常用积分公式 (-)含有amr+b的积分(a≠0) 1.n年。=na+C 2.∫(ar+b)rdr= ((+b+C() 1 a 46点-Ba+6-2s+rna+小c dx x ankac &jam+bti-c+b-bnr+ *6*C b jreh斗c (二)含有Va+b的积分 10小+t=名c++C .j小xar+t=7品(x-26@++C 12.o (52c aj忌m-2m5-C
常 用 积 分 公 式 （一）含有 的积分 ax b + ( ) a ≠ 0 1． dx ax b + ∫ ＝ 1 ln ax b C a + + 2． ( ) ax b x ＝ μ + ∫ d 1 1 ( ) ( 1) ax b C a μ μ + + + + （ μ ≠ −1） 3． d x x ax b + ∫ ＝ 2 1 ( ln ) ax b b ax b C a + − ++ 4． 2 d x x ax b + ∫ ＝ 2 2 3 1 1 ( ) 2 ( ) ln 2 ax b b ax b b ax b C a ⎡ ⎤ + − ++ + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 5． d ( ) x x ax b + ∫ ＝ 1 ln ax b C b x + − + 6． 2 d ( ) x x ax b + ∫ ＝ 2 1 ln a ax b C bx b x + − + + 7． 2 d ( ) x x ax b + ∫ ＝ 2 1 (ln ) b ax b C a ax ++ + + b 8． 2 2 d ( ) x x ax b + ∫ ＝ 2 3 1 ( 2 ln ) b ax b b ax b C a ax b + − +− + + 9． 2 d ( ) x x ax b + ∫ ＝ 2 1 1 ln ( ) ax b C b ax b b x + − + + （二）含有 ax b + 的积分 10． ax b x + d ∫ ＝ 2 3 ( ) 3 ax b C a + + 11． x ax b x + d ∫ ＝ 3 2 2 (3 2 ) ( ) 15 ax b ax b C a − + + 12． 2 x ax b x + d ∫ ＝ 2 2 2 3 3 2 (15 12 8 ) ( ) 105 a x abx b ax b C a − + ++ 13． d x x ax b + ∫ ＝ 2 2 ( 2) 3 ax b ax b C a − + + 1
4j=高wr-4awn5:c 1 ax+b-1b VNam+b+ +C(b>0) 2 +b+C(b0)的积分 1 (b>0) 1 ax-马+cb<0) 2J ab!ax+ 2s.a+6=ahlm++c 2
14． 2 d x x ax b + ∫ ＝ 2 2 2 3 2 (3 4 8 ) 15 a x abx b ax b C a − + + + 15． dx x ax b + ∫ ＝ 1 ln ( 0) 2 arctan ( 0) ax b b C b b ax b b ax b C b b b ⎧ + − ⎪ + > ⎪ + + ⎨ ⎪ + + ( 0) 22． 2 dx ax b + ∫ ＝ 1 arctan ( 0) 1 ln ( 0) 2 a xC b ab b ax b C b ab a x b ⎧ ⎪ + > ⎪ ⎨ ⎪ − − + < ⎪ − +− ⎩ 23． 2 d x x ax b + ∫ ＝ 1 2 ln 2 ax b C a + + 2
4t-。 25.∫ |∴htc x j女-引。 nj而0a+c jaw+Jm。 (五)含有ar2+br+c(a>0)的积分 2 2ax+b dx hac-arian4c-尔+C (b24ac) b-4ac "2ax+b+1b-4ac n∫me-a++品md (六)含有VF2+a(a>0)的积分 jga好+G=+F+C a dx 2.J+产+a+c j后=+C +C
