Fourier分析复习 要求掌握： ()周期为2,2L的函数Fourier级数展开： (②)函数在有限区间[-L,上的Fourier展开：函数在有限区间0，展成正弦级数、 余项级数： (③)Dirichlet收敛定理 (④)Fourier积分与Fourier变换公式 1.(17)(14分)将函数=在-元，上展开成傅里叶级数，并利用其结果分别求 级数 与三的和 2.(16)(12分)设2x周期函数f(c)连续，∫r)分段连续，证明f(x)的Fourier级数一致 收敛 3.(15)20分)设f)是以2r为周期的周期函数，在-元，)上的表达式为 ()将f(x)展成傅里叶级数，并指出该傅里叶级数的收敛性： (2)写出相应的Parseval等式： 问根的里叶数，分别求出数项级数@三的和 (国根据上述的Pae等式分别求出数项级数言@n-可言的和 403分)设函数fg=20≤z≤5)=∑smm,-e<工< +c其中6=2f血m山n=12.,则s(-)=
· 1 · Fourier©¤ES ᶛºµ (1) ±œè2π, 2LºÍFourier?Í–m; (2) ºÍ3kÅ´m[−L, L]˛Fourier–m;ºÍ3kÅ´m[0, L]–§u?Í! {ë?Í; (3) Dirichlet¬Ò½n; (4) Fourier»©ÜFourierCÜ˙™. . 1. (17)(14©) ÚºÍy = |x|3[−π, π]˛–m§Fpì?Í,ø|^Ÿ(J©O¶ ?Í P∞ n=1 1 n2 Ü P∞ n=1 1 n4⁄. 2. (16)(12©) 2π ±œºÍf(x)ÎY,f 0 (x)©„ÎY,y²f(x)Fourier?Íòó ¬Ò. 3. (15)(20©) f(x)¥±2π豜±œºÍß3[−π, π)˛Là™è f(x) = ( π + x, − π 6 x 6 0, π − x, 0 < x < π, (1) Úf(x)–§Fpì?Íßøç—TFpì?ͬÒ5; (2) —ÉAParseval ™¶ (3) ä‚f(x)Fpì?Íß©O¶—Íë?Í P∞ n=1 1 (2n − 1)2 , P∞ n=1 1 n2 ⁄; (4) 䂲„Parseval ™©O¶—Íë?Í P∞ n=1 1 (2n − 1)4 , P∞ n=1 1 n4⁄. 4. (14)(3©) ºÍf(x) = x 2 (0 6 x 6 1), S(x) = X∞ n=1 bn sin nπx, −∞ < x < +∞, Ÿ•bn = 2 Z 1 0 f(x) sin nπxdx, n = 1, 2, · · · , KS − 1 2 = ; X∞ n=1 b 2 n =
2 5.(14)(15分)设f)是以2m为周期的函数且f(e)= ∫T+五，-不≤E<0, 0≤x<m 求f(c)的ourier级数，讨论其收敛性并利用所得结果计算 =1 （e-22,x≥0 6.14010分剂求函数f={2产，z<0 的Fourier变换 7.(14)(6分)设fe)是以2x为周期的函数且满足a(0<a<1)阶Lipschitz条件： f)-f训≤r-e. 记ao,an,in(n=1,2,.)是f)的Fourier系数.求证 a≤（月）°，6<（月） 8.(13)(4分)设f(z)和g(z)在[a,上是可积并平方可积函数，且f(z)和g(x)在a,上 导出相同的Fourier级数.则() A)在a,上，f(x)三g(r) (B)在a.1上.f(x)不一定恒等于g(x) (C)在a,上，f(x)三gc)+c,其中c是某个常数 (D)选项(A),(B),(C)都不正确 9.(13(10分)将0，上的函数包=1-展成以2为周期的余弦级数（须讨论 其收敛性。并求级数三-一和三的和 10.(12)(4分)f)=x2,利用F(工)在区间-元，上的定义，以2为周期计算出的相 应的级数记为+会a,s+血n则++》-空 业0纷设回-{是圆阳m如变换为二巴-变之 入 12.(12)(7分)将0，]上的函数f工)=2展开成余项级数（须讨论其收敛性）. 解：根据Fourier系数的展开公式得 2
