目录 符号表 2 第一章事件的概率 1 第二章随机变量及其分布 第三章随机变量的数字特征 第四章参数估计 23 第五章假设检验
目录 符号表 2 第一章 事件的概率 1 第二章 随机变量及其分布 7 第三章 随机变量的数字特征 16 第四章 参数估计 23 第五章 假设检验 29 1
符号表 IA(z) 集合A的示性函数，IA()=1,当x∈A:1A()=0,当xA B(n.p) 二项分布，0<p<1 P(A) 参数为入的泊松分布 U(a,b) 区间(a,)(-0<a<b<∞)上的均匀分布，概率密度函数 f()=(a<<b) N(4,a2) 均值为山，方差为g2的正态分布 Exp(X) 指数分布，均值为1/入.概率密度函数为 f(r)=Ae-AzI(0<z<oo)
符号表 IA(x) 集合 A 的示性函数, IA(x) = 1,当 x ∈ A; IA(x) = 0,当 x /∈ A B(n, p) 二项分布, 0 < p < 1 P(λ) 参数为 λ 的泊松分布 U(a, b) 区间 (a, b) (−∞ < a < b < ∞) 上的均匀分布, 概率密度函数 f(x) = 1 (b−a) I(a < x < b) N(µ, σ2 ) 均值为 µ, 方差为 σ 2 的正态分布 Exp(λ) 指数分布, 均值为 1/λ. 概率密度函数为 f(x) = λe−λxI(0 < x < ∞)
第一章 事件的概率 1.写出下列随机试验的样本空间： ()随机抽查10户居民，记录家中有计算机的户数 (2)统计某本书中印刷错误的字数 (3)同时掷n枚硬币，观察国微向上的个数 (④)以原点为圆心的单位圆内随机抽取一点。 2.设有A,B,C三个事件，试用集合运算表示下列事件. (1)只有B发生.（②）A,B发生，但C不发生. (③)至少一个事件发生 (④至少两个事件发生 (⑤)仅有两个事件发生. (6)至多一个事件发生】 (T)至多两个事件发生 3.设X为随机变量，其样本空间0,2，记事件A={1/2<x≤1，B={1/4<x≤ 3/2头，写出下列各事件 (1)AB (2)AUB (3)AB (4)B. 4.证明：若A.B为两事件，则 (I)A+B=A+(B-A),右边两事件互斥 (②)A+B=(A-B)+(B-A)+AB,右边三事件互斥. 5.试把任意n个事件A1,.,An之和表示为n个互斥事件之和， 6.根据英国某地区居民调查的材料知：父子都是黑眼晴(AB)的人数占调查人数的比例 为5%.父亲是黑眼睛但儿子为浅色眼睛(AB)的比例为79%，父亲是浅色眼睛而儿 子为黑眼睛(AB)的比例为8.9%，父子都是浅色眼睛(AB)的比例为79.2%.试问这 一调查材料是否有误？ 7.一种彩票游戏规则如下：每张彩票可以从1·33中不重复的任选7个数字，开奖时由 摇奖机在1-33中开出7个基本号和1个特别号（均不重复）.彩票号码如果与基本 1
第一章 事件的概率 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 随机抽查 10 户居民, 记录家中有计算机的户数. (2) 统计某本书中印刷错误的字数. (3) 同时掷 n 枚硬币, 观察国徽向上的个数. (4) 以原点为圆心的单位圆内随机抽取一点. 2. 设有 A, B, C 三个事件, 试用集合运算表示下列事件. (1) 只有 B 发生. (2) A, B 发生, 但 C 不发生. (3) 至少一个事件发生. (4) 至少两个事件发生. (5) 仅有两个事件发生. (6) 至多一个事件发生. (7) 至多两个事件发生. 3. 设 X 为随机变量, 其样本空间 [0, 2], 记事件 A = {1/2 < x ≤ 1}, B = {1/4 < x ≤ 3/2}, 写出下列各事件 (1) AB (2) A ∪ B (3) AB (4) A B. 4. 