24． 2 2 d x x ax b + ∫ ＝ 2 x b xd a a ax b − + ∫ 25． 2 d ( ) x x ax b + ∫ ＝ 2 2 1 ln 2 x C b ax b + + 26． 2 2 d ( ) x x ax b + ∫ ＝ 2 1 d a x bx b ax b − − + ∫ 27． 3 2 d ( ) x x ax b + ∫ ＝ 2 22 2 1 ln 2 2 a ax b C b x bx + − + 28． 2 2 d ( ) x ax b + ∫ ＝ 2 2 1 d 2( ) 2 x x b ax b b ax b + + + ∫ （五）含有ax bx c 2 + + ( 0 a > )的积分 29． 2 dx ax bx c + + ∫ ＝ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 arctan ( 4 ) 4 4 12 4 ln ( 4 ) 42 4 ax b C b ac b ac b ax b b ac C b ac b ac ax b b ac ⎧ + + ⎪ − ++ − ⎩ ac 30． 2 d x x ax bx c + + ∫ ＝ 2 2 1 d ln 2 2 b x ax bx c a a ax bx c + +− + + ∫ （六）含有 2 2 x + a ( 0 a > )的积分 31． 2 2 dx x + a ∫ ＝ 1 arsh x C a + ＝ 2 2 ln(x + ++ xa C ) 32． 2 23 d ( ) x x a + ∫ ＝ 22 2 x C ax a + + 33． 2 2 d x x x a + ∫ ＝ 2 2 x + a C+ 34． 2 23 d ( ) x x x a + ∫ ＝ 2 2 1 C x a − + + 3
sj-原a-+原aC 人meo .wac c a'x 39.ds-)+c 40.JYas-+5x+d)+c 41.Jx+adx-x+a+C n.uarn -mc 3.dalnac .c (七)含有2-a(a>0)的积分 ,d=ach因+C=lnlx+F2-a网+C 45.∫F-冈 a dx 46.yC nj产ed-原-+c
35． 2 2 2 d x x x a + ∫ ＝ 2 2 2 2 2 ln( ) 2 2 x a x +− + + + a x xa C 36． 2 2 23 d ( ) x x x a + ∫ ＝ 2 2 2 2 ln( ) x x xa C x a − + + ++ + 37． 2 2 dx x x a + ∫ ＝ 2 2 1 ln xaa C a x + − + 38． 22 2 dx x x a + ∫ ＝ 2 2 2 x a C a x + − + 39． 2 2 x + a xd ∫ ＝ 2 2 2 2 2 ln( ) 2 2 x a x ++ + + + a x xa C 40． 2 23 ( ) x + a xd ∫ ＝ 2 2 22 4 22 3 (2 5 ) ln( ) 8 8 x x + a xa a x xa C ++ + + + 41． 2 2 x x a + d ∫ x ＝ 1 2 23 ( ) 3 x + + a C 42． 22 2 x x a + d ∫ x ＝ 4 22 22 2 2 (2 ) ln( ) 8 8 x a x + a xa x xa C +− + + + 43． 2 2 d x a x x + ∫ ＝ 2 2 2 2 ln xaa x a a C x + − + + + 44． 2 2 2 d x a x x + ∫ ＝ 2 2 2 2 ln( ) x a x xa C x + − + + ++ （七）含有 2 2 x − a ( 0 a > )的积分 45． 2 2 dx x −a ∫ ＝ 1 arch x x C x a + = 2 2 ln x + −+ xa C 46． 2 2 d ( ) x 3 x − a ∫ ＝ 22 2 x C ax a − + − 47． 2 2 d x x x a − ∫ ＝ 2 2 x − a C+ 4
j。-F-号+原-c jo=aac 。c a'x s8.小r-a=F-G-gl+F-a同+c s4.SR-@Yas-Qx-50N-+as+-a+c s5.Sxx-adx=iVx-@)+C s6.J:-dds-jQx-oN-a-+-+c nj2k=F-7-aa骨+c kc (八)含有Va2-产(a>0)的积分 9后am子c dx o.ho-ylc
