高校核心课程学习指导丛书 线性代数与解析几何 学习辅导 XIANXING DAISHU YU JIEXI JIHE XUEXI FUDA口 申伊塃郑业龙 陈效群张韵华/编著 中国科学技术大学出版社 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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前 言 几何、代数和分析组成当代数学学科的三大主干分支，而解析几何、线性代 数和微积分是相应的入门基础课程.线性代数被普遍认为是一门比较难学、难教 的课程.主要困难在于，线性代数的公理化体系太抽象.经过该课程的学习后学生 的抽象思维能力、空间想象能力和计算机应用能力都会有较大的提高. 本书是“线性代数与解析几何”课程的配套辅导参考书，适合于学生在课程 学习中答疑解惑，也是课程复习和研究生考试的一份参考资料.中国科学技术大 学（非数学系）线性代数课程教材《线性代数与解析几何》由陈发来教授等编 写，高等教育出版社2011年出版.本书的章节逐一对应该教材的内容次序，依次 为向量与复数、空间解析几何、线性方程组、矩阵与行列式、线性空间、线性变 换、欧几里得空间和实二次型 本书每章内容包括“内容提要”、“例题分析”和教材的习题，在附录1中给 出教材中习题的参考答案或解题的提示，附录2中给出近几年中国科学技术大学 的考试试卷 本书选用的例题包括计算题、选择题、证明题和错例分析等多种题型.例题 覆盖面广、难易兼顾，以适应不同学习阶段和不同层次的需求.在例题分析中精 选典型例题演示和分析，例题中有启发性的提示或点评，以点代面拓展学生解题 的思路，提高学生分析和解决问题的能力. 作为课堂教学的补充，本书将不同院系所需的专门内容扩充到例题和习题中 有些例题是定理证明.对超出考研范围、有难度的例题，我们标以星号(*)，供 参考. 中国科学技术大学数学科学学院是首批全国理科人才培养基地，“线性代数与 解析几何”课程是2007年国家精品课程和2013年共享课程，在课程建设中贯穿 中国科学技术大学制定的“基础宽厚实，专业精新活，注重全面素质和创新精神 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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线性代数与解析几何学习辅导 的教学理念，课程主持人陈发来教授严谨而开阔的课程录像点击率高，已有多家 网站下载. 编写本书的作者具有多年的教学经验，他们参考北京大学、清华大学、上海 交通大学、南开大学、山东大学、武汉大学和东南大学等高校教材、习题辅导 考研试题和课程考试试题汇集而成本书.希望本书成为正在学习线性代数课程学 生的课外辅导良师，成为理工科考研或复习课程的学生的交流益友，帮助学生掌 握线性代数课程的精华，提高其抽象思维能力和空间想象能力，并为其他学科学 生的学习、研究以及实际应用打下坚实的基础.我们将收集本书的反馈意见，不 断修订和充实例题.感谢博士生曾超、江金凤、孙玉财和周进，他们都担任过课 程辅导并完成了教材的习题，给出了参考答案；周进和曾超还为线性代数共享课 程网上建设做了很多工作，在此一并向他们表示感谢.感谢中国科学技术大学出 版社和教务处对出版本书的支持！ 编著者 2015年2月 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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目 次 前言. 1 第1章向量与复数.1 11向量的线性运算和坐标系. .1 12向量的数量积、向量积、混合积.5 1.3复数.16 习题1.19 第2章空间解析几何. 2 21直线与平面. 21 2.2空间曲线与曲面.37 23坐标变换. 44 习题2. 48 第3章线性方程组 51 习题3.58 第4章矩阵与行列式. 61 41矩阵的定义. 61 42矩阵运算 63 43行列式 80 4.4秩与相抵 104 习题4 115 第5章线性空间. 121 51向量的线性关系.121 52线性空间 145 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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线性代数与解析儿何学习辅导 5.3线性方程组的解集.155 习题5. 173 第6章线性变换.179 61线性变换与矩阵. 179 6.2特征值和特征向量 190 63矩阵的相似. 208 习题6. 224 第7章欧几里得空间. 229 71欧几里得空间. 229 72正交变换与对称变换. 241 73酉空间. 259 习题7 280 第8章实二次型. 284 8.1二次型的标准形与不变量. 284 8.2二次曲面的分类. 292 83二次型的有定性. 304 习题8 307 附录1习题参考答案 311 附录2试卷. 338 中国科学技术大学2008-2009学年（第1学期）期终考试试卷. 338 中国科学技术大学2009-2010学年（第1学期）期中考试试卷 340 中国科学技术大学2010-2011学年（第2学期）期终考试试卷 342 中国科学技术大学2012-2013学年（第1学期）期中考试试卷 344 中国科学技术大学2012-2013学年（第1学期）期终考试试卷 346 中国科学技术大学2013-2014学年（第1学期）期终考试试卷 . 348 参考文献. 350 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第1章向量与复数 1.1向量的线性运算和坐标系 内容提要 1.向量 既有大小，又有方向的量称为向量.记为a或d,向量a的长度la称为向 量的模，长度为1的向量称为单位向量，长度为0的向量称为零向量，记为0或 O,和向量大小相同、方向相反的向量称为向量a的负向量，记作一a 2.