证明: 若 A, B 为两事件, 则 (1) A + B = A + (B − A), 右边两事件互斥. (2) A + B = (A − B) + (B − A) + AB, 右边三事件互斥. 5. 试把任意 n 个事件 A1, · · · , An 之和表示为 n 个互斥事件之和. 6. 根据英国某地区居民调查的材料知: 父子都是黑眼睛 (AB) 的人数占调查人数的比例 为 5%, 父亲是黑眼睛但儿子为浅色眼睛 (AB¯) 的比例为 7.9%, 父亲是浅色眼睛而儿 子为黑眼睛 (AB¯ ) 的比例为 8.9%, 父子都是浅色眼睛 (A¯B¯) 的比例为 79.2%. 试问这 一调查材料是否有误? 7. 一种彩票游戏规则如下: 每张彩票可以从 1 - 33 中不重复的任选 7 个数字, 开奖时由 摇奖机在 1 - 33 中开出 7 个基本号和 1 个特别号 (均不重复). 彩票号码如果与基本 1
号全部对上（不计次序），为一等奖；对上6个基本号和特别号，为二等奖；对上6个基 本号，为三等奖：对上5个基木号和特别号，为四等奖.试分别求一、二、三、四等奖 的获奖概率. 8.考虑上题彩票游戏的一个变种：开奖方式不变，每张彩票只填两个不重复的号码，如 果这两个号码出现在基木号中即为中奖.问此时中奖的概率是多少？如果每张彩票可 以填三个不同的号码，中奖的概率又是多少？ 9.一间宿舍内住有6位同学，其中至少有2个人生日在同一个月份的概率。 10.现投掷三枚均匀骰子，试求恰好有两枚出现相同点数的概率 11.盒子中放有10个分别标有号码1,2，·，10的小球，从中随机抽取3个球.试对有放 回和无放回两种抽取方式分别求 ()三个球的号码都不大于7的概率」 (②)球上的最大号码为7的概率 12.·设有n个人随机地坐到礼堂第一排的N个座位上，试求下列事件的概率 (①)任何人都没有邻座. (②)每人恰有一个邻座 (③)关于中央对称的两个座位至少有一个空着。 13.考虑一元二次方程x2+Bx+C=0,其中B,C分别是将一枚均匀骰子连掷两次先后 出现的点数.求该方程有实根的概*和有重根的概*. 14.·抛掷一枚均匀硬币2+1次，试求正面出现的次数多于反面的概率。 15.甲投掷n+1枚均匀硬币，乙投掷n枚均匀硬币.试求甲的正面比乙的正面多这一事 件的概率。 16.*设两个赌徒的赌技相同，每赌一局都可分出胜负.现在两人各出500元赌资，事先约 定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本但赌博在中途被打断了，此时第一个赌徒还 需赢得局才能获胜，第二个赌徒还需意得刀局才能获胜，问此时应如何划分赌本才 比较合理. 17.父亲为了鼓励儿子打网球，宜称如果儿子能够赢得与父亲和教练的三场比赛中的连续 两场，就可获得一笔奖金.儿子可以选择比赛的顺序为：父亲一教练-父亲，或者教 练-父亲-教练.已知教练比父亲打得好.为了增加获得奖金的机会，儿子应该选择 哪个顺序？
号全部对上 (不计次序), 为一等奖; 对上 6 个基本号和特别号, 为二等奖; 对上 6 个基 本号, 为三等奖; 对上 5 个基本号和特别号, 为四等奖. 试分别求一、二、三、四等奖 的获奖概率. 8. 考虑上题彩票游戏的一个变种: 开奖方式不变, 每张彩票只填两个不重复的号码, 如 果这两个号码出现在基本号中即为中奖. 问此时中奖的概率是多少? 如果每张彩票可 以填三个不同的号码, 中奖的概率又是多少? 9. 一间宿舍内住有 6 位同学, 其中至少有 2 个人生日在同一个月份的概率. 10. 现投掷三枚均匀骰子, 试求恰好有两枚出现相同点数的概率. 11. 盒子中放有 10 个分别标有号码 1, 2, · · · , 10 的小球, 从中随机抽取 3 个球. 