.1 本章主要内容 1.导数的据念导数的几何音义 2.求导运算：基本公式，求导法则（四则运算，复合运算，反函数求导运算）， 隐函数求导，参数方程表示的函数求导 3.微分概念，一阶微分形式不变性，几何意义 4.中值定理(Fe mat,Rolle,La nge, Cauchy,Taylor) 5.导数应用(L'Hospital法则，单调性，极值，凹凸性，拐点，作图) 一导数的概念 1.注意导数概念的正确理解2.在很多时候必须用导数定义求导，例如：分 段函数在分段点的导数，若不用导数极限定理，则需用导数定义.另外在求极限时有 时L'Hospital法则是不能用的，只能用导数定义. 例1设f(r)在x=a的某个邻域内有定义，则f(r)在x=a处可导的一个充分条 件是(） (A),lim hf(a+)-fa存在 ()+-fa+创存在 (⑨吗a+〕-a-创存在 D巴@-a存在 条件2设儿可导.F同=1+1则f0=0是F倒在三0处可导的 (A)充要(B)充分但不必要(C)必要但不充分(D)既不充分也不必要 例3设对任意恒有fc+1)=P(),且0=f0)=1,求() 已知0在/0-0-0求 例5设f()在(-o,+∞)内有定义，且满足1f(引≤x2,则点工=0必为f(x)的( (A)间断点 (B)连续，但不可导 (C)可导点，且f0)=0(D)可导点且f0)≠0 二注意一些结论 1.函数可导则一定连续，反之不真若fx)在左右可导，则f()在也连续初 等函数在其定义区间上均连续，但未必在其定义区间上可导例如口)=x在x 0处是连续的，但不可导
· 1 · ŸÃáSN 1. ÍVg,ÍA¤ø¬ 2. ¶$é: ƒ ˙™,¶{K£oK$éßE‹$éßáºÍ¶$é§ß ¤ºÍ¶ßÎÍêßL´ºÍ¶ 3. á©Vgßò á©/™ÿC5ßA¤ø¬ 4. •ä½n£Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, Taylor§ 5. ÍA^£L’Hospital{K߸N5ß4äß]‡5ß$:ß䄧 ò.ÍVg 1. 5øÍVg(n) 2. 3Èıûˇ7L^ͽ¬¶,~X:© „ºÍ3©„:Í,eÿ^Í4Žn,KI^ͽ¬., 3¶4Åûk ûL’Hospital{K¥ÿU^,êU^ͽ¬. ~1 f(x)3x = a,áçSk½¬,Kf(x)3x = a?åòáø©^ á¥( ) (A) lim h→+∞ h[f(a + 1 h ) − f(a)]3 (B) lim h→0 f(a + 2h) − f(a + h) 2h 3 (C) lim h→0 f(a + h) − f(a − h) h 3 (D) lim h→0 f(a) − f(a − h) h 3 ~2 f(x)å,F(x) = f(x)(1 + |sin x|),Kf(0) = 0,¥F(x)3x = 0?å( )^á (A) øá (B) ø©ÿ7á (C) 7áÿø© (D) Qÿø©èÿ7á ~3 È?øxðkf(x + 1) = f 2 (x),Öf(0) = f 0 (0) = 1,¶f 0 (1) ~4 Æf 00(0)3,f(0) = f 0 (0) = 0,¶limx→0 f(x) 1 − cos x . ~5 f(x)3(−∞, +∞)Sk½¬,Ö˜v|f(x)| ≤ x 2 ,K:x = 07èf(x)( ). (A) m‰: (B) ÎY,ÿå (C) å:,Öf 0 (0) = 0 (D) å:,Öf 0 (0) 6= 0 .5øò (ÿ 1. ºÍåKò½ÎY,áÉÿ˝.ef(x)3x0Ümå, Kf(x)3x0èÎY.– ºÍ3Ÿ½¬´m˛˛ÎY,ô73Ÿ½¬´m˛å.~Xf(x) = x 1 33x = 0?¥ÎY,ÿå.