48． 2 23 d ( ) x x x a − ∫ ＝ 2 2 1 C x a − + − 49． 2 2 2 d x x x a − ∫ ＝ 2 2 2 2 2 ln 2 2 x a x −+ + − + a x xa C 50． 2 2 23 d ( ) x x x a − ∫ ＝ 2 2 2 2 ln x x xa C x a − + + −+ − 51． 2 2 dx x x a − ∫ ＝ 1 arccos a C a x + 52． 22 2 dx x x a − ∫ ＝ 2 2 2 x a C a x − + 53． 2 2 x − a xd ∫ ＝ 2 2 2 2 2 ln 2 2 x a x −− + − + a x xa C 54． 2 23 ( ) x − a xd ∫ ＝ 2 2 22 4 22 3 (2 5 ) ln 8 8 x x − a xa a x xa C −+ + − + 55． 2 2 x x ax − d ∫ ＝ 1 2 23 ( ) 3 x − + a C 56． 22 2 x x ax − d ∫ ＝ 4 22 22 2 2 (2 ) ln 8 8 x a x − a xa x xa C −− + − + 57． 2 2 d x a x x − ∫ ＝ 2 2 arccos a x aa C x − − + 58． 2 2 2 d x a x x − ∫ ＝ 2 2 2 2 ln x a x xa C x − − + + −+ （八）含有 2 2 a x − ( 0 a > )的积分 59． 2 2 dx a x − ∫ ＝arcsin x C a + 60． 2 2 d ( ) x a x − ∫ 3 ＝ 22 2 x C aa x + − 5
61a字=-F-F+c 1 c a'x 61小后-Fd=-7+号csn2+C 68.j小@-r可u-(sa2-2rF-+aarcsin+c 69.∫x后-xdx=-3@-ry+C 0jf-rw-营2r-FF+gn4c 71.∫G-=G-平+ana-F-平+C x n.j匠-r=-匠- x2 -arcsin+C a (九)含有士ar2+bx+c(a>0)的积分 d B.jm+r+e -In2ax+b+2Jalax+bx+c+C 6
61． 2 2 d x x a x − ∫ ＝ 2 2 − axC − + 62． 2 23 d ( ) x x a x − ∫ ＝ 2 2 1 C a x + − 63． 2 2 2 d x x a x − ∫ ＝ 2 2 2 arcsin 2 2 x ax a x C a − −+ + 64． 2 2 23 d ( ) x x a x − ∫ ＝ 2 2 arcsin x x C a x a − + − 65． 2 2 dx x a x − ∫ ＝ 2 2 1 ln a ax C a x − − + 66． 22 2 dx x a x − ∫ ＝ 2 2 2 a x C a x − − + 6 67． 2 2 a x − d ∫ x ＝ 2 2 2 arcsin 2 2 x a a x C a −+ + x 68． 2 23 ( ) a x − ∫ dx ＝ 2 2 22 4 3 (5 2 ) arcsin 8 8 x x a xax a a − −+ + C 69． 2 2 x a x − d ∫ x ＝ 1 2 23 ( ) 3 − ax C − + 70． 22 2 x a x − d ∫ x ＝ 4 22 22 (2 ) arcsin 8 8 x a x x aax C a − −+ + 71． 2 2 d a x x x − ∫ ＝ 2 2 2 2 ln a ax axa C x − − − + + 72． 2 2 2 d a x x x − ∫ ＝ 2 2 arcsin ax x C x a − − − + （九）含有 2 ± ++ ax bx c ( 0 a > )的积分 73． 2 dx ax bx c + + ∫ ＝ 1 2 ln 2 2 ax b a ax bx c C a ++ + + +
74.[Vax b+cd=2ax +b c 4a dac-I++C 8√a 75.j了a+bx+e x dr=上Va2+bx+c a 2场br+62G4 dx 2ax-b+C n小a-a指产aC 4a l云aa右咖c 中)含有-o6-可银分 81=-g46-a-可-+C b-x x-a+C w.f(-arcin dx nx-a+C (a<b) 81.「7x-0-2csV6- 小06-2b-o6-可，m层c (a<b) (十一)含有三角函数的积分 83.∫sinxdx=-cosx+C