试对有放 回和无放回两种抽取方式分别求 (1) 三个球的号码都不大于 7 的概率. (2) 球上的最大号码为 7 的概率. 12. ∗ 设有 n 个人随机地坐到礼堂第一排的 N 个座位上, 试求下列事件的概率: (1) 任何人都没有邻座. (2) 每人恰有一个邻座. (3) 关于中央对称的两个座位至少有一个空着. 13. 考虑一元二次方程 x 2 + Bx + C = 0, 其中 B, C 分别是将一枚均匀骰子连掷两次先后 出现的点数. 求该方程有实根的概率和有重根的概率. 14. ∗ 抛掷一枚均匀硬币 2n + 1 次, 试求正面出现的次数多于反面的概率. 15. 甲投掷 n + 1 枚均匀硬币, 乙投掷 n 枚均匀硬币. 试求甲的正面比乙的正面多这一事 件的概率. 16. ∗ 设两个赌徒的赌技相同, 每赌一局都可分出胜负. 现在两人各出 500 元赌资, 事先约 定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本. 但赌博在中途被打断了, 此时第一个赌徒还 需赢得 m 局才能获胜, 第二个赌徒还需赢得 n 局才能获胜, 问此时应如何划分赌本才 比较合理. 17. 父亲为了鼓励儿子打网球, 宣称如果儿子能够赢得与父亲和教练的三场比赛中的连续 两场, 就可获得一笔奖金. 儿子可以选择比赛的顺序为: 父亲 – 教练 – 父亲, 或者 教 练 – 父亲 – 教练. 已知教练比父亲打得好. 为了增加获得奖金的机会, 儿子应该选择 哪个顺序? 2
18.甲乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知在每局中甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4. 比赛可采用三局两胜制或五局三胜制，问哪一种比赛制度对甲更有利？ 19.一栋20层楼中的一架电梯在底层（第一层）上来8位乘客.电梯在每一层都停，设每 位乘客在每层离开是等可能的，求没有两位乘客在同一层离开的概率. 20.某路公共汽车共有11个停车站，由始发站开车时车上共有8名乘客.假设每人在各站 (始发站除外)下车的概率相同.试求下列各事件的概帝： (①)8人在不同的车站下车 (2)8人在同一车站下车. (③)8人中恰有3人在终点站下车 21.在一种双骰子博弈中，玩家投两枚骰子，如果其和是7或11，则玩家赢：如果其和是2。 3或者12，玩家输：若是其他结果时就继续玩，直到玩家输或者赢为止.计算玩家赢的 概率 22.掷三枚硬币，已知其中有一枚出现了正面，求至少出现一枚反面的概率 3.掷三颗骰子，已知所得三个数都不相同，求含有1点的概率。 24.投掷两枚酸子，问至少有一个是6的概率是多少？若这两个面不一样，求至少有一个 是6的概率. 25.在某个社区，60%的家庭拥有汽车，30%的家庭拥有房产，而20%的家庭既有汽车又 有房产，随机选取一个家庭，求此家庭或有汽车或有房产但不是两者都有的概率。 26.甲和乙两人同时独立地射击同一目标.假设甲射中目标的概率是0.7，乙射中目标的概 率是0.4.已知恰有一个子弹射中目标，求它是甲射中的概率 27.对于三个事件A,B,C,若 P(ABIC)=P(AIC)P(BIC) 成立，则称A与B关于C条件独立.若已知A与B关于C与C条件独立，且 P(C)=0.5,P(AC=P(BC)=0.9,P(AC)=0.2,P(BlC)=0.1,试求P(A) P(B,P(AB)并证明A与B不独立. 28.证明P(AB)=P(AB)成立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B).试对此结论给 出直观的解释 29.如果B的发生使得A更可能发生，那么A的发生是否使得B更可能发生？
