离散数学教案 编号.C1001 课时安排 2学时 教学课型：理论课 实验课口习题课口实践课口其它口 题目（教学章、 节或主题)： Ch10代数系统 §10.1二元运算及其性质 §10.2代数系统 教学目的要求（分掌捏、熟悉、了解三个层次）为 1.掌握二元运算及其性质 2。理解代数系统 教学重点、难点： 1)重点： 教学方法 利用黑板，CAI课件等教学 教学用具： 黑板，CAI课件及其辅助设备. 教学内容（注明：重点 #难点 ?疑点)： 一、二元运算及其性质(65分钟) 1.定义：设S是一个集合，f是一个函数，:S×S→S,则称f为S中的二元运算，简称为二元运算 例1：(1)在整数I和实数R中，+，×均为二元运算，而对÷而言就不是二元运算 (2)在集合Z的幂集p2)中AU均为二元运算，而“”是一元运算： 2.定义：设S是一个集合，f是一个函数，：S→S,则称f为S中的一元运算，简称为一元运算。 3.设*是集合S上的二元运算，对任一x,y∈S有xy∈S则称运算在S上是封闭的。 4.设*是集合S上的二元运算，对任一X,yS有xy今y*x,则称*运算在S上是可交换的（或者说*在S 上满足交换律)。 5.设*是集合S上的二元运算，对任一xy,z∈S都有(x*y)*z*(y◆z),则称*运算在S上是 可结合的（或者说*在S上满足结合律）。 6.设*和°是集合S上的二个二元运算，对任一xy,z∈S有 x*(y°z)=(x*y)。(x*z: (y°z)*x=(y*x)。(zx), 则称运算*对°是可分配的（或称*对满足分配律）。 7.设，△是定义在集合S上的两个可交换二元运算，如果对于任意的xy∈S,都有： X(x△y)=X:X△(xy)=X 则称运算*和运算△满足吸收律。 00
1001 离 散 数 学 教 案 编号：C1001 课时安排： 2 学时 教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 其它□ 题目（教学章、节或主题）： Ch10 代数系统 §10.1 二元运算及其性质 §10.2 代数系统 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1. 掌握二元运算及其性质 2. 理解代数系统 教学重点、难点： 1） 重点：二元运算及其性质 2） 难点：二元运算及其性质 教学方法: 利用黑板,CAI 课件等教学. 教学用具: 黑板,CAI 课件及其辅助设备. 教学内容（注明：* 重点 # 难点 ？疑点）： *一、二元运算及其性质（65 分钟） 1. 定义 : 设 S 是一个集合,f 是一个函数,f：S×S→S,则称 f 为 S 中的二元运算,简称为二元运算 例 1：（1）在整数 I 和实数 R 中,+,-,×均为二元运算,而对÷而言就不是二元运算 （2）在集合 Z 的幂集 (z)中,, 均为二元运算,而“~”是一元运算； 2. 定义 : 设 S 是一个集合,f 是一个函数,f：S →S,则称 f 为 S 中的一元运算,简称为一元运算． 3. 设*是集合 S 上的二元运算,对任一 x,yS 有 xy∈S 则称运算在 S 上是封闭的。 4. 设*是集合 S 上的二元运算,对任一 x,yS 有 xy=y x,则称运算在 S 上是可交换的（或者说在 S 上满足交换律）。 5. 设*是集合 S 上的二元运算,对任一 x,y,z S 都有（x y） z=x （y z）,则称运算在 S 上是 可结合的（或者说*在 S 上满足结合律）。 6. 设和是集合 S 上的二个二元运算, 对任一 x,y,z S 有 x （y z）=（x y） （x z）； （y z） x=（y x） （z x）, 则称运算对是可分配的（或称对满足分配律）。 7. 设， 是定义在集合 S 上的两个可交换二元运算，如果对于任意的 x,yS，都有： x (x y)=x；x (xy)=x 则称运算和运算 满足吸收律