向量的坐标表示 设e1,e2,e3是三个不共面的向量，对空间中的任一向量a都存在唯一的有序 实数组(x,2),使a=xe1+ye2十e3,称(r,z)为向量a在基e1,e2,e3下的仿 射坐标或坐标 设向量a在空间直角坐标中的三个坐标轴Ox,Oy,Oz上的坐标（投影）分 别为x, 向量的模为：a=√2+y2+2 利用向量运算可以简化许多几何问题计算，其思想是将向量直观的几何性质 转化为简便的代数运算. 3.向量的加法和数乘 向量加法的几何描述：平行四边形法则 向量加法和数乘的坐标表示：设a=(c1,c2,x3),b=(幼，2,3)，入为一个 实数 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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线性代数与解析几何学习辅导 向量表示： a+b=(x1+1)e1+(2+2)e2+(x3+)e3, λa=λx1e1+入x2e2+λxge3 分量表示： (x1,x2,工3)+(1,2，)=(c1+1,2+2,3+3), A(x1,x2,x3)=(入x1,x2,入x3) 4.向量的方向余弦 设向量a=OA=(a1,2,ag)与坐标轴Oz,Oy,Oz的夹角分别为a,B,Y,则 cosa,cosB,cosy称为向量a的方向余弦. 2 (cosa,cos B,cosy)= Va+a+aG'Va+a+a'√a+a号+a 并有 cos2a+cos2 B+cos2y=1. 5.向量的共线与共面 向量a,b共线的充分必要条件是存在不全为零的实数入，山，使得 Aa+jb=0. 向量α，b,c共面的充分必要条件是存在不全为零的实数入，4，山，使得 λa+b+vc=0. 设a1,a2,.,an为一组向量，入1，入2，.，入n为实数.称向量 a=入1a1+入2a2+.+入.a 为向量a1,a2,.,an的线性组合。 如果存在不全为零的实数入1，入2，·，入，使得 A1a1+2a2+.+入nan=0, 称a1,a2,.,an为线性相关 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第1章向量与复数 反之，不是线性相关的一组向量称为线性无关.也就是说，如果上式成立，则 入1=入2=.=入m=0. 点评在空间解析几何中引入向量共线、共面、线性相关的基本概念，为线 性代数的难点（线性相关和线性无关）内容作了铺垫，也为学习维向量空间的 内容提供了直观的几何实例，益处多多 例题分析 例1.1求点P(3,-4,5)到坐标原点以及各坐标轴的距离. 解设点P到坐标原点、x轴、y轴和z轴的距离分别为Lo,Lx,Ly,L,则 L0=V32+(-4)2+5=5√2， Lx=V(-4)2+5=√4L, Ly=V32+5=34, L.=V32+(-4)2=5. 例1.2求z轴上一点，使与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)的距离相等 解设所求的点为M(0,0,之，则由两点间的距离公式可得 1AM=√42+(-1)2+(z-7)2=V66-14z+22 1BM=V(-3)2+(-5)2+(2+2)2=V38+4z+22 由题设AM=BM,所以 66-14z+22=38+4z+z2, 解得z=14/9,故所求点为(0,0,14/9). 例1.3设向量α与各坐标轴的正向的夹角都相等，求此向量的方向余弦， 解由假设知α=B=Y,故得 cos2 a+cos2 B+cos2y=3cos2a 1, 所以 1 c0sa=c0s=c0sy=± 例1.4求点M(a1,b1,c)关于点N(a2,b2,2)的对称点. 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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线性代数与解析几何学习辅导 解设所求点是(x,弘，)，则 +a= x=2a2-a1 2g+61)=b2 y=2b2-b1 22+)=c2 z=2c2-C1 故所求点是(2a2-a1,2b2-b1,2c2-g1). 例1.5已知a与轴Ox和Oy所夹角分别为a=60°，B=120°，且a=2. 试求a坐标. 解由题意得 =1-coa-co1- 所以 2， a=(2c0s60°，2c0s120°，2cosy), 故 a=(1,-1,±V2) 例1.6设单位向量07与z轴的方向角为30°，另外两个方向角相等，求T 的坐标. 解设T点的坐标为(x,2),方向角为α，B,Y.由 cos2 a+cos2 B+cos2y=1, 有 2c0s2a+3 =L,cosa=cosB=±y2 又1OT川=1，得 红，)=士2 42 T点的坐标为 2v2 442 或23 4-42 例1.7对任意非零向量a,b,c,证明：向量a+b+c,a-b-c,a+2b+3c线 性无关 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第1章向量与复数 证设未知量入，y对a,b,c有线性组合式 λ(a+b+c)+u(a-b-c)+v(a+2b+3c)=0, 化简得 (A+4+y)a+(A-4+2v)b+(A-4+3w)c=0. 列出未知量的方程组 入+u+V=0 入-4+2w=0. (入-4+3w=0 解方程组，得到入=0,4=0，=0，方程组只有零解，因此三个向量线性无关 1.2 向量的数量积、向量积、混合积 内容提要 1.向量的数量积和投影 两个向量a与b的数量积为一个实数，数量积也称为点乘、内积.它等于两 个向量的模长与两个向量夹角的余弦的乘积，记为a·b.如果向量a,b的夹角为 0,则 a.b=lab cos0. 向量a在向量b上的投影Prj6a等于向量a点乘b方向（可正可负）的单 位向量.向量的投影表示为 Pa=a-P（心表示b的单位向量，P=合) 内积也可表示为 a.b=a Prjob=b Prjpa. 在直角坐标系下，设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),内积表示为 a.b=+a262+a3b3. 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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