18. 甲乙两选手进行乒乓球单打比赛, 已知在每局中甲胜的概率为 0.6, 乙胜的概率为 0.4. 比赛可采用三局两胜制或五局三胜制, 问哪一种比赛制度对甲更有利? 19. 一栋 20 层楼中的一架电梯在底层 (第一层) 上来 8 位乘客. 电梯在每一层都停, 设每 位乘客在每层离开是等可能的, 求没有两位乘客在同一层离开的概率. 20. 某路公共汽车共有 11 个停车站, 由始发站开车时车上共有 8 名乘客. 假设每人在各站 (始发站除外) 下车的概率相同. 试求下列各事件的概率: (1) 8 人在不同的车站下车. (2) 8 人在同一车站下车. (3) 8 人中恰有 3 人在终点站下车. 21. 在一种双骰子博弈中, 玩家投两枚骰子, 如果其和是 7 或 11, 则玩家赢; 如果其和是 2, 3 或者 12, 玩家输; 若是其他结果时就继续玩, 直到玩家输或者赢为止. 计算玩家赢的 概率. 22. 掷三枚硬币, 已知其中有一枚出现了正面, 求至少出现一枚反面的概率. 23. 掷三颗骰子, 已知所得三个数都不相同, 求含有 1 点的概率. 24. 投掷两枚骰子, 问至少有一个是 6 的概率是多少? 若这两个面不一样, 求至少有一个 是 6 的概率. 25. 在某个社区, 60% 的家庭拥有汽车, 30% 的家庭拥有房产, 而 20% 的家庭既有汽车又 有房产, 随机选取一个家庭, 求此家庭或有汽车或有房产但不是两者都有的概率. 26. 甲和乙两人同时独立地射击同一目标. 假设甲射中目标的概率是 0.7, 乙射中目标的概 率是 0.4. 已知恰有一个子弹射中目标, 求它是甲射中的概率. 27. 对于三个事件 A, B, C, 若 P(AB|C) = P(A|C)P(B|C) 成立, 则称 A 与 B 关于 C 条件独立. 若已知 A 与 B 关于 C 与 C¯ 条件独立, 且 P(C) = 0.5, P(A|C) = P(B|C) = 0.9, P(A|C¯) = 0.2, P(B|C¯) = 0.1, 试求 P(A), P(B), P(AB) 并证明 A 与 B 不独立. 28. 证明 P(A|B) = P(A|B) 成立的充分必要条件是 P(AB) = P(A)P(B). 试对此结论给 出直观的解释. 29. 如果 B 的发生使得 A 更可能发生, 那么 A 的发生是否使得 B 更可能发生? 3
30.求下列各系统能正常工作的概率，其中框图中的字母代表元件，字母相同但下标不同 的都是同一种元件，只是装配在不同的位置上，A,B,C,D类元件能正常工作的概率 分别为PA,PB,PC,PD (1) A A (2 B c (3) A A2 B B C2 (4) A c (5) A B A2 B 31.有4个一年级男生，6个一年级女生，6个二年级男生共上一门课，为了使在随机选取 一个学生时性别与班级独立，在这个班还需要出现多少个二年级女生？ 32.设敌机俯冲时被步枪击落的概率是0.008，求当25只步枪同时开火时，击落敌机的概
30. 求下列各系统能正常工作的概率, 其中框图中的字母代表元件, 字母相同但下标不同 的都是同一种元件, 只是装配在不同的位置上, A, B, C, D 类元件能正常工作的概率 分别为 pA, pB, pC, pD. (1) A B C (2) B C A (3) B1 C1 A1 C2 A2 B2 (4) D1 B C A D2 (5)∗ C A2 A1 B2 B1 31. 有 4 个一年级男生, 6 个一年级女生, 6 个二年级男生共上一门课, 为了使在随机选取 一个学生时性别与班级独立, 在这个班还需要出现多少个二年级女生? 32. 设敌机俯冲时被步枪击落的概率是 0.008, 求当 25 只步枪同时开火时, 击落敌机的概 率. 4
