1 重积分、一型线面积分复习 一、二重积分 要求掌据： ()直角坐标系下的累次积分： (②)累次积分的顺序的交换 (3)极坐标变换。 (④注意积分区域的对称性及被积函数关于某积分变量的奇偶性。 170分)求积分广山幽，其中D为以@，Q,.L,为顶点的三角形 3.(16)(6分)积分fz,)ddy,其中D由直线x-2,y=0,y-2及曲线x= -√2y-围成，给出它的累次积分形式. 6s分)连续爵数e>0z红证明fe地厂同>≥- 6.(15)10分)计算二重积分广WP+r-2+2)d,其中区域D:2+r≤ 1,x≥0，y≥0. 7.(15)(8分)已知函数f红，)具有二阶连续偏导数，且f1,)=0,f红，)=0， /川fz,)da-a,其中区域D-{c,训0≤x≤1,0≤彩≤1以，计算二重 积分 fvi.)
· 1 · »©!ò.Ç°»©ES ò!»© ᶛºµ (1) ÜãIXe\g»©; (2) \g»©^SÜ; (3) 4ãICÜ. (4) 5ø»©´çÈ°59»ºÍ'u,»©C˛¤Û5. . 1. (17)(10©) ¶»© ZZ D e −y 2 dxdy,Ÿ•Dè±(0, 0), (0, 1), (1, 1)èº:n/. 2. (17)(8©) ¶»© ZZ D dxdy x 2 + y 2 ,Ÿ•D = {(x, y)|1 6 e x + e y , e2x + e 2y 6 1}. 3. (16)(6©) »© ZZ D f(x, y) dxdy,Ÿ•DdÜÇx = −2, y = 0, y = 29Çx = − p 2y − y 2å§,â—ß\g»©/™. 4. (16)(8©) ÎYºÍf(x) > 0, x ∈ [a, b], y² Z b a f(x)dx Z b a 1 f(x) dy > (b − a) 2 . 5. (15)(4©) Ü\g»©^S Z 1 0 dy Z 3−2y √y f(x, y)dx = . 6. (15)(10©) O黩 ZZ D ( p x 2 + y 2 − 2xy+2) dxdy, Ÿ•´çD : x 2+y 2 6 1, x > 0, y > 0. 7. (15)(8 ZZ ©)ƺÍf(x, y)‰k ÎY†Í, Öf(1, y) = 0, f(x, 1) = 0, D f(x, y) dσ = a, Ÿ•´çD = {(x, y)| 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1}, Oé »© ZZ D xyf00 xy(x, y) dσ.
2 a0厂g- 9.148分)计算二重积分广(Br2+5r)i, +gR肥 10.(13)6分)设fe)在0，上连续，且满足fa)=1+afy)fy-dg,证明：a≤ 11.(13)(10分)计算二重积分xd,其中积分区域D是第一象限中由x轴和上 半圆周x2+y-2红=0所围成. 2.(a26分)计算e 解 血e=era 13.(11)(4分)设1= Bwh-j-oah-eoho 其中 D1:x2+≤R:D2:x2+2≤2R2:D3:≤R且≤R,则有(） (A)五1,求F'g 16(ao0分)含参变量积分e)=广eP求1e达 1.分)改变累次积分次序血+厂 -V-2 f红，)y=
· 2 · 8. (14)(3©) Z 1 0 dy Z 1 y sin x x dx = . 9. (14)(8©) O黩 ZZ x2+y26R2 3x 2 + 5y 2 dxdy. 10. (13)(6©) f(x)3[0, 1]˛ÎY,Ö˜vf(x) = 1+α Z 1 x f(y)f(y−x)dy,y²µα ≤ 1 2 . 11. (13) (10©)O黩 ZZ D xydxdy,Ÿ•»©´çD¥1òñÅ•dx¶⁄˛ å ±x 2 + y 2 − 2x = 0§å§. 