第4章不定积分习题课 本章主要内容 1.原函数的概念 2.不定积分的概念与性质 3.求不定积分的方法. 4.特殊函数的不定积分求法 一原函数概念 1.定义设f)在区间有定义,如果区间上可微函数Fe)满足F)=f)(任 I).则称F(x)是f(x)在I上的一个原函数. 注意定义中:F(z)是fz):(1)在I上的(2)一个原函数 2原函数的性质 (①)如果F(x)是f(x)的原函数,则对任意常数c,F()+c也是f(x)的原函数, ()f(工)的任意两个原函数之差为常数,所以 {F(x)+cIc∈R 就是f()的全体原函数组成的集合, ()f()在区间I上的原函数F(r)在I上一定是连续函数. 3原函数存在定理设fx)在区间1上连续,则在I上一定有原函数. 注:()区间上的连续函数一定有原函数,但原函数未必能用初等函数表示例 如 ,台e,-e产0<k<) sin r e (②)函数若在区间上有第一类间断点,则一定在上没有原函数。 三不定积分 1.定义设F(e)是f(e)的一个原函数,则称集合{F(x)+c|c∈R)为f(e)的不定 积分,记成∫fe)d=F()+C 2.性质 是∫reh=fe,a((e)=fe地 F(r)dz =F()+c. dF(z)=F(a)+c. 3.不定积分的几何意义
· 1 · 1 4 Ÿ ÿ½»©SKë ŸÃáSN 1. ºÍVg. 2. ÿ½»©VgÜ5ü 3. ¶ÿ½»©ê{. 4.AœºÍÿ½»©¶{ ò.ºÍVg 1. ½¬ f(x)3´mIk½¬,XJ´m˛åáºÍF(x)˜vF 0 (x) = f(x) (x ∈ I),K°F(x)¥f(x)3I˛òáºÍ. 5ø½¬•:F(x)¥f(x): (1)3I˛(2)òáºÍ. 2ºÍ5ü (i) XJF(x)¥f(x)ºÍ,KÈ?ø~Íc, F(x) + cè¥f(x)ºÍ. (ii) f(x)?ø¸áºÍÉè~Í,§± {F(x) + c | c ∈ R} “¥f(x)NºÍ|§8‹. (iii) f(x)3´mI˛ºÍF(x)3I˛ò½¥ÎYºÍ. 3ºÍ3½n f(x)3´mI˛ÎY,K3I˛ò½kºÍ. 5µ(1) ´mI˛ÎYºÍò½kºÍ,ºÍô7U^–ºÍL´.~ X sin x x , 1 ln x , e x x , e−x 2 , p 1 − k 2 sin2 x (0 < k < 1) (2) ºÍe3´mI˛k1òam‰:,Kò½3I˛vkºÍ. n.ÿ½»© 1.½¬ F(x)¥f(x)òáºÍ,K°8‹{F(x) +c | c ∈ R}èf(x)ÿ½ »©,P§ R f(x)dx = F(x) + c. 2.5ü d dx Z f(x)dx = f(x), d Z f(x)dx = f(x)dx. Z F 0 (x)dx = F(x) + c, Z dF(x) = F(x) + c. 3.ÿ½»©A¤ø¬