33.对同一目标进行三次独立射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.5,0.6和0.8， 试求： (1)在这三次射击中，恰好有一次射中的概率 (②)在这三次射击中，至少射中一次的概* 34.设事件A1,.,An相互独立，记P(A)=m>0,i=1,2,.n,假设1=1.求 (1)这些事件至少有一件不发生的概率， (2)这些事件均不发生的概率. (3)这些事件恰好发生一件的概率 35.假设某厂家生产的每台仪器以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试.经调 试后的仪器以概率0.8可以出厂，以概率0.2被定为不合格品不能出厂，假设该厂生 产了n(n>2)台仪器（各台生产过程相互独立）.试求下列事件的概率： (1)全部能出厂 (2)恰有两件不能出厂 (3)至少有两件不能出厂 36.要验收一批乐器，共100件，从中随机地抽取3件进行测试（设3件乐器的测试相互独 立)，如果3件中任意一件音色不纯，就拒绝接收这批乐器.设一件音色不纯的乐器经 测试查出的概率为0.95.而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01.如 果这100件乐器中有4件是音色不纯的.问这批乐器被接收的概率是多少？ 37.有甲、乙两只口袋，甲袋中有5只白球2只黑球，乙袋中有4只白球5只黑球.先从甲 袋中任取两球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球，求此球是白球的概率。 38.某工厂的第一、二、三号车间生产同一种产品，产量各占总产量的1/2,1/3,1/6，次品 率分别为1%，1%和2%.现从该厂产品中随机抽取一件产品 (①)求该产品是次品的概率. (2)若发现该产品是次品，求它是一号车间生产的概率. 39.考卷中的某选择题有四个答案，其中只有一个是正确的.某考生可能知道哪个是正确 的，也可能是乱猜一个，假设此考生知道正确答案的概率为D,而且在不知答案的情 况时是随机地选择一个答案.如果已知他答对了这道题，问他确实知道正确答案的概 率是多少？ 40.设有来自三个地区的考生报名表共50份，三个地区分别有10,15和25份，其中女生 的报名表分别为3份，7份和5份，现随机地选一个地区，从该地区的报名表中先后抽 出2份
33. 对同一目标进行三次独立射击, 第一、二、三次射击的命中率分别为 0.5, 0.6 和 0.8, 试求: (1) 在这三次射击中, 恰好有一次射中的概率. (2) 在这三次射击中, 至少射中一次的概率. 34. 设事件 A1, · · · , An 相互独立, 记 P(Ai) = pi > 0, i = 1, 2, · · · n, 假设 Pn i=1 pi = 1. 求 (1) 这些事件至少有一件不发生的概率. (2) 这些事件均不发生的概率. (3) 这些事件恰好发生一件的概率. 35. 假设某厂家生产的每台仪器以概率 0.7 可以直接出厂, 以概率 0.3 需进一步调试. 经调 试后的仪器以概率 0.8 可以出厂, 以概率 0.2 被定为不合格品不能出厂. 假设该厂生 产了 n (n > 2) 台仪器 (各台生产过程相互独立). 试求下列事件的概率: (1) 全部能出厂. (2) 恰有两件不能出厂. (3) 至少有两件不能出厂. 36. 要验收一批乐器, 共 100 件, 从中随机地抽取 3 件进行测试 (设 3 件乐器的测试相互独 立), 如果 3 件中任意一件音色不纯, 就拒绝接收这批乐器. 设一件音色不纯的乐器经 测试查出的概率为 0.95, 而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为 0.01. 如 果这 100 件乐器中有 4 件是音色不纯的. 问这批乐器被接收的概率是多少? 37. 