12. (12)(5©)Oé Z 1 0 dx Z 1 x e y 2 dy. ): Z 1 0 dx Z 1 x e y 2 dy = Z 1 0 dy Z y 0 e y 2 dx = Z 1 0 yey 2 dy = e − 1 2 . 13. (11)(4©) I1 = ZZ D1 e −(x 2+y 2 )dσ, I2 = ZZ D2 e −(x 2+y 2 )dσ, I3 = ZZ D3 e −(x 2+y 2 )dσ, Ÿ• D1 : x 2 + y 2 6 R2 ; D2 : x 2 + y 2 6 2R2 ; D3 : |x| 6 RÖ|y| 6 R,Kk( ) (A) I1 0, y > 0},K ZZ D p x 2 + y 2dxdy = . 15. (11)(10©) F(t) = Z t 1 dy Z t y e −x 2 dx (t > 1),¶F 0 (2). 16. (10)(10©) ¹ÎC˛»©I(x) = Z 1 x e y 2 dy,¶ Z 1 0 I(x)dx. 17. (09)(4©) UC\g»©gS Z 1 0 dx Z x 2 0 f(x, y)dy+ Z 2 1 dx Z 1− √ 1−(x−2)2 0 f(x, y)dy =
3 1R.(0侧a分)设f化)为连续函数则广的f北omr血t() w以aw画aTa @海T地 四0分)计算二重积分e+,其中D为双组线+=- 2)(a>0)所围的区域. 20.(07)(分)设函数f红，)在区域D:x2+y2≤1上有二阶连续偏导数且么十 片=e4的，求证以+=委 21.(06)(8分)(1)设fr,)=0,确定r是9在a,上的正值可微函数，平面区域D在极 坐标下由=a,0=月，fc,0)=0,f2r,6)=0,围成求证 I第-0-： 回求儿中可共中D油2+=1和z+y=1围成任≥0，y之 0). 2.(o58分)设平面区城D=红，2+r≤，求广V, 23.(04)(8分)求x2ed.D由x=2,y=1和xy=1闹成. 24.(0310分)设在o连续t>0时，记F-∥fwd,求证：当t> 益侧0)求 练习题 1.设D=，y≤x≤V,0≤y<1,计算ed
· 3 · 18. (09)(4©) f(x, y)èÎYºÍ,K Z π 4 0 dθ Z 1 0 f(r cos θ, r sin θ)rdr ( ) (A) Z √ 2 2 0 dx Z √ 1−x2 x f(x, y)dy (B) Z √ 2 2 0 dy Z √ 1−y2 y f(x, y)dx (C) Z √ 2 2 0 dx Z √ 1−x2 0 f(x, y)dy (D) Z √ 2 2 0 dy Z √ 1−y2 0 f(x, y)dx 19. (09)(10©) O黩 ZZ D (x 2 +y 2 )dxdy,Ÿ•DèV›Ç(x 2 +y 2 ) 2 = a 2 (x 2 − y 2 ) (a > 0)§å´ç. 20. (07)(7©) ºÍf(x, y)3´çD : x 2 + y 2 6 1˛k ÎY†Í,Öf 00 xx + f 00 yy = e −(x 2+y 2 ) , ¶y ZZ D (xf0 x + yf0 y )dxdy = π 2e . 21. (06)(8©) (1)f(r, θ) = 0,(½r¥θ3[α, β]˛äåáºÍ,²°´çD34 ãIedθ = α, θ = β, f(r, θ) = 0, f(2r, θ) = 0, å§,¶y ZZ D dxdy x 2 + y 2 = (β − α) ln 2 . (2) ¶ ZZ D dxdy xy(ln2 x + ln2 y) ,Ÿ•Ddx 2 +y 2 = 1⁄x+y = 1å§(x > 0, y > 0). 22. (05)(8©) ²°´çD = {(x, y)|x 2 + y 2 6 y},¶ ZZ D √ydxdy. 23. (04)(8©) ¶ ZZ D x 2 e xydxdy,Ddx = 2, y = 1⁄xy = 1å§. 24. (03)(10©) f(u)3[0, ∞)ÎY,t > 0û,PF(t) = ZZ [0,t] 2 f(xy)dxdy,¶y:t > 0û,F 0 (t) = 2 t Z t 2 0 f(s)ds. 25. (02)(9©) ¶ Z 2 1 ydy Z 2 y sin x x 2 − 1 dx. ˆSK 1. D = {(x, y)|y ≤ x ≤ √y, 0 ≤ y ≤ 1},Oé ZZ D e y x dσ