· 2 · 5. (14)(15©) f(x) ¥±2π 豜ºÍÖf(x) = ( π + x, − π 6 x 0 e 2x , x < 0 Fourier CÜ. 7. (14)(6©) f(x) ¥±2π 豜ºÍÖ˜vα (0 < α < 1) Lipschitz ^á: |f(x) − f(y)| 6 |x − y| α . Pa0, an, bn (n = 1, 2, · · ·) ¥f(x) Fourier XÍ. ¶y: |an| 6 π n α , |bn| 6 π n α . 8. (13)(4©) f(x)⁄g(x)3[a, b]˛¥å»ø²ê建Í,Öf(x)⁄g(x)3[a, b]˛ —É”Fourier?Í,K( ) (A) 3[a, b]˛,f(x) ≡ g(x) (B) 3[a, b]˛,f(x)ÿò½ð ug(x) (C) 3[a, b]˛,f(x) ≡ g(x) + c,Ÿ•c¥,á~Í (D) ¿ë(A),(B),(C)—ÿ( 9. (13)(10©) Ú[0, π]˛ºÍf(x) = 1 − x 2–§±2π豜{u?Í(L?ÿ Ÿ¬Ò5), ø¶?Í P∞ n=1 (−1)n−1 n2 ⁄ P∞ n=1 1 n4⁄. 10. (12)(4©) f(x) = x 2 ,|^f(x)3´m[−π, π]˛½¬,±2π豜Oé—É AFourier?Í,Pè a0 2 + P∞ n=1 (an cos nx+bn sin nx),K a 2 0 2 + P∞ n=1 (a 2 n+b 2 n ) = 2π 4 5 . 11. (12)(4©)f(x) = ( 1, x ∈ [−π, π], 0, Ÿß ,Kf(x)FourierCÜè e iπλ − e −iπλ iλ = 2 sin λπ λ 12. (12)(7©) Ú[0, π]˛ºÍf(x) = x 2–m§{ë?Í(L?ÿŸ¬Ò5). ):ä‚FourierXÍ–m˙™ a0 = 2 π Z π 0 f(x)dx = 2 π Z π 0 x 2 dx = 2π 3 3
3 a=2f回osu=2广 (3分) 所以对应的Fourier级数为 (1分) 由Dirichlet收敛定，理亏+4宫兴一致收敛于2 (2分】 13.(11)(12分)设函数f(x)是以2为周期的周期函数，其在区间1,3上的取值为 1,1<x≤2， o={3-五，2<<3. 1)试画出f)在区间[-3,3到上的草图，并将f)展开为傅里叶级数： 2)试画出f(红)傅里叶级数的和函数5（工）在区间-3,3上的草图： 》试求故项级数茗似与营京的和 解() (3-x)=3/2, On= f(r)cosnardr= cos nmadr+)cosrd1)1 n- bn=f()= f,x≠2k+1k=0,士1,2. +阿+是血r=2然+1= 6t分 8分 (3)令红=2 时空e吃号
· 3 · an = 2 π Z π 0 f(x) cos nxdx = 2 π Z π 0 x 2 cos nxdx = 4 nπ Z π 0 x sin nxdx = 4(−1)n n2 . (3©) §±ÈAFourier?Íè π 3 3 + 4X∞ n=1 (−1)n n2 cos nx. (1©) dDirichlet¬Ò½nßπ 3 3 + 4 P∞ n=1 (−1)n n2 cos nxòó¬Òux 2 . (2 ©) 13. (11)(12©)ºÍf(x)¥±2豜±œºÍߟ3´m[1, 3]˛äè f(x) = ( 1, 1 < x 6 2, 3 − x, 2 < x 6 3. 1§£x—f(x)3´m[−3, 3]˛˙„ßøÚf(x)–mèFpì?Ͷ 2§£x—f(x)Fpì?Í⁄ºÍS(x)3´m[−3, 3]˛˙„¶ 3§£¶Íë?Í + P∞ k=1 1 (2k − 1)2Ü + P∞ n=1 1 n2⁄" ) (1) a0 = Z 3 1 f(x)dx = Z 2 1 dx + Z 3 2 (3 − x)dx = 3/2, an = Z 3 1 f(x) cos nπxdx = Z 2 1 cos nπxdx+ Z 3 2 (3−x) cos nπxdx = (−1)n+1 + 1 n2π 2 , bn = Z 3 1 f(x) sin nπxdx = Z 2 1 sin nπxdx + Z 3 2 (3 − x) sin nπxdx = (−1)n nπ . 3 4 + X +∞ n=1 (−1)n+1 + 1 n2π 2 cos nπx + (−1)n nπ sin nπx = f(x), x 6= 2k + 1 k = 0, ±1, ±2 · · · , 1 2 , x = 2k + 1, k = 0, ±1, ±2 · · · , .6© (2) .8© (3) -x = 2 d 3 4 + X +∞ n=1 (−1)n+1 + 1 n2π 2 = 1, X +∞ n=1 1 (2n − 1)2 = π 2 8 . d X +∞ n=1 1 n2 = X +∞ n=1 1 (2n − 1)2 + X +∞ n=1 1 (2n) 2 , X +∞ n=1 1 n2 = π 2 6 .12©