有甲、乙两只口袋, 甲袋中有 5 只白球 2 只黑球, 乙袋中有 4 只白球 5 只黑球. 先从甲 袋中任取两球放入乙袋, 然后再从乙袋中任取一球, 求此球是白球的概率. 38. 某工厂的第一、二、三号车间生产同一种产品, 产量各占总产量的 1/2, 1/3, 1/6, 次品 率分别为 1%, 1% 和 2%. 现从该厂产品中随机抽取一件产品 (1) 求该产品是次品的概率. (2) 若发现该产品是次品, 求它是一号车间生产的概率. 39. 考卷中的某选择题有四个答案, 其中只有一个是正确的. 某考生可能知道哪个是正确 的, 也可能是乱猜一个. 假设此考生知道正确答案的概率为 p , 而且在不知答案的情 况时是随机地选择一个答案. 如果已知他答对了这道题, 问他确实知道正确答案的概 率是多少? 40. 设有来自三个地区的考生报名表共 50 份, 三个地区分别有 10 , 15 和 25 份, 其中女生 的报名表分别为 3 份, 7 份和 5 份, 现随机地选一个地区, 从该地区的报名表中先后抽 出 2 份. 5
()求先抽到的1份是女生报名表的概率 (②)已知后抽到的1份是男生报名表，求先抽到的1份是女生报名表的概率 41.装有m(m>3)个白球和n个黑球的罐子中失去一球，但不知是什么颜色的球.为 猜测它是什么颜色，随机地从罐中摸出两个球，结果都得到的是白球，试求失去的球 是白球的概率。 42.假设患乙肝的人通过检查能被诊断出来的概率为0.98.而正常人经检查被误诊为有乙 肝的概率为0.05，设某城市乙肝患病率为0.05.现从该城市居民中随机抽出一人进行 检查，如果其被诊断为乙肝患者，求该人确实患有乙肝的概率 43.盒中有三枚硬币，一枚是双正面的硬币，另外两枚是正反面硬币（其中一枚是均匀的 硬币，一枚是正面出现概率为75%的不均匀硬币).当从这三枚硬币中随机选取一枚 抛掷时，它出现正面.问它是双正面硬币的概幸是多少？ 44.假定某种病菌在群体中的带菌率为10%.。在检测时，带菌者和不带菌者被检测出阳性 的概率分别为0.95和0.01. ()现有某人被测出呈阳性反应，该人确为带菌者的概率是多少？ (b)”该人又独立地做了一次检测，检测结果依然是阳性，问在两次检测均呈阳性的情 况下，该人确为带菌者的概率是多少？ 计算机模拟题 45.从区间0，刂中任取两个数，由理论计算知此两数的积小于}的概率为}+专血2 试利用此结论与概率的统计定义，通过计算机模拟对血2进行估计，比较模拟次数 n=1000,5000,10000,100000时与实际值的误差，从这个比较中你是否可以在误差与 模拟次数之间建立一个关系？ 46.(Bfon试验)平面上划有间隔为d的等距离平行线，向平面上任意投一个长度为 1(<d④的针，由理论计算知针与平行线相交的概率为器，试利用此结论与概率的统 计定义，通过计算机模拟对π进行估计. 6
(1) 求先抽到的 1 份是女生报名表的概率. (2) 已知后抽到的 1 份是男生报名表, 求先抽到的 1 份是女生报名表的概率. 41. 装有 m (m > 3) 个白球和 n 个黑球的罐子中失去一球, 但不知是什么颜色的球. 为 猜测它是什么颜色, 随机地从罐中摸出两个球, 结果都得到的是白球, 试求失去的球 是白球的概率. 42. 假设患乙肝的人通过检查能被诊断出来的概率为 0.98, 而正常人经检查被误诊为有乙 肝的概率为 0.05, 设某城市乙肝患病率为 0.05. 现从该城市居民中随机抽出一人进行 检查, 如果其被诊断为乙肝患者, 求该人确实患有乙肝的概率. 43. 盒中有三枚硬币, 一枚是双正面的硬币, 另外两枚是正反面硬币 (其中一枚是均匀的 硬币, 一枚是正面出现概率为 75% 的不均匀硬币). 当从这三枚硬币中随机选取一枚 抛掷时, 它出现正面. 问它是双正面硬币的概率是多少? 44. 假定某种病菌在群体中的带菌率为 10%. 