2 2.四则运算 0若aa均华则a士aeo得g≠0迪可导 间若a均不可导则e士gefe得(6回≠0未必不可号 ()若f口)可导，g(工)不可导则fx)士g()不可导，f在)9()未必不可导，若f()≠ 0,则feg(x)也不可导 3.函数y=f(g(x),若u=g(x)在xo可导，=f(u在=g(o)可导，则y= fg()在o可导.且有 (f(g()))'lro=f'(uo)g'(ro). 但注意，如果u=g()在xo与y-f(u)在o至少有一个不可导，那么f(gx》在xo的可 导性都是不能确定的. (1)f)=x2,g()=,则f(g(》=x2,在x=0点g)不可导，f()和g(Fe》均 可导 f(x)-x,g(c)-,则fg(x》-l,在x=0点f(e)可导g(x)和g((x)均不可 导 (2)f(a)=,g()=x2,则f(g(x》=x2,在x=0点fx)不可导，g(x)和fg(c)均 可导. fe)=g(）)=x,则fg(x》=l,在x=0点g(c)可导，f()和fg)均不可 导 (③f)=2x+9)=x-,则f9(》=工，在x=0点f)和g(c)均不 可导，而fg()可导。 f)=g=工+则f(g(a》=x+l,在x=0点f)和g(x)均不可 导，f(g(x)也不可导. 4.f(x)与引f(x)川的可导关系： fe)可导+f()≠0一f训可导：f(x川可导+f)连续一fe)可导. 5.f(x)在xo点n阶可导，则： ()f(x)在U(ro)内未必n阶可号 ()fr)在U(zo)内n-1阶可导，且fx)∈C-2(U(xo》 6周期函数的导数仍为周期函数，奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函 数
· 2 · 2.oK$é (i)ef(x), g(x)˛å,Kf(x) ± g(x), f(x)g(x), f(x) g(x) (g(x) 6= 0)èå; (ii) ef(x), g(x)˛ÿå,Kf(x) ± g(x), f(x)g(x), f(x) g(x) (g(x) 6= 0)ô7ÿå; (iii) ef(x)å,g(x)ÿå,Kf(x)±g(x)ÿå,f(x)g(x)ô7ÿå,ef(x) 6= 0,Kf(x)g(x)èÿå 3. ºÍy = f(g(x)),eu = g(x) 3x0å,y = f(u)3u0 = g(x0)å,Ky = f(g(x))3x0å, Ök (f(g(x)))0 |x0 = f 0 (u0)g 0 (x0). 5ø,XJu = g(x)3x0Üy = f(u)3u0ñkòáÿå,@of(g(x))3x0å 5—¥ÿU(½. ~ (1)f(x) = x 2 , g(x) = |x|,Kf(g(x)) = x 2 ,3x = 0:g(x)ÿå,f(x)⁄g(f(x))˛ å. f(x) = x, g(x) = |x|,Kf(g(x)) = |x|,3x = 0:f(x)å,g(x)⁄g(f(x))˛ÿå . (2)f(x) = |x|, g(x) = x 2 ,Kf(g(x)) = x 2 ,3x = 0:f(x)ÿå,g(x)⁄f(g(x))˛ å. f(x) = |x|, g(x) = x,Kf(g(x)) = |x|,3x = 0:g(x)å,f(x)⁄f(g(x))˛ÿå . (3)f(x) = 2x + |x|, g(x) = 2 3 x − 1 3 |x|,Kf(g(x)) = x,3x = 0:f(x)⁄g(x)˛ÿ å, f(g(x))å. f(x) = |x|, g(x) = x + |x|,Kf(g(x)) = x + |x|,3x = 0:f(x)⁄g(x))˛ÿå ,f(g(x))èÿå. 4. f(x)Ü|f(x)|å'X: f(x)å+f(x) 6= 0 =⇒ |f(x)|å; |f(x)|å+f(x)ÎY=⇒ f(x)å. 5.f(x)3x0:n å,K: (i)f(x)3U ◦ (x0)Sô7n å, (ii) f(x)3U(x0)Sn − 1 å,Öf(x) ∈ C (n−2)(U(x0)) 6.±œºÍÍE豜ºÍ,¤ºÍÍ¥ÛºÍ,ÛºÍÍ¥¤º Í.