·4 2计识向a+ea 二、三重积分 要求掌握： ()直角坐标系下的累次积分： (②)球坐标、柱坐标变换 (③)注意积分区域的对称性及被积函数关于某积分变量的奇偶性 1700分)计算三重积分y++,其中v是由r2++2= a2与≤c所围的空间区域， 26010分)计算三重积分∬Yv,其中n由：=十，：=产+，y a 6y=d,y=a,y=Bx用成，其中00。 解：解法一：利用对称性，∬dd=川=0.对∬dyd先 对工，进行二重积分。注意到截面是 D:后+=1-
· 4 · 2. Oé Z 1/2 1/4 dy Z √y 1/2 e y x dx + Z 1 1/2 dy Z √y y e y x dx. !n»© ᶛºµ (1) ÜãIXe\g»©; (2) •ãI!ŒãICÜ. (3) 5ø»©´çÈ°59»ºÍ'u,»©C˛¤Û5. . 1. (17)(10©) Oén»© ZZZ V (x 2 y+xyz+z 2 ) dV ,Ÿ•V ¥dx 2+y 2+ a 2 − b 2 c 2 z 2 = a 2Ü|z| 6 c§åòm´ç. 2. (16)(10©) Oén»© ZZZ Ω x 2y 2 z dV , Ÿ•Ω dz = x 2 + y 2 a , z = x 2 + y 2 b , xy = c, xy = d, y = αx, y = βxå§,Ÿ•0 p x 2 + y 2 ⁄1 6 x 2 + y 2 + z 2 6 4 (½. 4. (14)(3©) Ω : x 2 +y 2 +z 2 6 1, (z 6 0) K ∆ ZZZ Ω 2x 2dxdydz = . 5. (13)(10©) Oén»© ZZZ V (x 2+y 2 )dxdydz,Ÿ•»©´çV ¥d°z = 1 2 (x 2+ y 2 )ܲ°z = 8§å§. 6. (12)(6©) ZZZ V (x + y + z)dxdydz,Ÿ•V ¥d²°z = 0⁄˝•° x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1˛å‹©å§´ç,a, b, c > 0. ): ){òµ|^È°5ß ZZZ V xdxdydz = ZZZ V ydxdydz = 0ßÈ ZZZ V zdxdydzk Èx, y?1»©"5ø °¥ Dz : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 − z 2 c 2
5 其面积为rab1-2/c2). 1分) 所以 ∬h触-人=人-e- .(4分) D 从而所求的积分值为 1分) 解法二：采用椭球换元： =arsin e cos,y==rcos0,(0)00 则Jacobian为abcr2sind. 2分) 所以积分为 ate dr (asin20 cos+bsin20sin+ccos0sin)dodo. 0.02m 记内部二重积分为，则原积分等于abcl. 1分) 为了计算的值，对各求和项分别进行计算，可得结果。 (3分) 7(分)设为单位球：2+r+2<1.则三重积分川（传+3）w的值 为() (A) ® (C) &(05分)求由曲面：=2+和：=2-V≥+所围成的立体的体积和表 面积 9.(10)(10分)计算三重积分V2+y2+2 drdydz,其中V是由锥面2=V+P和 球面x2++22=R2所围区域 0侧(o计算三重积分∬V中行+关中v是由球面+r+ 2=所围区域。 11.(06)(8分)求积分1= 川e+y+h,其中v由：=V+乎和：- √1-x2-(x≥0，y≥0)围成
