高等学校教材 函 数论 变 钟玉泉 第四版 以复数作为自变量的函数叫做复变函数，与之相关的理论是复变函数论。18世纪，欧城、达期贝尔、拉普拉斯等数学家 为创健这门学科作了许多基础性的研究工作；19世纪，柯西、典尔斯特拉斯。黎曼害数学家为复变数论的全面发展作 了大量览基性的工作：20世纪，复变函数论有了很大的进能和更广阔的研究领减 静高掌教方女散私
第四版序 本书第三版自2004年1月出版以来，被许多高校选作教材， 受到同行和广大读者的欢迎，已多次重印。为了进一步锤炼教材， 提高质量，适应现代数学发展的需要，我们对第三版进行了修订。 主要作了以下改动： 1.在第二章中增加了用复变元之和它的共轭乏来刻画复函 数的内容，这样便于与现代复分析相衔接； 2.增加、刷减了一些例题，使基本理论和例题的搭配更合理， 更易教易学； 3.把习题的参考答案统一放在了书末： 4.增加了名词索引，以方便查找数学名词。 此外，与本教材（第二版）配套的教学用书《复变函数学习指导 书》（钟玉泉编，高等教育出版社），读者仍可以对照第四版的内容 参考阅读。 此次修订工作由赵国松和顾晓慧完成」 修订者于四川大学数学学院 2012年8月
第三版序 本书第二版自1988年5月出版以来，迄今已重印22次，累计 印数达45万余册。使用后普遍反映良好。为使教材能与时俱进， 不断提高质量，遂对第二版进行了修订。修订中集撷了本人的若 干教学和科研成果[见附1~7]，针对规范的数学名词已颁布，顺 便作了规范化勒正。修订的另一重要依据是1988年11月底的郑 州全国复变函数编写提纲讨论会精神。 我们在修订中所掌握的具体原则是： 1.使原书中涉及的数学名词规范化： 2.一般不增删原书的章、节、例题（只增了例4.5(5）)、习题 (只增了第一章习题（二）·12)和图； 3.对原书作进一步修整，并在一些地方适当引入[附1~7]的 部分成果，以使其叙述更清楚、更精确、更易教易学，而基本理论又 更扎实。 此外，拙编《复变函数学习指导书》，为国家教委“八五”高校规 划教材，是拙编教材《复变函数论》（第二版）的配套教学用书，读者 仍可以与第三版教材对照参考阅读。 编者于四川大学数学学院 2003年6月
第三版序 附1.一个解析函数定理的推广.四川大学学报（自然科学 版)，1990,27(1)：86~87； 2.一族与对称函数有关的解析函数的开始多项式.西南师范 大学学报（自然科学版），1990,15(1)：125~131； 3.解析函数的单叶半径.四川大学学报（自然科学版），1991， 28(4):545~547； 4.解析函数的星象半径.四川大学学报（自然科学版），1993， 30(3):405~407: 5.解析函数的3级星象半径.四川大学学报（自然科学版）， 1995,32(2):121~127; 6.复变函数学习指导书.北京：高等教有出版社，1996年 4月； 7.关于复变函数的教材改革与建设.香港：《现代教学论坛》 杂志，2000年1期. 书中符号说明 为了方便，我们引入以下符号： “Vx”表示“对每一个x”; “]x”表示“存在x”; “了1x”表示“惟一存在x”; 一→一”表示“若—，则—”； “一台—”表示“—当且仅当—”； “→”表示“必要性”； “←”表示“充分性
月 录 引言.1 第一章复数与复变函数.3 S1.复数.3 1.复数域(3)2.复平面(5)3.复数的模与辐角(7) 4.复数的乘幕与方根(13)5.共轭复数(16) 6.复数在几何上的应用举例(18) S2.复平面上的点集.21 1.平面点集的几个基本概念(21)2.区域与若尔当 (Jordan)曲线(22) §3.复变函数.28 1.复变函数的概念(28)2.复变函数的极限与连续 性(32) §4.复球面与无穷远点.38 1.复球面(38)2.扩充复平面上的几个概念(39) 第一章习题.4们 第二章解析函数.46 S1.解析函数的概念与柯西-黎曼方程.46 1.复变函数的导数与微分(46)2.解析函数及其简单 性质(48)3.柯西-黎曼方程(50)4.用和乏刻画复函数(57) §2.初等解析函数.59 1.指数函数(59)2.三角函数与双曲函数(61) §3.初等多值函数.65
目录 1.根式函数(65)2.对数函数(74)3.一般幂函数与 一般指数函数(79)4.具有多个有限支点的情形(80) 5.反三角函数与反双曲函数(86) 第二章习题.89 第三章复变函数的积分.95 §1.复积分的概念及其简单性质.95 1.复变函数积分的定义(95)2.复变函数积分的计算 问题(98)3.复变函数积分的基本性质(99) §2.柯西积分定理.102 1.柯西积分定理(102)2.柯西积分定理的古尔萨证明(104) 3.不定积分(109)4，柯西积分定理的推广(112) 5.柯西积分定理推广到复周线的情形(114) §3.柯西积分公式及其推论.117 1.柯西积分公式(117)2.解析函数的无穷可微性(120) 3.柯西不等式与刘维尔(Liouville)定理(124) 4.莫雷拉(Morera)定理(125)·5.柯西型积分(127) §4.解析函数与调和函数的关系.128 ·§5.平面向量场—解析函数的应用（一）.134 1.流量与环量(135)2.无源，漏的无旋流动(136) 3.复势(137) 第三章习题. .139 第四章解析函数的幂级数表示法.144 §1.复级数的基本性质.144 1.复数项级数(144)2.一致收敛的复函数项级数(147) 3.解析函数项级数(149) 2.幂级数.15] 1.幂级数的敛散性(151)2.收敛半径R的求法，柯西-阿 达马(Cauchy-Hadamard)公式(153)3.幂级数和的解 析性(155)