3. (导数介值定理 7.导数三大性质： 导数极限定理 (f红)在区间上可导，其导函数在区间上无第一类间断点 8.f(a)∈C(U(o),且在x0的左右两侧单调性相反，则ro点为极值点，但反之不 真 9.单调可导函数的导函数未必单调：导函数单调，原来的函数也未必单调.例如y= x3x∈(-1,1)，=3r:=xxe(-1,10,y=5r 10.fg()在(a,)内可导，且f)>g(),不能推出f'()>ge).例=1-， x,x∈(0，√班>2：= -元0 的连续性，再研究可微性，其中g()在x≤ 129(). x≤0 0上连续.(20092010) 2 例5确定常数a,b,使e) 1+x2 工≤1在-心，+o内可导，并求回 ax+6.1 四.导数、微分的几何意义 切线方程y-fo)=fo-20）法线方程-fo)=一仁-0 例1求出曲线x=Intan号+cost,y=si血,0<t<x的每一条切线上从切点 到与x轴交点的距离.(2010-2011期中)
· 3 · 7.Ínå5üµ Í0ä½n Í4Žn f(x)3´m˛å,ŸºÍ3´m˛Ã1òam‰: 8. f(x) ∈ C(U(x0)),Ö3x0Üm¸˝¸N5Éá,Kx0:è4ä:,áÉÿ ˝. 9. ¸NåºÍºÍô7¸N;ºÍ¸N,5ºÍèô7¸N.~Xy = x 3 x ∈ (−1, 1), y0 = 3x 2 ; y 0 = x x ∈ (−1, 1), y = 1 2 x 2 . 10. f(x), g(x)3(a, b)Så,Öf(x) > g(x),ÿUÌ—f 0 (x) > g0 (x).~y1 = √ 1 − x 2, y2 = x, x ∈ (0, q 1 2 ), y1 > y2, y0 1 = −x √ 1 − x 2 0 x 2 g(x), x ≤ 0 ÎY5,2Ôƒåá5,Ÿ•g(x)3x ≤ 0˛ÎY.(2009-2010) ~5 (½~Ía, b,¶f(x) = 2 1 + x 2 , x ≤ 1 ax + b. x > 1 3(−∞, +∞)Så,ø¶f 0 (x) o.Í!á©A¤ø¬ ÉÇêß y − f(x0) = f 0 (x0)(x − x0) {Çêß y − f(x0) = − 1 f 0(x0) (x − x0) ~1 ¶—Çx = ln tan t 2 + cost, y = sin t, 0 < t < πzò^ÉDzlÉ: Üx¶:Âl.(2010–2011œ•)
4 例2设f(r)在含有x=0,1的开区间内连续，在x-1处可导，且在x=0的邻域内 满足 f1+sin）-2f1-sinr）=3z+o(x)z→0， 求y=f)在(1，f1)处的切线方程.(2009-2.10期中) 例3设y=f)具有二阶导数，且f'(),f"()>0,△x为自变量x在点o处的增 量，△y与d山y分别为fe)在x0处对应的增量与微分，若△x>0,则() (A)0<d<△y(B)0<△y<dy(C)△y<d<0(D)d<△y<0 五.函数求导（高阶导） 求下列函数的导数 (1)初等函数求导 例：求y=m(红+V金2+a).y=Vx+V压+V的 (2)隐函数求导 例设2+血y-=0求密是 (③)幂指函数求导 例：求[(an )sin )取对数求导法o河号ao-得 ⑤)参数方程求导 例：设f(u)在u=0的邻域内二阶可导，f"(0)=f"(0)=1,影=e)由参数方 程所确定a=g+-血会怎l心 (6)抽象函数求导 例：设f(e)为可导函数，且f()=f(eP则f()=（A) (A)n!lf((B)nf((C)f((D)n!lf() 六.用导数研究函数的性质
