指定考研参老 清教材 复变函数 第2版 ①严镇军编 中国科学技术大学出版社
总 序 2008年是中国科学技术大学建校五十周年，为了反映五十年来办学理 念和特色，集中展示教材建设的成果，学校决定组织编写出版代表中国科学 技术大学教学水平的精品教材系列，在各方的共同努力下，共组织选题281 种，经过多轮、严格的评审，最后确定50种入选精品教材系列. 1958年学校成立之时，教员大部分都来自中国科学院的各个研究所 作为各个研究所的科研人员，他们到学校后保持了教学的同时又作研究的 传统.同时，根据“全院办校，所系结合”的原则，科学院各个研究所在科研第 一线工作的杰出科学家也参与学校的教学，为本科生授课，将最新的科研成 果融入到教学中.五十年来，外界环境和内在条件都发生了很大变化，但学 校以教学为主、教学与科研相结合的方针没有变，正因为坚持了科学与技术 相结合、理论与实践相结合、教学与科研相结合的方针，并形成了优良的传 统，才培养出了一批又一批高质量的人才。 学校非常重视基础课和专业基础课教学的传统，也是她特别成功的原 因之一，当今社会，科技发展突飞猛进、科技成果日新月异，没有扎实的基础 知识，很难在科学技术研究中作出重大贡献.建校之初，华罗庚、吴有训、严 济慈等老一辈科学家、教育家就身体力行，亲自为本科生讲授基础课，他们 以渊博的学识、精湛的讲课艺术、高尚的师德，带出一批又一批杰出的年轻 教员，培养了一届又一届优秀学生，这次入选校庆精品教材的绝大部分是本 科生基础课或专业基础课的教材，其作者大多直接或间接受到过这些老一 辈科学家、教育家的教诲和影响，因此在教材中也贯穿着这些先辈的教育教 学理念与科学探索精神 改革开放之初，学校最先选派青年骨干教师赴西方国家交流、学习，他 们在带回先进科学技术的同时，也把西方先进的教育理念，教学方法、教学 内容等带回到中国科学技术大学，并以极大的热情进行教学实践，使“科学 与技术相结合、理论与实践相结合、教学与科研相结合”的方针得到进一步 ·i
复变函数 深化，取得了非常好的效果，培养的学生得到全社会的认可.这些教学改革 影响深远，直到今天仍然受到学生的欢迎，并辐射到其他高校，在入选的精 品教材中，这种理念与尝试也都有充分的体现， 中国科学技术大学自建校以来就形成的又一传统是根据学生的特点， 用创新的精神编写教材.五十年来，进入我校学习的都是基础扎实、学业优 秀、求知欲强、勇于探索和追求的学生，针对他们的具体情况编写教材，才能 更加有利于培养他们的创新精神，教师们坚持教学与科研的结合，根据自己 的科研体会，借鉴目前国外相关专业有关课程的经验，注意理论与实际应用 的结合，基础知识与最新发展的结合，课堂教学与课外实践的结合，精心组 织材料、认真编写教材，使学生在掌握扎实的理论基础的同时，了解最新的 研究方法，掌握实际应用的技术. 这次入选的50种精品教材，既是教学一线教师长期教学积累的成果， 也是学校五十年教学传统的体现，反映了中国科学技术大学的教学理念、教 学特色和教学改革成果.该系列精品教材的出版，既是向学校五十周年校庆 的献礼，也是对那些在学校发展历史中留下宝贵财富的老一代科学家、教育 家的最好纪念. 2008年8月
前 言 本书是在中国科学技术大学非数学系用的复变函数讲义的基础上编写的.该 讲义自1978年起在中国科学技术大学内部经9届学生使用，使用期间修改过两 次，这次成书又做了较大的修改. 考虑到复变函数这门课程的特点，在编写本书时，力图注意以下儿几点： 1.本书第1章“复数和平面点集”，虽是中学复数知识的复习和补充，但编者 力图一开始就引导学生注意用复数方法处理问题，掌握好复数运算，这对学好本课 程是必要的. 2.由于复函在分析结构上几乎与微积分相同，它也是按照函数、极限、连续、 导数、积分及级数的顺序建立起来的.