74． 2 ax bx c x + + d ∫ ＝ 2 2 4 ax b ax bx c a + + + 2 2 3 4 ln 2 2 8 ac b ax b a ax bx c C a − + ++ + + + 75． 2 d x x ax bx c + + ∫ ＝ 1 2 ax bx c a + + 2 3 ln 2 2 2 b ax b a ax bx c C a − ++ + + + 76． 2 dx c bx ax + − ∫ ＝ 2 1 2 arcsin 4 ax b C a b ac − − + + 77． 2 c bx ax x + − d ∫ ＝ 2 2 3 2 2 4 arcsin 4 8 4 ax b b ac ax b c bx ax C a a b ac − + +− + + + 2 − 78． 2 d x x c bx ax + − ∫ ＝ 2 3 2 1 2 arcsin 2 4 b ax b c bx ax C a a b ac − − +− + + + （十）含有 x a x b − ± − 或 ( )( x − − ab x) 的积分 79． d x a x x b − − ∫ ＝( ) ( )ln( ) x a x b ba xa xb x b − − +− −+ − + C − 80． d x a x b x − − ∫ ＝( ) ( )arcsin x a x a x b ba b x b x − − − + − + C − − 81． d ( )( x x − − ab x) ∫ ＝2arcsin x a C b x − + − ( ) a b < 82． ( )( )d x − − ab x x ∫ ＝ 2 2 ( ) ( )( ) arcsin 4 4 xab ba xa x ab x C b x − − − − − − + + − ( ) a b < （十一）含有三角函数的积分 7 83． sin dx x ∫ ＝ − + cos x C
84.cosxdx =sinx+C 85.tan xdx =-In cosx+C 86.∫cotxdx=Insin+C 7.sed uanc kee+tanc 88.[cse xdx Intan+C=Incsex-cotx+C 89.「sec2xdr=tanx+C 90.「csc2xdr=-cotx+C 91.[secxtanxdx =secx+C 92.[cscx cotxdx =-cscx+C gjm-n2x+C 94.Tcossin2+c gjm-n片m %jw-wm+”片w dx 1 cosx n-2 dx 1 sinx n-2 dx 98.sos'x n-1 cos"-x n-1 cos cos"-i xsin cos"-2 xsin"xdx 1 99.cos"xsin"xdx= m+n cos"xsinx cos"xsin xdx 1 =- 1 1 100.Jsinarcosdcoco)+
84． cos dx x ∫ ＝sin x +C 85． tan dx x ∫ ＝ − + ln cos x C 86． cot dx x ∫ ＝ln sin x +C 87． sec dx x ∫ ＝ln tan( ) 4 2 x C π + + ＝ln sec tan x + x C+ 88． csc dx x ∫ ＝ln tan 2 x + C ＝ln csc cot x − x C+ 89． 2 sec dx x ∫ ＝ tan x +C 90． 2 csc dx x ∫ ＝ −cot x +C 91． sec tan d x x x ∫ ＝sec x +C 92． csc cot d x x x ∫ ＝ −csc x +C 93． 2 sin dx x ∫ ＝ 1 sin 2 2 4 x − x + C 94． 2 cos dx x ∫ ＝ 1 sin 2 2 4 x + x + C 95． sin d n x x ∫ ＝ 1 1 1 2 sin cos sin d n n n x x x n n − − − − + ∫ x 96． cos d n x x ∫ ＝ 1 1 1 2 cos sin cos d n n n x x x n n − − − + ∫ x 97． d sinn x x ∫ ＝ 1 2 1 cos 2 d 1 sin 1 sin n n x n x n xn − − − −⋅ + − − ∫ x 98． d cosn x x ∫ ＝ 1 2 1 sin 2 d 1 cos 1 cos n n x n x n xn − − − ⋅ + − − ∫ x 99． cos sin d m n x x x ∫ ＝ 1 1 1 1 2 cos sin cos sin d m n m m n x x x m n m n − + − x x − + + + ∫ ＝ 1 1 1 1 2 cos sin cos sin d m n n m n x x x m n m n + − − x x − − + + + ∫ 100． ∫sin cos d ax bx x ＝ 1 1 cos( ) cos( ) 2( ) 2( ) a bx a bx C a b a b − +− −+ + − 8