· 4 · ~2 f(x)3¹kx = 0, 1m´mSÎY,3x = 1?å,Ö3x = 0çS ˜v f(1 + sin x) − 2f(1 − sin x) = 3x + o(x) x → 0, ¶y = f(x)3(1, f(1))?ÉÇêß.(2009–2-10œ•) ~3 y = f(x)‰k Í,Öf 0 (x), f00(x) > 0, 4xègC˛x3:x0?O ˛,4yÜdy©Oèf(x)3x0?ÈAO˛Üá©,e4x > 0,K( ) (A) 0 < dy < 4y (B) 0 < 4y < dy (C) 4y < dy < 0 (D) dy < 4y < 0 .ºÍ¶(p ) ¶eºÍÍ (1) – ºÍ¶ ~: ¶y = ln(x + √ x 2 + a 2), y = q x + p x + √ xy 0 . (2) ¤ºÍ¶ ~: 2y + sin y − x = 0,¶ dy dx, d 2y dx2 . (3) òçºÍ¶ ~: ¶[(tan x) sin x ] 0 . (4) ÈͶ{: f(x)å,[ln |f(x)|] 0 = f 0 (x) f(x) . ~: y = x 2 s (x − 1)(x − 2) (x − 3)(x − 4),¶y 0 . (5) ÎÍê߶ ~: f(u)3u = 0çS å,f 0 (0) = f 00(0) = 1, y = y(x)dÎÍê ß ( x = te−t y = t §(½,z = f(ln(y + 1) − sin x),¶ dz dx|x=0, d 2 z dx2 |x=0. (6) ƒñºÍ¶ ~: f(x)èåºÍ,Öf 0 (x) = [f(x)]2 ,Kf (n) (x) = ( A ) (A) n![f(x)]n+1 (B) n[f(x)]n+1 (C) [f(x)]2n (D) n![f(x)]2n 8. ^ÍÔƒºÍ5ü
1.函数单调性与极值 2.函数的凹凸性与拐 3.渐近线：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线. 4.函数作图，由函数图像推知函数的相关性质. 5.方程的根（函激的零点）.方法：单调性：零值定理：Role定理 例1设f(e)在0,1上二阶可导，且f"()>0,则f(0),f'(1),f(1)-f0)的大小关 系为 .(f"(0)1,n∈N)与x轴在区 间0,1)中有唯一交点红n,0,并求imn
· 5 · 1.ºÍ¸N5Ü4ä. 2.ºÍ]‡5Ü$:. 3.ÏCÇ: Y²ÏCÇ!RÜÏCÇ!ÏCÇ. 4.ºÍä„, dºÍ„î̺ÍÉ'5ü. 5.êßä(ºÍ":),ê{µ¸N5¶"ä½n¶Rolle½n. ~1 f(x)3[0, 1]˛ å,Öf 00(x) > 0,Kf 0 (0), f0 (1), f(1) − f(0)å' Xè.(f 0 (0) 1, n ∈ N)Üx¶3´ m(0, 1)•kçò:(xn, 0),ø¶ limn→∞ xn.