目录 Ⅲ §3.解析函数的泰勒(Taylor)展式.156 1.泰勒定理(156)2.幂级数的和函数在其收敛圆周上 的状况(159)3.一些初等函数的泰勒展式(161) §4.解析函数零点的孤立性及惟一性定理.16 1.解析函数零点的孤立性(167)2.惟一性定理(170) 3.最大模原理(172) 第四章习题.174 第五章解析函数的洛朗(Laurent)展式与孤立奇点.l80 §1.解析函数的洛朗展式.180 1.双边幂级数(180)2.解析函数的洛朗展式(181) 3.洛朗级数与泰勒级数的关系(184)4.解析函数在 孤立奇点邻域内的洛朗展式(185) §2.解析函数的孤立奇点 .189 1.孤立奇点的三种类型(189)2.可去奇点(190) 3.施瓦茨(Schwarz)引理(191)4.极点(193)5.本质 奇点(194)6.皮卡(Picard)定理(195) §3.解析函数在无穷远点的性质.199 §4.整函数与亚纯函数的概念.205 1.整函数(205)2.亚纯函数(205) ·§5.平面向量场—解析函数的应用（二）.207 1.奇点的流体力学意义(207)2.在电场中的应用 举例(209) 第五章习题.213 第六章留数理论及其应用.219 §1.留数.219 1.留数的定义及留数定理(219)2.留数的求法(221) 3.函数在无穷远点的留数(225) §2.用留数定理计算实积分.228
目录 1.计算R(cos9,sin9)0型积分(228) 2计算广8品型积分(23) 8计算厂号一d正型积分(236) 4.计算积分路径上有奇点的积分(239)5.杂例(241) 6.应用多值函数的积分(244) §3.辐角原理及其应用.252 1.对数留数(252)2.辐角原理(254) 3.鲁歌(Rouche)定理(258) 第六章习题.262 第七章共形映射.268 §1.解析变换的特性 268 1.解析变换的保域性(268)2.解析变换的保角性一 导数的几何意义(270)3.单叶解析变换的共形性(273) §2.分式线性变换 .276 1.分式线性变换及其分解(276)2.分式线性变换的 共形性(279)3.分式线性变换的保交比性(280) 4.分式线性变换的保圆周（圆）性(282)5.分式线性变换 的保对称点性(283)6.分式线性变换的应用(286) §3.某些初等函数所构成的共形映射.291 1.幂函数与根式函数(291)2.指数函数与对数函数(294) 3.由圆弧构成的两角形区域的共形映射(295)·4.机翼 剖面函数及其反函数所构成的共形映射(297)5.茹科 夫斯基函数的单叶性区域(301) §4.关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理.302 1.黎曼存在定理(302)2.边界对应定理(304) 第七章习题.307 第八章解析延拓.312 §1.解析延拓的概念与幂级数延拓.312
目录 1.解析延拓的概念(312)2.解析延拓的幂级数方 法(316) §2.透孤解析延拓、对称原理.321 1.透弧直接解析延拓(322)2.黎曼-施瓦茨对称 原理(323) S3.完全解析函数及黎曼面的概念.328 1.完全解析函数(328)2.单值性定理(329) 3.黎曼面概念(333) ·§4.多角形区域的共形映射. .338 1,克里斯托费尔(Christoffel)-施瓦茨变换(338) 2.退化情形(343)3.广义多角形举例(346) 第八章习题.349 第九章调和函数.353 §1.平均值定理与极值原理.353 1.平均值定理(353)2.极值原理(354) §2.泊松积分公式与狄利克雷问题.355 1.泊松积分公式(355)2.狄利克雷问题(356)3.单 位圆内狄利克雷问题的解(357)4.上半平面内狄利克雷 问题的解(360) 第九章习题. .363 部分习题参考答案.365 名词索引.374
引 言 我们知道，在解实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 时，如果判别式b一4ac<0,就会遇到负数开平方的问题.最简单 的一个例子，是在解方程 x2+1=0 时，就会遇到一1开平方的问题. 16世纪中叶，意大利卡尔丹①在1545年解三次方程时，首先 产生了负数开平方的思想.他把40看作5+√一15与5一√一15 的乘积，然而这只不过是一种纯形式的表示而已.当时，谁也说不 上这样表示究竟有什么好处. 为了使负数开平方有意义，也就是要使上述这类方程有解，我 们需要再一次扩大数系，于是，就引进了虚数，使实数域扩大到复 数域.但最初，由于对复数的有关概念及性质了解得不清楚，用它 们进行计算又得到一些矛盾，因而，长期以来，人们把复数看作不 能接受的“虚数”.直到17世纪和18世纪，随着微积分的发明与发 展，情况才逐渐有了改变.另外的原因，是由于这个时期复数有了 几何的解释，并把它与平面向量对应起来解决实际问题的缘故 关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉(Euler)作 出的.他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和 三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把 它们用到水力学和地图制图学上.用符号“”作为虚数的单位，也 是他首创的.此后，复数才被人们广泛承认和使用. ①Girolamo Cardano(1501-1576)意大利数学家，他发表了解三次方程的公式