在检测时, 带菌者和不带菌者被检测出阳性 的概率分别为 0.95 和 0.01 . (a) 现有某人被测出呈阳性反应, 该人确为带菌者的概率是多少? (b)∗ 该人又独立地做了一次检测, 检测结果依然是阳性, 问在两次检测均呈阳性的情 况下, 该人确为带菌者的概率是多少? 计算机模拟题 45. 从区间 [0, 1] 中任取两个数, 由理论计算知此两数的积小于 1 4 的概率为 1 4 + 1 2 ln 2, 试利用此结论与概率的统计定义, 通过计算机模拟对 ln 2 进行估计, 比较模拟次数 n = 1000, 5000, 10000, 100000 时与实际值的误差, 从这个比较中你是否可以在误差与 模拟次数之间建立一个关系? 46. (Buffon 试验) 平面上划有间隔为 d 的等距离平行线, 向平面上任意投一个长度为 l (l < d) 的针, 由理论计算知针与平行线相交的概率为 2l πd , 试利用此结论与概率的统 计定义, 通过计算机模拟对 π 进行估计. 6
第二章随机变量及其分布 1.一个罐子装有m个白球和n个黑球，无放回地抽取r个球（口≤m+n),记抽到的白 球的个数为X,试求X的概率分布， 2.一台设备由三大部件构成，假设各部件的状态相互独立，在设备运转过程中各部件需 要调整的概*分别为0.10,0.20,0.30.令X表示同时需要调整的部件数.试求X的 分布律和至少有一个部件需要调整的概率 3.袋子中有α个白球，b个黑球.现不放回地每次从袋子中取出一球，直到取出黑球为 止，设此时已经取出了￡个白球，求的概率分布. 4.将一颗骰子连掷两次，以表示掷出的最小数，求的概率分布 5.一射手的命中率为p,现其不断地向一目标射击，假设各次射击相互独立 (①)以￡表示第一次命中目标所需的次数，求￡的概率分布。 (2)以￡，表示第x次命中目标所需的次数.求￡，的概率分布 (③)设共射击了n次，且第n次射击是命中的，以n表示这n次射击中命中的次数，求 口的概率分布」 6.同时掷两枚均匀骰子直到至少出现一个6点为止，求所掷次数的概率分布 7.某旅馆服务部统计旅客住宿的天数X及其概率分布如下： X 1 23 4 0.34 0.250.250.16 试计算X的分布函数，P(X≤3)，P(X>1),P(1<X≤4)和P(X=2), 7
第二章 随机变量及其分布 1. 一个罐子装有 m 个白球和 n 个黑球, 无放回地抽取 r 个球 (r ≤ m + n), 记抽到的白 球的个数为 X , 试求 X 的概率分布. 2. 一台设备由三大部件构成, 假设各部件的状态相互独立, 在设备运转过程中各部件需 要调整的概率分别为 0.10, 0.20, 0.30. 令 X 表示同时需要调整的部件数. 试求 X 的 分布律和至少有一个部件需要调整的概率. 3. 袋子中有 a 个白球, b 个黑球. 现不放回地每次从袋子中取出一球, 直到取出黑球为 止, 设此时已经取出了 ξ 个白球, 求 ξ 的概率分布. 4. 将一颗骰子连掷两次, 以 ξ 表示掷出的最小数, 求 ξ 的概率分布. 5. 一射手的命中率为 p, 现其不断地向一目标射击, 假设各次射击相互独立. (1) 以 ξ 表示第一次命中目标所需的次数, 求 ξ 的概率分布. (2) 以 ξr 表示第 r 次命中目标所需的次数, 求 ξr 的概率分布. (3) 设共射击了 n 次, 且第 n 次射击是命中的, 以 η 表示这 n 次射击中命中的次数, 求 η 的概率分布. 6. 同时掷两枚均匀骰子直到至少出现一个 6 点为止, 求所掷次数 ξ 的概率分布. 7. 某旅馆服务部统计旅客住宿的天数 X 及其概率分布如下: X 1 2 3 4 P 0.34 0.25 0.25 0.16 试计算 X 的分布函数, P(X ≤ 3), P(X > 1), P(1 < X ≤ 4) 和 P(X = 2). 7