·6 例11设P(工)是n次实系数多项式，若P(工)的根都是实数，证明：P'(z)的根也都 是实数. 例12B()=(2-1)”，求证Bm(e)在(-1,1)内有n个相异的实根 例13讨论曲线y=4l血x+k与y=4r+lmx的交点的个数. 七.不等式证明 万法： (1)单调性 (2)凹凸性 3)最值 (④)中值定理(（Lagrange,Cauchy,Taylor) 例1设f"(a)0,x2>0有f红1+x2)<f(红1)+ f2 八.证明关于()的等式（不等式） 例1设f)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f0)-0,f四)=2，证明存在不同 的，n∈(0,1)，使得fr()+f()=+ 例2设f)∈C0,f)在0,1)内可导，f0)=0,f四=1，证明：对任意正 数a,6,在(0,1)内存在不同的，使得 府+而=a+ 九.Taylor公式 1.牢记几个基本初等函数的Maclaurin公式. =1+红+贡++后+十州 -00<x<+o. 血r=营++一+ma -00<x<+0 x2m-2（-1)mx2m mr=1-贡++-m-2n-2n+2mcme,0<0<1h,-o<r<+x 0+°=1+ar+aa2+.+aa-小a-n+
· 6 · ~11 P(x)¥ng¢XÍıë™,eP(x)ä—¥¢Í,y²:P 0 (x)äè— ¥¢Í. ~12 B(x) = (x 2 − 1)n ,¶yB(n) (x)3(−1, 1)SknáÉ.¢ä. ~13 ?ÿÇy = 4 ln x + kÜy = 4x + ln4 x:áÍ. ‘.ÿ ™y² ê{µ (1) ¸N5 (2) ]‡5 (3) Åä (4) •ä½n(Lagrange, Cauchy, Taylor) ~1 f 00(x) 0, x2 > 0kf(x1 + x2) < f(x1) + f(x2). l.y²'uξ(η) ™(ÿ ™) ~1 f(x)3[0, 1]˛ÎY,3(0, 1)Så,Öf(0) = 0, f(1) = 1 2 ,y²3ÿ” ξ, η ∈ (0, 1),¶f 0 (ξ) + f 0 (η) = ξ + η. ~2 f(x) ∈ C[0, 1], f(x)3(0, 1)Så,f(0) = 0, f(1) = 1,y²µÈ?ø Ía, b,3(0, 1)S3ÿ”ξ, η¶ a f 0(ξ) + b f 0(η) = a + b. .Taylor ˙™ 1.OPAრ– ºÍMaclaurin˙™. e x = 1 + x + x 2 2! + · · · + x n n! + e θx (n + 1)!x n+1 , −∞ < x < +∞. sin x = x − x 3 3! + · · · + (−1)m−1 x 2m−1 (2m − 1)! + (−1)mx 2m+1 (2m + 1)! cos θx, −∞ < x < +∞. cos x = 1− x 2 2! +· · ·+(−1)m−1 x 2m−2 (2m − 2)!+ (−1)mx 2m (2m)! cos θx, 0 < θ < 1., −∞ < x < +∞. (1 + x) α =1 + αx + α(α − 1) 2! x 2 + · · · + α(α − 1)· · ·(α − n + 1) n! x n
.7. +aa-》,:a=mr*h0+8rp-, (n+1)！ 0-1 (-1) nlt=-号++-l-+n++a 0-1. 2.Taylor公式的应用 (1).近似计算. (2).利用Taylor求极限 (③).利用函数的Taylor公式求函数在某点的高阶导数 (④.利用Tay1or公式证明不等式 (⑤).其它 例1.设f)=e,求fo(O) 例2.设fe)在a,上有二阶导数，f@)=f(⑥)=0，试证∈(a,.使得r”（e川≥ -p/-fo（同-点值写成不同点的vlor公式） 例3.设fe)在(-0，+)有界，并有非负的二阶导数求证f)=c(c为常数 +a22+.anx,(a≠0，并 4设阳是n次多项武。as-试运 且fo)=fxo) ·=f xo是方程f(r)=0的m+1重根. 