北m6分e止有m-艺二m吃C 出 15.(10)10分)，将函数f()=工，工∈(0，)展开为以2x为周期的余弦级数，并求级 数三2n严的和 16.(09,08)(4分)设f)=x2(0≤x≤1).而S)- 含,m-<< +o,其中bn=2fe)sim(mmz)d红，n=1,2,3.,则s(-)为） (B)-4 (C号 @- 17.(09,07)(10分，8分)设f(口)= :大试格o展成以x为周期骑极 黄并家变出和宫十的和 18.(08)(10分)设f)=x,(0≤z≤1)， ()将f(z)展成以2为周期的ourier余项级数 回阴床公 19.(06)(4分)设f(a)以2x为周期，在-元，列上f(x)=c+sinx,F(e)是fe)的Fourier级 数，则F()= (A)-T(B)T(C0(D)x/2 20.(06)(12分)设f(e)以2m为周期，在-T,上f)=cos亏，求f(e)的Fourier级数，并 求出玄二和玄m平 21.(05)(15分)设fx)是定义在R上周期为2x的奇函数，且在0，可上fa)=x2, ()画出f)在一个周期上的图像： (i)求f(x)的Fo1rier级数： 间)利用间的结论和等式1+京+录+.=号，1+京+六+.=品 计 1+酒++
· 4 · 14. (11)(3©)Æ3[−π, π]˛,kcos x 2 = 2 π + 4 π X +∞ n=1 (−1)n−1 4n2 − 1 cos nx, K + P∞ n=1 1 (4n2 − 1)2 = π 2 16 − 1 2 . 15. (10)(10©) ÚºÍf(x) = x, x ∈ (0, π)–mè±2π豜{u?Í,ø¶? Í P∞ n=1 1 (2n − 1)2⁄. 16. (09,08)(4©) f(x) = x 2 (0 6 x 6 1), S(x) = P∞ n=1 bn sin(nπx), −∞ < x < +∞,Ÿ•bn = 2 Z 1 0 f(x) sin(nπx)dx, n = 1, 2, 3 · · · ,KS(− 1 2 )è( ) (A) 1 4 (B) − 1 4 (C) 1 2 (D) − 1 2 17. (09,07)(10©,8©) f(x) = 1, |x| < π 2 0, π 2 6 |x| 6 π. £Úf(x)–§±2π豜Fourier? Í,ø¶ P∞ n=0 (−1)n 2n + 1 ⁄ P∞ n=0 1 (2n + 1)2⁄. 18. (08)(10©) f(x) = x,(0 6 x 6 1), (i) Úf(x)–§±2豜Fourier{ë?Í; (ii) |^(i)¶ Z 2 0 1 x ln 2 + x 2 − x dx; (iii) |^(i)¶ P∞ n=1 1 n4 . 19. (06)(4©) f(x)±2π豜,3[−π, π]˛f(x) = x+sin x, F(x)¥f(x)Fourier? Í,KF(π) = (A) −π (B) π (C) 0 (D) π/2 20. (06)(12©) f(x)±2π豜,3[−π, π]˛f(x) = cos x 2 ,¶f(x)Fourier?Í,ø ¶— P∞ n=1 (−1)n−1 4n2 − 1 ⁄ P∞ n=1 1 (4n2 − 1)2 . 21. (05)(15©) f(x)¥½¬3R˛±œè2π¤ºÍ,Ö3[0, π]˛f(x) = x 2 , (i) x—f(x)3òᱜ˛„î; (ii) ¶f(x)Fourier?Í; (iii) |^(ii)(ÿ⁄ ™1 + 1 3 2 + 1 5 2 + · · · = π 2 8 , 1 + 1 3 4 + 1 5 4 + · · · = π 4 96 Oé π 6 1 + 1 3 6 + 1 5 6 + · · ·
5 红o0别设不是整致托回-om止展度谈数并求玄仁 23.(03)(14分)设周期函数f(红)的周期为2，f() ,0<x≤元 2 成周期影江的极数并由此求出三一”和空高的 业om0o)将回=-红0≤：展余故并求宫严豆 1 1
· 5 · 22. (04)(14©) aÿ¥Í,rf(x) = cos ax3[−π, π]˛–§Fourier?Í,ø¶ P∞ n=1 (−1)n−1 4n2 − 1 23. (03)(14©) ±œºÍf(x)±œè2π,f(x) = − π + x 2 , −π 6 x 6 0, π − x 2 , 0 < x 6 π. rf(x)– §±œ2πFourier?Í,ødd¶— P∞ n=1 sin n n ⁄ P∞ n=1 1 n2ä. 24. (02)(10©) Úf(x) = π−2x,(0 6 x 6 π)–§{ë?Í,ø¶ P∞ n=1 1 (2n − 1)2 , X∞ n=1 1 (2n − 1)4