而且定义形式和运算性质也相同（特别是关 于极限、连续和导数)，这就很容易给学生造成一个先人的印象：似乎整部复函只是 把微积分中许多概念照搬而已.因此，在书中除了注意这些概念与微积分中有关概 念的共性外，还特别注意突出在复情形下的固有特点，随时指出差异， 3.解析函数历来是以其内容完整著称的，本书相当一部分内容可以说是对解 析函数的认识的逐步深化的过程，具体说就是解析函数的四个等价性概念，这也是 历史上建立解析函数理论的不同观点.书中注意对每一次深化都有反映，随时总结 提高 4.多值函数历来是复函教学中的难点，书中对多值函数先采用限制辐角使其 成为单值函数的办法处理，然后再初步介绍与多值函数有关的一些概念，使读者较 易接受. 5.复函方法成功地解决了流体力学、空气动力学，弹性理论、电磁场理论、热 学及地球物理等学科方面的许多问题，为了说明复函的应用，书中单辟一章讲调和 函数和数学物理方程中的狄氏问题，并在保形变换中用较多的篇幅讨论了平面场 问题.在许多章节中，还注意了与后续课程—《数学物理方程》的联系 6.配备了较多的例题和习题，书末附有习题答案，供使用本书的教师和学生
复变函数 参考 7.行文在注意其科学性与严密性的同时，力求通俗易懂，便于学生自学。 从1978年以来，使用过原讲义的教师提出了许多宝贵的意见，特别是我的同 事中国科学技术大学数学系顾新身教授细心地审阅了书稿，使本书得以避免一些 不妥之处，编者谨向他们表示感谢. 严镇军
目 次 总序.（） 前言.(f) 第1章复数和平面点集.(】) 1.1复数.(1) 1.2平面点集.（15） 第2章复变数函数(20） 2.1复变数函数的概念.（20) 2.2函数极限和连续性.（23) 2.3导数和解析函数的概念.（25) 2.4柯西-黎曼方程.(27) 2.5初等函数.（30)》 第3章解析函数的积分表示.(50) 3.1复变函数的积分.(50) 3.2柯西积分定理.（54) 3.3原函数.(56) 3.4柯西积分公式.(59) 3.5解析函数的性质.（63) 第4章调和函数.(69) 4.1解析函数与调和函数的关系.(69) 4.2调和函数的性质和狄利克雷问题.（72) 第5章解析函数的级数展开. .(77) 5.1复级数的基本性质.(77)
复变函数 5.2幂级数. .(82) 5.3解析函数的泰勒(Taylor)展开.(85) 5.4罗朗(Laurent)级数.（91） 5.5解析函数的孤立奇点.(98)》 第6章留数及其应用.(107) 6.1留数定理.(107) 6.2积分计算.（们11） 6.3辐角原理.(126) 第7章解析开拓.（们34） 7.1唯一性定理和解析开拓的概念.（们34) 7.2含复参变量积分及T函数.(138) 第8章保形变换及其应用.(145) 8.1导数的几何意义.(145) 8.2保形变换的概，念.(147) 8.3分式线性变换 .(149) 8.4初等函数的映照.(156) 8.5许瓦兹-克利斯托菲变换.(163) 8.6平面场.(171) 第9章拉氏变换 .(186) 9.1拉氏变换的定义.(186) 9.2拉氏变换的基本性质.（们89） 9.3由像函数求本函数.(200) 附表1基本法则表. . (209) 附表2拉普拉斯变换表.(210) 习题参考答案.(218) ·i·
第1章复数和平面点集 复变函数这门科学的一切讨论都是在复数范围内进行的.本章内容是中学复 数知识的复习和补充. 1.1复数 1.1.1复数的四则运算 复数的概念是为了解决数学本身发展过程中所遇到的矛盾而产生的.由于二 次方程 x2+1=0 (1.1) 在实数范围内没有解，为了使这个方程有解，就把数的概念扩大，引进了虚单位 i=I, 要求它能和普通的实数一道进行运算，服从实数范围内原来成立的那些基本运算 法则，并满足条件 =-1. 这样引进一个虚单位后，不仅方程(1.1)有了两个解x=±i,而且（以后将要证明） 任何代数方程的解都可以用a+ib(a,b为实数)这种形式的数表示出来。 我们把形如 z=x +iy 的数称为复数，其中，x和y是任意实数，分别称为z复数的实部和虚部.记为 x=Rez,y Imz. ·1·