例5设fe)在以xo为内点的某区间1上有连续的二阶导数，f"(xo)≠0，对于0+ h∈I有中值定理f(eo+)=f(o)+hf(2o+h)(0<9<1),证明6=2 例6函数fx)在区间-1,1]上具有三阶导数，且f(-1)=0,f1)=1,fO)= 0,证明：3∈(-1,1)，使得"()=3.（不同点值写成在同一点Taylor公式） 倒7设f回在(-0，十o)内有三阶导数，极限职，f,”国都 存在有限且，典了"回=0，证明职f回=0，典了回=0 一般情形下，只要见到函数2阶或2阶以上可导，就应该想到Taylor公式.使用 方法 (1)有时在某固定点xo处的Taylor公式，有时是在x处的Taylor公式， (2)将不同点的函数值写成同一点的Taylor公式，然后将两个式子相加（减）， (3)将一点的值写成不同点的Taylor公式，然后将两个式子相加（减）. 十.求极限的方法
· 7 · + α(α − 1)· · ·(α − n) (n + 1)! x n+1(1 + θx) α−n−1 , 0 −1. ln(1+x) = x− x 2 2 +· · ·+(−1)n−1 x n n + (−1)nx n+1 (n + 1)(1 + θx) n+1 , 0 −1. 2. Taylor˙™A^ (1). CqOé. (2). |^Taylor¶4Å. (3). |^ºÍTaylor˙™¶ºÍ3,:p Í. (4). |^Taylor˙™y²ÿ ™. (5). Ÿß ~1. f(x) = e −x 2 ,¶f (10)(0). ~2. f(x)3[a, b]˛k Í,f 0 (a) = f 0 (b) = 0,£y:∃ξ ∈ (a, b),¶|f 00(ξ)| ≥ 4 (b − a) 2 |f(b) − f(a)|.(”ò:ä§ÿ”:Taylor ˙™) ~3. f(x)3(−∞, +∞)k.,øköK Í,¶yf(x) = c (cè~Í). ~4 f(x)¥ngıë™,f(x) = a0 + a1x + a2x 2 + · · · anx n, (an 6= 0),ø Öf(x0) = f 0 (x0) = · · · = f (m) (x0) = 0, f(m+1)(x0) 6= 0 (m ≤ n − 1),£yx = x0¥êßf(x) = 0m + 1ä. ~5 f(x)3±x0èS:,´mI˛kÎY Í,f 00(x0) 6= 0,Èux0+ h ∈ Ik•ä½nf(x0 + h) = f(x0) + hf0 (x0 + θh) (0 < θ < 1),y²lim h→0 θ = 1 2 . ~6 ºÍf(x)3´m[−1, 1]˛‰kn Í,Öf(−1) = 0, f(1) = 1, f0 (0) = 0,y²¶∃ ξ ∈ (−1, 1),¶f 000(ξ) = 3. (ÿ”:ä§3”ò:Taylor˙™) ~7 f(x)3(−∞, +∞)Skn Í,4Å limx→∞ f(x), limx→∞ f 0 (x), limx→∞ f 00(x)— 3kÅ,Ö limx→∞ f 000(x) = 0,y² limx→∞ f 0 (x) = 0, limx→∞ f 00(x) = 0. òÑú/e,êáѺÍ2 ½2 ±˛å,“ATéTaylor˙™.¶^ ê{: (1) kû3,½:x0?Taylor˙™,kû¥3x?Taylor˙™. (2) Úÿ”:ºÍ䧔ò:Taylor ˙™,Ú¸á™fÉ\(~). (3) Úò:ä§ÿ”:Taylor˙™,Ú¸á™fÉ\(~). õ.¶4Åê{
8 1°连续函数的极限值等于函数值。 2°四则运算（通分、分解因式，分子、分母有理化）：复合函数的极限运算（变量 代换)。 3°等价无穷小（大）量的代换.x→0 sinz tanz arctans aresinz ~In(1+)a-1~zna; (1+P-1心ax:tamx-i血x~23:x-inx~后2 4重要极限血：-1，m1+2)》广=e 5°无穷小量乘有界量，仍为无穷小量。 6°利用左、右极限求极限 7°利用夹逼定理求极限 8°利用单调有界数列极限存在。 g°利用0.Stolz定理，LHospital法则， 10°利用Taylor公式. 11°利用中值定理. 12°利用定积分、级数等求极限. 注Lhospital法则不是万能的，在满足句f,g(r)在(o)内可微，（≠0 且（回）mf:)=m,9a)=0(或m9)=o如果 一猖= 则 若不满足条件们不雀用心法则度虽满足条件句但，品号不存在也 园存在 不能下结论，织侣不存在，或知道典侣存在，也不能得一 例设函数/在=0的某个邻城内二阶可导，且吗（血+回）=0试 求010o.rog马回+3(em2a03粥 错误解法： (+)-气+回