· 5 · Ÿ°»èπab(1 − z 2/c2 ). (1©) §± ZZZ V zdxdydz = Z c 0 zdz ZZ Dz dxdy = πab Z c 0 z(1 − z 2 /c2 )dz = πabc2 4 . (4©) l §¶»©äèπabc2 4 . (1©) ){µÊ^˝•Ü: x = ar sin θ cos φ, y = br sin θ sin φ, z = r cos θ,(θ, φ) ∈ [0, π 2 ] × [0, 2π], KJacobianèabcr2 sin θ. (2©) §±»©è abc Z 1 0 r 3 dr ZZ [0, π 2 ]×[0,2π] (a sin2 θ cos φ + b sin2 θ sin φ + c cos θ sin θ)dφdθ. PS‹»©èI, K»© u 1 4 abcI. (1©) è OéIäßÈà¶⁄ë©O?1Oéßå(J" (3©) 7. (11)(4©) Ω踆•µx 2 + y 2 + z 2 6 1ßKn»© ZZZ Ω 1 5 + z 2 y dV ä è( ). (A) 1 15 π; (B) 2 15 π; (C) 4 15 π; (D) 8 15 π. 8. (10)(15©) ¶d°z = x 2 + y 2⁄z = 2 − p x 2 + y 2§å§·NN»⁄L °». 9. (10)(10©) Oén»© ZZZ V p x 2 + y 2 + z 2dxdydz,Ÿ•V ¥dI°z = p x 2 + y 2⁄ •°x 2 + y 2 + z 2 = R2§å´ç. 10. (09)(10©) Oén»© ZZZ V p x 2 + y 2 + z 2dxdydz,Ÿ•V ¥d•°x 2 + y 2 + z 2 = z§å´ç. 11. (06)(8©) ¶»©I = ZZZ V (x + y + z)dxdydz,Ÿ•V dz = p x 2 + y 2⁄z = p 1 − x 2 − y 2(x > 0, y > 0)å§.
·6 12.(04)(8分)求积分1= 2+2+z2 drdydz,.其中V:r+y+z≤1，r≥0，y≥ 0,z≥0. y+2=1围成 14(o四0分)求积分1=作e2+r+t,其中v是由：=V6-乎和：2 2+2用成 三、一型曲线、曲面积分 要求掌握： (1)引入定义的实际例子； (②)一型曲线积分的计算方法注意对称性 (1.曲线的方程形式：参数式（向经式）：隐函数组：平面曲线显示方程y=f(工)， 2.dl=V20+y20+，dl=√1+P(d,dl=V26+r2(⑥d0 3 一型曲面积分的计算方法：注意对称性 1.曲面的方程形式：参数式（向经式）：隐函数方程：显示曲面方程：=f红， 2.dS=ru x roldudv EG-FEdudu =1+f+fdrdy. 3.球面x2+y+2=,dS=2sm0d0dg:柱面z2+2=,dS=Rd0d 4)=∥eu,u,以avEG-严a=化t,+e+fBd 1.(17)(10分)计算第一型曲线积分xds,其中L为由A0,1,1)到B(1.01)直线 段，B(10.1)到C(1,1,0)直线段，以(1,1,1)为圆心，1为半径自C1,1.0)到A(01,1)的 四分之一圆弧所组成 2.(17)(12分)若曲面S的球坐标参数方程表示为： =r()sin cos y=r(e)sin8sinp(a,p)∈D,r∈C z=r(0)co50