101.sinax sindsin()sin()+C 1 1 102.「cosax cos bxdx= )sin+sina-)x+C 2 atan+b +C(a2>b2) "a-b 1 atanx+b-vb-a +C(a20) 9
101． ∫sin sin d ax bx x ＝ 1 1 sin( ) sin( ) 2( ) 2( ) a bx a bx C a b a b − ++ −+ + − 102． ∫ cos cos d ax bx x ＝ 1 1 sin( ) sin( ) 2( ) 2( ) a bx a bx C a b a b ++ −+ + − 103． d sin x ab x + ∫ ＝ 2 2 2 2 tan 2 2 arctan x a b C ab ab + + − − 2 2 ( ) a b > 104． d sin x ab x + ∫ ＝ 2 2 2 2 2 2 tan 1 2 ln tan 2 x a b ba C x b a a b ba +− − + − ++ − 2 2 ( ) a b 106． d cos x ab x + ∫ ＝ tan 1 2 ln tan 2 x ab a b b a C abba x ab b a + + + − + + − + − − 2 2 ( ) a b 0） 113． arcsin dx x a ∫ ＝ 2 2 arcsin x x axC a + − +
u.j小arcn-写-gcm子后-4c jmt-号ome+2aF-4c a 116.farccosdx=xarccosC a a mj小ow-号-am-F4c 1l8.∫x2 arccos'dr=父g -号n后-r+2an-f+C 119.farctandx=xarctanIn+)+C a a 2 1mjau-c+a。-号+c a 2 -号ntm后-g+gmc++c x3 a 6 (十三)含有指数函数的积分 fa'ds-ma+c 12.∫ed=e“+C a 124.faedc 125.∫xedr=lrem-"∫xedx a 126.xa'dr= xa- 1 Ina(na'+C mjro-drr品rot 1 1.indinbos)+C 1 129.jecoshad=a+Fe“6snr+acos)+C
114． arcsin d x x x a ∫ ＝ 2 2 2 2 ( )arcsin 24 4 x a xx axC a − +− + 115． 2 arcsin dx x x a ∫ ＝ 3 1 2 2 22 arcsin ( 2 ) 3 9 x x x aaxC a + + −+ 116． arccos dx x a ∫ ＝ 2 2 arccos x x axC a − − + 117． arccos dx x x a ∫ ＝ 2 2 2 2 ( )arccos 24 4 x a xx axC a − − −+ 118． 2 arccos d x x x a ∫ ＝ 3 1 2 2 22 arccos ( 2 ) 3 9 x x x aaxC a − + −+ 119． arctan d x x a ∫ ＝ 2 2 arctan ln( ) 2 x a x ax C a − + + 120． arctan d x x x a ∫ ＝ 1 2 2 ( )arctan 2 2 x a a x xC a + − + 121． 2 arctan d x x x a ∫ ＝ 3 3 2 22 arctan ln( ) 3 66 x xa a x ax C a − + ++ （十三）含有指数函数的积分 122． ＝ d x a x ∫ 1 ln x a C a + 123． e dax x ∫ ＝ 1 eax C a + 124． e dax x x ∫ ＝ 2 1 ( 1)eax ax C a − + 125． e d n ax x x ∫ ＝ 1 1 e e n ax n ax n x x xd a a − − ∫ 126． d x xa x ∫ ＝ 2 1 ln (ln ) x x x a a a a − + C 127． d n x x a x ∫ ＝ 1 1 d ln ln n x n n x x a xa a a − − ∫ x 128． e sin d ＝ ax bx x ∫ 2 2 1 e ( sin cos ) ax a bx b bx C a b − + + 129． e cos d ＝ ax bx x ∫ 2 2 1 e ( sin cos ) ax b bx a bx C a b + + + 10