· 8 · 1 ◦ ÎYºÍ4Åä uºÍä. 2 ◦ oK$飜©!©)œ™ß©f!©1knz§; E‹ºÍ4Å$é£C˛ ìܧ. 3 ◦ dð£å§˛ìÜ.x → 0 sin x ∼ tan x ∼ arctan x ∼ arcsin x ∼ ln (1 + x) ∼ e x − 1 ∼ x; a x − 1 ∼ x ln a; (1 + x) α − 1 ∼ αx; tan x − sin x ∼ 1 2 x 3 ; x − sin x ∼ 1 6 x 3 . 4 ◦ á4Ålimx→0 sin x x = 1, limx→∞ (1 + 1 x ) x = e. 5 ◦ ð˛¶k.˛,Eèð˛. 6 ◦ |^Ü!m4Ŷ4Å. 7 ◦ |^Y%½n¶4Å. 8 ◦ |^¸Nk.Í4Å3. 9 ◦ |^O.Stolz½n,L’Hospital{K. 10 ◦ |^Taylor˙™. 11 ◦ |^•ä½n. 12 ◦ |^½»©!?Í ¶4Å. 5 L’hospital{Kÿ¥U,3˜v(i) f(x), g(x)3U 0 (x0)Såá, g 0 (x) 6= 0, Ö(ii) limx→x0 f(x) = limx→x0 g(x) = 0 (½ limx→x0 g(x) = ∞),XJ limx→x0 f 0 (x) g 0(x) = l, K limx→x0 f(x) g(x) = l. eÿ˜v^á(i)ÿU^L’hospital{K,½è˜v^á(i) limx→x0 f 0 (x) g 0(x) ÿ3,è ÿUe(ÿ limx→x0 f(x) g(x) ÿ3,½ limx→x0 f(x) g(x) 3,èÿU limx→x0 f 0 (x) g 0(x) 3. ~ ºÍf(x)3x = 0,áçS å,Ölimx→0 sin 3x x 3 + f(x) x 2 = 0.£ ¶(1)f(0), f0 (0), f00(0),(2) limx→0 f(x) + 3 x 2 .(2012-2013œ•) Üÿ){¶ limx→0 sin 3x x 3 + f(x) x 2 = limx→0 sin 3x + xf(x) x 3
=3os+g+f回=0 于是可得 6cosx+f)+f()=0→f0)=-3 错误在于：由 典（他+g）)=0 不能推出 吗8os+f+f回-0 正确解法： 马（他“+）=鸟血+四 -马-+的+aU0+ro+r0+d =马0+3+02++9+@0 得 (f0)+3=0 (-9+0=0 即f0)=-3,f'0=0,f"(0)=9. 四=-品婴-=@0-r=员 注：在(2)的解答中如果对im f回继续用L Howpita法则，则得不出结论.因 为我们的条件仅仅是二阶可导而没有所导数连续 历年考试题 一.可导、极限、连续之间的关系 2设=0其中e具有二阶连续导函数.且e0】 )确定0的宿。使日在0险连续②求口5同时论口在，=0处的连 续性.(2017六12分)
· 9 · = limx→0 3 cos x + f(x) + xf0 (x) 3x 2 = 0 u¥å limx→0 (3 cos x + f(x) + xf0 (x)) = 0 =⇒ f(0) = −3 Üÿ3uµd limx→0 sin 3x x 3 + f(x) x 2 = 0 ÿUÌ— limx→0 3 cos x + f(x) + xf0 (x) x 3 = 0 (){: limx→0 sin 3x x 3 + f(x) x 2 = limx→0 sin 3x + xf(x) x 3 = limx→0 3x − 1 3!