8.试确定下列p(x)能否成为概率分布 ()p)= x=0,1,2,3 阅阳=。 x=0.5.10.15 (3③))=xx+' E=1,2,··. (④p)= f(u)du, 2=0,1.，其中f@=1 9.设()与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数.为使F(x)=aF(工)+ (x)+c是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中可取 (a=号b=-后c= B)a=1,b=1,c=-1 (a=-b=，c=0, D)a=子6=c= 10.假定X服从参数为n和p的二项分布，即X~B(n,p).在下述情形证明当k取值从 0到n时，P(X=)先是单调递增，然后单调递减，且最大值点k满足： (1)在(m+1)p是整数的情形，k等于(n+1)p-1或者(n+1)p. (2)在(m+1)p是非整数的情形，k满足(m+1)p-1n)=P(E=m)
8. 试确定下列 p(x) 能否成为概率分布 (1) p(x) = 1 3 , x = 0, 1, 2, 3. (2) p(x) = x − 5 10 , x = 0, 5, 10, 15. (3) p(x) = 1 x(x + 1), x = 1, 2, · · · . (4) p(x) = Z x+1 x f(u)du, x = 0, 1, · · · , 其中Z ∞ 0 f(u)du = 1. 9. 设 F1(x) 与 F2(x) 分别为随机变量 X1 与 X2 的分布函数. 为使 F(x) = aF1(x) + bF2(x) + c 是某一随机变量的分布函数, 在下列给定的各组数值中可取 (A) a = 3 5 , b = − 2 5 , c = 4 5 . (B) a = 1, b = 1, c = −1. (C) a = − 1 2 , b = 3 2 , c = 0. (D) a = 2 3 , b = 2 3 , c = 1 3 . 10. 假定 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布, 即 X ∼ B(n, p). 在下述情形证明当 k 取值从 0 到 n 时, P(X = k) 先是单调递增, 然后单调递减, 且最大值点 k 满足: (1) 在 (n + 1)p 是整数的情形, k 等于 (n + 1)p − 1 或者 (n + 1)p. (2) 在 (n + 1)p 是非整数的情形, k 满足 (n + 1)p − 1 < k < (n + 1)p. 11. 设 X ∼ B(2, p), Y ∼ B(3, p), 若 P(X ≥ 1) = 5 9 . 试求 P(Y ≥ 1). 12. 设昆虫产卵个数服从参数为 λ 的泊松分布, 而每个卵孵化成幼虫的概率为 p, 试求一 个昆虫产生 m 个后代的概率. 13. 假定 X 服从参数 λ 的泊松分布, 证明当 i 增加时, P(X = i) 先是单调递增, 然后单调 递减, 当 i 取不超过 λ 的最大整数时得到其最大值. 14. 有一繁忙的车站, 每天有大量的汽车通过, 设在一天的某段时间内汽车事故发生率为 0.001. 若某天的该段时间内有 1000 辆汽车通过, 问发生事故的次数不少于 2 的概率 是多少? 15. 航空公司知道预定航班的人有 5% 的人最终不来搭乘航班, 因此他们的政策是对于一 个能容纳 50 个顾客的航班预售 52 张票, 问每个出现的旅客都有位置的概率是多少? 16. ∗ 设 ξ 为取非负整数值的随机变量, 试证明它服从几何分布的充分必要条件是, 对任 意非负整数 m 和 n 有 P(ξ = m + n|ξ ≥ n) = P(ξ = m). 8