8.设*是S上的二元运算，若对任一X∈S有x幸X=X,则称*满足等幂律。 9.定义设*是S上的二元运算，对任一xeS则：X=Xx2=xx,.,x”=xx 10.定理设*是S上的二元运算，且xeS,对任一m,neI有 (1)xx”=xmn (2)(x")”=x 11.定义设*是集合Z中的二元运算， (I)若有一元素deZ,对任一x∈Z有dx-x:则称c为Z中对于的左么元（左单位元素）： (2)若有一元素ereZ,对任一x∈Z有x*er=x:则称er为Z中对于*的右么元（右单元元素）。 12.定义若cd和cr分别是Z中对于*的左么元和右么元，则对于每一个x∈Z,可有ccr=e和 e*xx*c=x,则称e为Z中关于运算*的么元，且eeZ是唯一的。 13.定义设*是对集合Z中的二元运算， (1)若有一元素01∈Z,且对每一个x∈Z有 01*x=01,则称01为Z中对于*的左零元 (2)若有一元素9rZ,且对每 2有 x*日=r,则称0r为Z中对于*的右零元。 14.定义设◆是Z中的二元运算，且Z中含幺元e,令xeZ, (1)若存在一xleZ,能使xx=e,则称xL是x的左逆元，并且称x是左可逆的： (2)若存在一xreZ,能使x*x灯=©，则称x灯是x的右逆元，并且称x是右可逆的： (3)若元素x既是左可逆的，又是右可逆的，则称x是可逆的，且x的逆元用x表示。 定理设Z是集合，并含有么元©。*是定义在Z上的一个二元运算，并且是可结合的。若x∈Z是 可逆的，则它的左逆元等于右逆元，且逆元是唯一的。 例10.7(S10.1) 代数系统(25分钟) 非空集合S和S上k个一元或二元运算f,.五组成的系统称为代数系统，简称代数 记作。 例2：N,>,,均为代数系统 三、课堂小结（约5分钟） 1002
1002 8. 设*是 S 上的二元运算,若对任一 x S 有 x x=x,则称满足等幂律。 9. 定义 设*是 S 上的二元运算,对任一 xS,则： x=x, 2 x =x*x,.， n x = n−1 x *x 10. 定理 设*是 S 上的二元运算,且 x S,对任一 m,n I 有 （1） m x n x = m n x + （2）( m n (x ) = mn x 11. 定义 设*是集合 Z 中的二元运算, (1)若有一元素 el Z,对任一 x Z 有 el*x=x；则称 el 为 Z 中对于*的左幺元(左单位元素)； (2)若有一元素 er Z,对任一 x Z 有 x* er=x；则称 er 为 Z 中对于*的右幺元（右单元元素）。 12. 定义 若 el 和 er 分别是 Z 中对于*的左幺元和右幺元,则对于每一个 x Z，可有 el= er = e 和 e*x=x* e=x，则称 e 为 Z 中关于运算* 的幺元，且 e Z 是唯一的。 13. 定义 设*是对集合 Z 中的二元运算， （1）若有一元素θl Z，且对每一个 x Z 有 θl *x= θl ，则称θl 为 Z 中对于*的左零元； （2）若有一元素θr Z，且对每一个 x Z 有 x* θr= θr ，则称θr 为 Z 中对于*的右零元。 14. 定义 设*是 Z 中的二元运算，且 Z 中含幺元 e，令 x Z， （1）若存在一 xlZ，能使 xl *x= e，则称 xL 是 x 的左逆元,并且称 x 是左可逆的； （2）若存在一 xr Z，能使 x* xr = e，则称 xr 是 x 的右逆元，并且称 x 是右可逆的； （3）若元素 x 既是左可逆的，又是右可逆的，则称 x 是可逆的，且 x 的逆元用 −1 x 表示。 定理 设 Z 是集合，并含有幺元 e 。*是定义在 Z 上的一个二元运算，并且是可结合的。若 x Z 是 可逆的，则它的左逆元等于右逆元，且逆元是唯一的。 例 10.7 (§10.1) 二、代数系统（25 分钟） 定义 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1,f2,.,fk组成的系统称为代数系统，简称代数， 记作。 例 2： , , 均为代数系统 三、课堂小结（约 5 分钟）