(3x) 3 + o(x 3 ) + x(f(0) + f 0 (0)x + 1 2!f 00(0)x 2 + o(x 2 )) x 3 = limx→0 (f(0) + 3)x + f 0 (0)x 2 + (− 9 2 + f 00(0) 2 )x 3 + o(x 3 ) x 3 = 0 f(0) + 3 = 0 f 0 (0) = 0 − 9 2 + f 00(0) 2 = 0 =f(0) = −3, f0 (0) = 0, f00(0) = 9. (2) limx→0 f(x) + 3 x 2 = limx→0 f 0 (x) 2x = 1 2 limx→0 f 0 (x) − f 0 (0) x − 0 = 1 2 f 00(0) = 9 2 . 5µ 3(2))â•XJÈlimx→0 f 0 (x) 2x UY^L’Hospital{K,Kÿ—(ÿ.œ è·Ç^á==¥ å vk ÍÎY. {c£K ò. å!4Å!ÎYÉm'X 1. f(x) = ( ϕ(x) − cos x x , x 6= 0, a, x = 0, Ÿ•ϕ(x)‰k ÎYºÍ,Öϕ(0) = 1. (1)(½aä߶f(x)3x = 0?ÎY; (2)¶f 0 (x); (3)?ÿf 0 (x)3x = 0?Î Y5.(2017812©)
·10 〔e立，r≠0， 2.设函数f(a)= 求导函数f(),并说明f'(e)在点工=0处是否 连续.(2016一(46分) x=0, 3设在：=0哺=阶导数10-1r回=0求，职/()】厂015一45分) /2r+n1+b如-cos2,x>0, 4函数f(x)- x 求a,b使f()在x-0处可 14007+6 x≤0， 。设强皮回一气动0试装指现给业参数位清足的案作 分别使得：1)f红)在(-0，+0)上连续：(2f(z)在(-0，+o0)上可导，并说明此 时导函数在(-0，+)上连续.(2013) 。设心在=0的果个都谈内大于零了o存在求票得厂em回 7.设函数e)在r=0的某个邻域内二阶可导，且职（血+但）试求0）f0,f@,f产O: 因+3.2 &设函数e在a点处二阶可导，求码a+2训-3@+a-.e1） ,设函致血子：>≥0其中参数∈R对以下两种不同的情形，分别时 0 x0的连续性而后研完可微性其中国在≤ x2gx)x≤0 0上连续.(2009) 12.f(x)在含x-0,1的开区间内连续，在x-1处可导，且在x-0的邻域内满足f(1+ sim)-2f1-simd)=3r+o(z)x→0，求y=f(x)在(1，f1)》处切线方程.(2009) 二.求导
· 10 · 2. ºÍf(x) = ( e − 1 x2 , x 6= 0, 0, x = 0, ¶ºÍf 0 (x),ø`²f 0 (x)3:x = 0?¥ƒ ÎY.(2016ò(4)6©) 3. f(x)3x = 0k Íßf(0) = 1, f0 (0) = 0,¶ lim x→+∞ f 1 √ x x .(2015ò(4)5©) 4. ºÍf(x) = ( e 2ax + ln(1 + bx) − cos x x , x > 0, a 2x + b, x 6 0, ¶ a, b ¶f(x)3x = 0?å á.(2014(10©)) 5. ºÍf(x) = ( e −x , x 0 0, x ≤ 0 Ÿ•ÎÍα ∈ R,ȱe¸´ÿ”ú/,©O? ÿαâå: (1) f(x)3R˛ÎY; (2) f(x)3R˛å,ŸºÍf 0 (x)3x = 0ÿÎY. (2011) 10. òá´m[−1, 1]˛ÎYºÍf(x),˜vf(0) = f 0 (0) = 0,f 00(0)ÿ3. (2010) 11. kÔƒºÍf(x) = 1 − cos x √ x , x > 0 x 2 g(x), x ≤ 0 ÎY5, Ôƒåá5,Ÿ•g(x)3x ≤ 0˛ÎY. (2009) 12. f(x)3¹x = 0, 1m´mSÎY,3x = 1?å,Ö3x = 0çS˜vf(1+ sin x)−2f(1−sin x) = 3x+o(x) x → 0,¶y = f(x)3(1, f(1))?ÉÇêß. (2009) . ¶