· 6 · 12. (04)(8©) ¶»©I = ZZZ V (x 2 +y 2 +z 2 )dxdydz, Ÿ•V : x+y+z 6 1, x > 0, y > 0, z > 0. 13. (03)(12©) ¶»©I = ZZZ V (x + y + z)dxdydz,Ÿ•V dx = 0, y = 0, z = 0⁄x + y + z = 1å§. 14. (02)(9©) ¶»©I = ZZZ V (x 2+y 2+z 2 )dxdydz, Ÿ•V ¥dz = p a 2 − x 2 − y 2⁄z 2 = x 2 + y 2å§. n!ò.Ç!°»© ᶛºµ (1) ⁄\½¬¢S~f; (2) ò.Ç»©Oéê{:5øÈ°5 1.Çêß/™:ÎÍ™(ï²™);¤ºÍ|¶²°Çw´êßy = f(x), 2.dl = p x 02(t) + y 02(t) + z 0( t)dt, dl = p 1 + y 02(x)dx, dl = p r 2θ + r 02(θ)dθ, 3. Z L f(x, y, z)dl = Z β α f(x(t), y(t), z(t))q x 02(t) + y 02(t) + z 0( t)dt, (3) ò.°»©Oéê{:5øÈ°5 1.°êß/™:ÎÍ™(ï²™);¤ºÍê߶w´°êßz = f(x, y). 2.dS = |r 0 u × r 0 v |dudv = √ EG − F2dudv = q 1 + f 02 x + f 02 y dxdy. 3.•°:x 2 + y 2 + z 2 = R2 , dS = R2 sin θdθdϕ;Œ°:x 2 + y 2 = R2 , dS = Rdθdz. 4. ZZ S f(x, y, z) = ZZ Duv f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))√ EG − F2dudv = ZZ Dxy f(x, y, z(x, y))q 1 + f 02 x + f 02 y dxdy. . 1. (17) (10©) Oé1ò.Ç»© Z L xy ds, Ÿ•LèdA(0, 1, 1)B(1.0.1)ÜÇ „,B(1.0.1)C(1, 1, 0)ÜÇ„,±(1, 1, 1)è %ß1èåªgC(1, 1, 0) A(0, 1, 1) o©Éò l§|§. 2. (17) (12©)e°S•ãIÎÍêßL´è: x = r(θ) sin θ cos ϕ y = r(θ) sin θ sin ϕ (θ, ϕ) ∈ D, r ∈ C 1 z = r(θ) cos θ
.7 求证：曲面S的面积为厂VP+可rs血0，由此求出曲面(++2P a2(x2+2-2)(a>0)的面积， 300分)计算第一型曲线积分d，其中L为2++:2=2与+y-c= 0的交线. 4.(15)(9分)计算第一型曲线积分[V2+严s,L为连接点A(-2,1)与原点0 的线段和圆周x2+2=-2y第西象限的部分. 在z=0,名=2之间的部分. 6.(14)(8分)2x+户ds,其中L是连接0,0，(1,0)和(0，)的三角形 7.(14)(8分)x2zd5,其中s是平面x+y+z-1在第一卦限的部分. 83)0分)设s为圈+号+：2=1的上半都分求曲面积分广：V++45 9.(126分)计算V≥+乎S,其中s为谁面2+2=2中满足0≤z≤(a> 0)的那部分。 解：利用锥面的函数表示 2=V2+,x2+2≤a2, 我们有 as=V1+(}'+()'da幽=va 所以 +as=5儿V+F=r的-23 2+26a2 1n分)设r为连续高数则职点广ea5-D00
· 7 · ¶y:°S°»è ZZ D p r 2 + (r 0) 2r sin dθdϕ,dd¶—°(x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = a 2 (x 2 + y 2 − z 2 ) (a > 0)°». 3. (16) (10©) Oé1ò.Ç»© Z L z 2 ds, Ÿ•Lèx 2+y 2+z 2 = a 2Üx+y−c = 0Ç. 4. (15) (9©) Oé1ò.Ç»© Z L p x 2 + y 2 ds, L èÎ:A(−2, 1) Ü:O Ç„⁄ ±x 2 + y 2 = −2y 1oñÅ‹©. 