2.4.2贝塞尔函数与x组合的积分 .184 Ⅱ.2.4.3贝塞尔函数与代数函数组合的积分.185 Ⅱ.2.4.4贝塞尔函数与幂函数组合的积分.186 .2.4.5贝塞尔函数与三角函数组合的积分.187 Ⅱ.24.6贝塞尔函数与指数函数和幂函数组合的积分.189 1.2.4.7贝塞尔函数与对数函数或双曲函数组合的积分.190 Ⅱ.2.5勒让德(Legendre)函数和连带勒让德函数的定积分.191 .2.5.1连带勒让德函数的积分.191 Ⅱ.2.5.2勒让德多项式与代数函数组合的积分 191 Ⅱ.2.5.3勒让德多项式与其他初等函数组合的积分.192 .2.6正交多项式的定积分.193 Ⅱ.26.1埃尔米特(Hermite)多项式的积分.193 Ⅱ.2.6.2拉盖尔(Laguerre)多项式的积分.194 Ⅱ.2.78函数的定积分.195 Ⅲ积分变换表.196 Ⅲ.1拉普拉斯(Laplace)变换 .196 l.2傅里叶(F0 urier)变换.203 Ⅲ.3傅里叶(Fourier)正弦变换.208 Ⅲ.4傅里叶(Fourier))余弦变换.21l 附录 .213 N.1常用函数的定义和性质.213 N.1.1初等函数.213 下.L.1.】幂函数和代数函数. 213 下.1.1.2指数函数和对数函数. 214 N,1.1.3三角函数和反三角函数 .215 .1.1.4双曲函数和反双曲函数.219 N.1.2特殊函数.222 .1.2.1函数（第二类欧拉积分）.222
目灵 下.1.2.2B函数（第一类欧拉积分） .225 .1.2.3函数.225 下.1.2.4误差函数erf(x)和补余误差函数erfc(.x).227 V.1.2.5菲涅耳(Fresnel)函数S(z)和C(x).228 N.1.2.6正弦积分Si(x),si()和余弦积分Ci()ci(z).228 N.1.2.7指数积分Ei()和对数积分li().229 NY.1.2.8勒让德(Legendre)椭圆积分F(k,p),E(k,g),Ⅱ(h,k,o).230 N.1.2.9完全椭圆积分K(k),E(k),I(h,k). .231 N.1.2.10贝塞尔(Bessel)函数（柱函数）J(z),八(x),H(≈)， H2》(z),L(）,K(g).232 W.1.2.11勒让德(Legendre)函数（球函数）Pn(x)和Q.(.r).239 N.1.2.12连带勒让德函数P(x)和Q(x).241 N.1.2.13埃尔米特(Hermite)多项式H.(.x).242 W.l.2.l4拉盖尔(Laguerre)多项式L(.x)和连带拉盖尔多项式 1(.x) .243 V.1.2.158函数 .24 ,2常用导数表.246 V.3常用级数展开.249 N.3.1 二项式函数.249 .3.2指数函数.250 W.3.3对数函数.251 W.34三角函数.252 W.35反三角函数.253 V.3.6双曲函数.254 .3.7反双曲函数.255 W.4自然科学基本常数.256 下.4.】数学常数.256 V,4.1.】常数π（圆周率）.256 W.4.1.2常数（自然对数之底）.257 V.4.1.3欧拉(Euler)常数y .257 下.4.1.4黄金分割比例常数中.257 .4.1.5卡塔兰(Ca1alan)常数G.258 八.1.6伯努利(Bernoulli)多项式Bn(.r)和伯努利数B。.258