复变函数· 特别地，当lmz=0时，z=Rez+i0=x是实数；当Rez=0且lmz≠0时， z=ilmz=iy称为纯虚数， 两个复数z1=x1+iy1,z2=x2+iy2相等，是指它们的实部和虚部分别相等， 即 X1三X2,y1=V2. 如果一个复数的实部和虚部都等于零，就称这个复数等于零，即0+0=0. 两复数x+iy和x-y称为相互共轭的，如果其中之一用z表示，则另一个用 z表示.显然实数的共轭仍为该实数. 设有两个复数z1=x1+y1和z2=x2+iy2,它们的四则运算规则定义如下： 加法和减法：21及z2的和与差分别为 z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2) z1-22=(x1x2)+i(y1-y2). 乘法：z1和z2相乘，可以按多项式的乘法法则来进行，只需将结果中的代 之以-1，即 z1·z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1). 特别地，当z=x+iy时，有 2z=x2+y2 通常称非负实数√x2+y为复数z的模，记为|z|.于是可写成下式 z2=|z2. 除法：z1除以z2≠0的商定义为 =(xix2+yyz)+i(xay-xiy2) x经+y 读者很容易利用乘法运算规则直接验证，这样定义的除法运算是乘法运算的逆运 算，即有 a. 从上面的运算规则可见，复数运算满足下列规律，设z1,22,23是复数，则 21+z2=22+21,21·z2=z2·z1(交换律)： （z1+z2)+23=21+（z2+23),(z1·2)23=z1(z2·z3)(结合律)： 21(22+23)=2122+21z3(分配律). ·2·
第】章复数和平而点集 全体复数引进了上述相等关系及算术运算后称为复数域.在复数域中，两个复 数是不能比较大小的，这是复数与实数的一个不同之处，这是因为实数域中的大小 用“>”表示.且存在ACR,=(0,+∞)具有下列性质：1'Va≠0，a或-a(但不 同时)∈A;2若a,B∈A,则a+B∈A3若a,P∈A,则a3∈A.当A存在 时，记a>B,即a-3∈A. 不过，对复数域是不存在非空集合A满足上述条件.若不然，假定存在ACR.· 使1°一3成立.取a=i∈A,再取B=2i,a=1∈A.若a+B=3i∈A,但8 =i·2i=-2∈A.这与假设矛盾.故i∈A,同样-iEA.因此A不存在，所以 无法判断复数的大小. 例1对于两复数z1,z2,求证z1z2=0的充要条件是z1与z2中至少有一个 为零 证1)设z1=0,由乘法法则，得 z1z2=(0+0i)(x2+iy2)=0. 2)设z1z2=0且z2≠0.则z存在，于是由1)可得 （z122)z2=0·z2=0. 另一方面，有 (z1z2）z2=z1(z2z2）=21·1=z1. 比较以上两式，可知z1=0. 由上例的结论可知，两个都不为零的复数的乘积必不为零，这给复数运算带来 很大的方便，我们知道，并非数学中所研究的对象都有这一性质.例如，矩阵的乘法 就不具备这个性质， 1.1.2共轭复数 共轭复数的运用，在复数运算上有着重大意义.先把它的一些运算性质罗列如 下： 1)z=z 2)z+z 2Rez,z -z 2ilmz. 3)z1±z2=z1±z2. 22 5)zz=(Rez)2+(1mz)2=|z|2. 这些性质都不难证明，留给读者做练习.此外，由性质2)的第2个式子可知，复数？ 是实数的充要条件是z=z;由第1个式子得知，z是纯虚数的充要条件是z=-2, 。3