5. (15) (9©) Oé1ò.°»© ZZ S y + z x 2 + y 2 + z 2 dS, Ÿ•S 茰x 2 + y 2 = 1 3z = 0, z = 2 Ém‹©. 6. (14) (8©) Z L (2x + y) 5 ds, Ÿ•L ¥Î(0, 0),(1, 0) ⁄(0, 1) n/. 7. (14) (8©) ZZ S x 2 y 3 z dS, Ÿ•S ¥²°x + y + z = 1 31ò%Å‹©. 8. (13) (10©) Sè˝ x 2 2 + y 2 2 +z 2 = 1˛å‹©,¶°»© ZZ s z p x 2 + y 2 + 4z 2dS. 9. (12)(6©)Oé ZZ S p x 2 + y 2dS,Ÿ•SèI°x 2 + y 2 = z 2•˜v0 6 z 6 a(a > 0)@‹©. ):|^I°ºÍL´ z = p x 2 + y 2, x2 + y 2 6 a 2 , ·Çk dS = r 1 + x z 2 + y z 2 dxdy = √ 2dxdy, §± ZZ S p x 2 + y 2dS = √ 2 ZZ x2+y26a2 p x 2 + y 2dxdy = √ 2 Z a 0 Z 2π 0 r 2 drdθ = 2 √ 2πa3 3 . 10. (12)(4©)fèÎYºÍ,K lim r→0+ 1 πr2 ZZ x2+y2+z 2=r 2 f(x, y, z)dS = 4f(0, 0, 0).
8 山.仙4分)设L为r2+2=㎡(R>0),则/VP+=( 广Pa回国a联o产P:回e 126分)设球面5：子++2网9是定义在(-心，+o)止的连续正值 数实常数则鱼面积分得十册 13.(10)(10分)计算第一型曲线积分(2+xc0s),其中L是单位圆x2+y2-1 14.(09)(10分)设函数f,)是整个平面上具有二阶连续偏导数的二次齐次函数， 即对任意工，t有ft红，y)=f红，)成立. ()证明x(红，)+（红，）-2f红，： ②设D是由圆周L:P+产=4所围成的闭区域，证明：，)以= + 15.0m4分)圆周L:江=aeas0,y=am0,则厂2+rl= 16.06s分设L:=ty=tmt:=tmt0<t≤2以求1=人2+了+
· 8 · 11. (11)(4©) Lèx 2 + y 2 = R2 (R > 0),K Z L p x 2 + y 2dl = ( ). (A) Z 2π 0 r 2 dr; (B) 2πR2 ; (C) Z 2π 0 dθ Z R 0 r 2 dr; (D) πR3 . 12. (11)(3©) •°S : x 2 + y 2 + z 2 = R2 , f(t)¥½¬3(−∞, +∞)˛ÎYä ºÍ,a, bè¢~Í, K°»© ZZ S af(x) + bf(y) f(x) + f(y) dS = . 13. (10)(10©) Oé1ò.Ç»© Z L (x 2+x cos x)dl, Ÿ• L ¥¸† x 2+y 2 = 1. 14. (09)(10©) ºÍ f(x, y) ¥á²°˛‰k ÎY†Íg‡gºÍ, =È?ø x, y, t k f(tx, ty) = t 2f(x, y) §·. (1) y²:xf0 x (x, y) + yf0 y (x, y) = 2f(x, y); (2) D ¥d ± L : x 2 + y 2 = 4 §å§4´ç, y² Z L f(x, y)dl = ZZ D ( ∂ 2f ∂x2 + ∂ 2f ∂y2 )dxdy 15. (07)(4©) ± L : x = a cos θ, y = a sin θ, K Z L (x 2 + y 2 ) n dl = . 16. (06)(8©) L : x = t, y = t cost, z = tsin t,(0 6 t 6 2π), ¶ I = Z L dl p 2 + y 2 + z 2