含参变量积分复习 要求掌握： (①)广义积分的收敛判定： (②)含参变量的常义积分的性质：连续性、可微性、可积性.含参变量的常义积分求 极限，求导，及利用对参数的微分或积分的方法计算积分值 (③)含参变量的广义积分在一致收敛下的性质：连续性、可微性、可积性利用含参 变量的广义积分求极限，求导，及利用对参数的微分或积分的方法计算积分： (④)Euler积分性质，并能利用Euler积分求某些积分的值 1an6分)诗论o=广票在 ()aea,+x),其中a0>0,(②)a∈(0，+o)上的一致收敛性. 2m6别)求积分0广o部四广产牛ka>0 1+x2 3.(16(12分)函数F()=f形-恤，6>a,求F() 4(16012分)含参变量函数广血2。 adz在a∈，B卧，00). 7.(13)(4分)设f红，)在1a,×64上黎曼可积，则() ()对固定的g∈6，d4,f红，)作为x的函数在a,上可积 (B)fx,)d在[c,d上关于y连续 (C)对固定的y∈6，d4,f(红，)作为r的函数在a,上不一定可积 回)厂出在k4上关于)不莲续
· 1 · ¹ÎC˛»©ES ᶛºµ (1) 2¬»©¬Ò½; (2) ¹ÎC˛~¬»©5ü:ÎY5!åá5!å»5.¹ÎC˛~¬»©¶ 4Å,¶,9|^ÈÎÍ᩽»©ê{O黩ä; (3) ¹ÎC˛2¬»©3òó¬Òe5ü:ÎY5!åá5!å»5.|^¹Î C˛2¬»©¶4Å,¶,9|^ÈÎÍ᩽»©ê{O黩; (4) Euler»©5ü,øU|^Euler»©¶, »©ä. . 1. (17)(8©) ?ÿI(α) = Z +∞ 1 sin x x α dx3 (1) α ∈ [α0, +∞),Ÿ•α0 > 0, (2) α ∈ (0, +∞)˛òó¬Ò5. 2. (17)(16©) ¶»©(1) Z +∞ 0 x 4 (9 + x 2) 5 dx; (2) Z +∞ 0 ln(1 + a 2x 2 ) 1 + x 2 dx (a > 0). 3. (16)(12©) ºÍF(y) = Z b a f(x)|y − x|dx, b > a,¶F 00(y). 4. (16)(12©) ¹ÎC˛ºÍ Z +∞ 0 sin 2x x + α e −αxdx3α ∈ [b, B], 0 0) . 7. (13)(4©) f(x, y)3[a, b] × [c, d]˛i˘å»,K( ) (A) Ƚy ∈ [c, d], f(x, y)äèxºÍ3[a, b]˛å» (B) Z b a f(x, y)dx3[c, d]˛'uyÎY (C) Ƚy ∈ [c, d], f(x, y)äèxºÍ3[a, b]˛ÿò½å» (D) Z b a f(x, y)dx3[c, d]˛'uyÿÎY
2 &(134分)设f和在，+e)上非负，厂广f和收敛其中a>0则() (A)F回)=f)山在a,+oo)止是无界函数 ⑧)广（血e条件收敛 (©广回发散 (D)当x→+时，f(e)不一定有极限 a)dz,求F'(a. a回分计算广产晋其中a>0 解： 广-厂广at中 -a广-广 1 +01 ig1==2n1+a a1- 业6分州利用广警-爱计算广学 解：记积分为L. 1+2血分=空4e纷=人分列-号 (1分) 1以.(2分)函数B6)=厂r-11-)-的连续城是>0y>0 43纷冷0=Cea,则o-生2 15.(12)(4分)下述命题正确的是(D)(请写出所有正确命题的编号)：
· 2 · 8. (13)(4©) f(x)3[a, +∞)˛öK, Z +∞ a f(x)dx¬Ò,Ÿ•a > 0,K( ) (A) F(x) = Z x a f(t)dt3[a, +∞)˛¥Ã.ºÍ (B) Z +∞ a (sin x)f(x)dx^á¬Ò (C) Z +∞ a f(x) x dxu— (D) x → +∞û,f(x)ÿò½k4Å 9. (13)(8©) f(u, v)3á²°˛kÎY†Í,F(α) = Z cos α sin α f(x+α, x− α)dx,¶F 0 (α). 10. (12) (7©)Oé Z +∞ 0 arctan αx x(1 + x 2) dx,Ÿ•α > 0. ): Z +∞ 0 arctan αx x(1 + x 2) dx = Z α 0 du Z +∞ 0 1 (1 + x 2u 2)(1 + x 2) dx = Z α 0 1 1 − u 2 { Z +∞ 0 1 1 + x 2 dx − Z +∞ 0 u 2 1 + x 2u 2 dx} = π 2 Z α 0 1 − u 1 − u 2 du = π 2 ln(1 + α). 11. (12)(5 ©) |^ Z +∞ 0 sin x x = π 2 ,Oé Z +∞ 0 sin2 x x 2 dx. ): P»©èI. I = − sin2 x x +∞ 0 + Z +∞ 0 2 sin x cos x x dx(1©) = Z +∞ 0 sin 2x 2x d(2x)(2©) = Z +∞ 0 sin t t dt(1©) = π 2 . (1©) 12. (12)(4©)»© Z +∞ 0 e −x 2 dx ä¥ √ π 2 . 13. (12)(4©)ºÍ B(x, y) = Z 1 0 t x−1 (1 − t) y−1 dt ÎYç¥ x > 0, y > 0. 14. (12)(4©)- I(u) = Z cos u sin u e x 2+xudx, K I 0 (0) = e − 3 2 15. (12)(4©)e„·K(¥( D ) (û—§k(·K?“):
3 A.无穷积分f收敛，则，职f阳=0： B.周期函数f()在任何有限区间上逐段光滑，则其Fourier级数收敛于 f(z): C.无旋场必是有势场： D.设f红，)在a,+∞)×a,刷上连续，且含参变量广义积分(u) ef红，四da 在a,上关于u一致收敛，则(u)在a,上连续。 60m8n=广++m女= 17.(1o06分)设Fa)=广“v1Fa求Fa. 18(06分)利用Es积分计算广te-a业共中a>0 1.(09分)设Fo)=厂L+a国，则ra= 20o侧0分)计算人广二女
· 3 · A. 𻩠Z +∞ 0 f(x)dx ¬ÒßK lim x→+∞ f(x) = 0¶ B. ±œºÍ f(x) 3?¤kÅ´m˛Å„1wßKŸ Fourier ?ͬÒu f(x)¶ C. Ã^|7¥k³|¶ D. f(x, u) 3 [a, + ∞) × [α, β] ˛ÎYßÖ¹ÎC˛2¬»© ϕ(u) = R +∞ a f(x, u)dx 3 [α, β] ˛'u u òó¬ÒßK ϕ(u) 3 [α, β] ˛ÎY" 16. (11)(3©) limα→0 Z 1+α α 1 1 + x 2 + α2 dx = . 17. (10)(5©) F(α) = Z cos α 0 e α √ 1−x2 dx,¶F 0 (x). 18. (10)(5©) |^Euler»©Oé Z +∞ 0 t − 1 2 e −atdt,Ÿ•a > 0. 19. (09)(4©) F(α) = Z α 0 ln(1 + αx) x dx,KF 0 (α) = . 20. (08)(10©) Oé Z +∞ 0 sin x x dx