第四章 随机变量的数字特征 §2方差 §2方差 在实际问题中常关心随机变量与均值的 偏离程度，可用EX-EX,但不方便；所以 通常用E(X-EX)2来度量随机变量X与其均 值EX的偏离程度。 1、定义 设X是随机变量，若E(X-EX)?存在，称其 为随机变量X的方差，记作DX,Var(X,即： DX=VAr(X)=E(X-EX)2。VDX称为标准差 DX=E(X-EXP-∑(-EXP·P’ 离散型。 DX=∫(x-EX)fx, 连续型。 合】返回主目录
§2 方差 1、定义 在实际问题中常关心随机变量与均值的 偏离程度，可用 E|X-EX|，但不方便；所以 通常用 2 E(X − EX ) 来度量随机变量 X 与其均 值 EX 的偏离程度。 设 X 是随机变量，若 2 E(X − EX) 存在，称其 为随机变量 X 的方差，记作 DX，Var(X)，即： DX=Var(X)= 2 E(X − EX) 。 DX 称为标准差。 §2 方差 = = − = − 1 2 2 ( ) ( ) i i EX pi DX E X EX x ， 离散型。 − DX = (x − EX) f (x)dx 2 ， 连续型。 第四章 随机变量的数字特征 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 注：方差描述了随机变量的取值与其 §2方差 均值的偏离程度。 方差也可由下面公式求得： DX=EX,-(EX)为 亚飷 DX=E(X-EX), =E(区，-(6EX)X+(EX)5） =EX,-(6EX)EX+(EX)为 =EX,-5(EX)为+(EX) =EX,-(EX)为 合】返回主目录
§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 ( ) 2 2 DX = EX − EX 证明：( ) 2 DX = E X − EX ( ( ) ( ) ) 2 2 = E X − 2EX X + EX ( ) ( ) 2 2 = EX − 2EX EX + EX ( ) ( ) 2 2 2 = EX − 2 EX + EX ( ) 2 2 = EX − EX 方差也可由下面公式求得： 注：方差描述了随机变量的取值与其 均值的偏离程度。 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §2方差 例13 由’了￥斟平邶]的斟平业本甲上肇总 X:由平中的业激： 人：了平中的业熟 X 8 9 10 P 0.3 0.2 0.5 Y 8 9 10 P 0.2 0.4 0.4 回邮一↓Y的斟平K本女豐5 合】返回主目录
§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数； 试问哪一个人的射击水平较高？ 例13 X 8 9 10 P 0.3 0.2 0.5 Y 8 9 10 P 0.2 0.4 0.4 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §2方差 例13（续） 时： R￥丫的羽业 由的本羽业熟卫 EX=8×03+ò×0下+0×02=∂下 (业) 了的丛羽业熟羽 EX=8×05+ò×0寸+J0×0寸=∂5（业） 的·恒￥V丫平业熟的卫美出沪 屈吓M本问比下皇·由了鲤Y的朗平k本晋一怯 合返回主目录
§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 解：比较两个人的平均环数． 甲的平均环数为 EX =80.3+90.2+100.5 = 9.2 (环) 乙的平均环数为 EY =80.2+90.4+100.4 = 9.2 (环) 的，但两个人射击环数的方差分别为 因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样 例13（续） 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §2方差 例13（续） DX=(8-∂5)，×03+（⊙-ò5）为×0灯+(0-∂5)，×02 =0Je Dk=(8-∂5)为×0丁+(6-∂5)为×0寸+(0-∂5)5×0寸 =0Q5寸 甲王D人<DX 区￥的的脾平水本陆罩 合】返回主目录
§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 (8 9.2) 0.3 (9 9.2) 0.2 (10 9.2) 0.5 2 2 2 DX = − + − + − = 0.76 (8 9.2) 0.2 (9 9.2) 0.4 (10 9.2) 0.4 2 2 2 DY = − + − + − = 0.624 由于DY DX， 这表明乙的射击水平比甲稳定． 例13（续） 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 2、方差的性质 DX =E(X-EX)2 §2方差 1)DX≥0，若C是常数，则DC=0 2)D(CX)-C2DX 3)D(ax +by)=a'DX +b'DY +2abE(X-EX)(Y-EY), a,b是常数。若X,Y独立， 则D(aX+bY)=a2DX+b2DY 证：D(aX+bY)=ELaX+bY-E(aX+bY]2 E[a(X-EX)+b(Y-EY)2 =E[a2(X-EX)2]+E[b2(Y-EY)2] +2E[ab(X-EX(Y-EY)] a'DX+b'DY+2abE(X-EX)(Y-EY)
2、方差的性质 1) DX0，若 C 是常数，则 DC=0 2) D CX C DX 2 ( ) = §2 方差 第四章 随机变量的数字特征 3) ( ) 2 ( )( ) 2 2 D a X + b Y = a DX + b DY + abE X − EX Y − EY ， a，b 是常数。若 X，Y 独立， 则D a X b Y a DX b DY 2 2 ( + ) = + 2 [ ( )( )] [ ( ) ] [ ( ) ] 2 2 2 2 E ab X EX Y EY E a X EX E b Y EY + − − = − + − 2 2 [ ( ) ( )] ( ) [ ( )] E a X EX b Y EY D aX bY E aX bY E aX bY = − + − 证： + = + − + 2 ( )( ) 2 2 = a DX + b DY + abE X − EX Y − EY 2 DX = E(X − EX)
第四章 随机变量的数字特征 §2方差 若X,Y独立，则 E(X-EX)(Y-EY)=E (X-EX)E (Y-EY)-0 故： D(ax +by)=a'DX +b2DY +2abE(X-EX)(Y-EY), -aDX+62DY 4)DX=0>P{X=C}=1,c=EX 注： 令，Y=(X-EX)/DX则EY=0,DY=1。 称Y是随机变量X的标准化了的随机变量。 合】返回主目录
4) DX=0 P{X=c}=1，c=EX §2 方差 第四章 随机变量的数字特征 a DX b DY 2 2 = + 若X,Y独立，则 E(X-EX)(Y-EY)=E (X-EX)E (Y-EY)=0 故： ( ) 2 ( )( ) 2 2 D a X + b Y = a DX + b DY + abE X − EX Y − EY ， 注： 令， 则 EY=0,DY=1。 称Y是随机变量X的标准化了的随机变量。 Y = (X − EX )/ DX 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 例14 §2方差 设X,Y~U[O,1],且相互独立。求：E|X-Y,D|X-Y 解： fx(x)=10<x<1,fy(y)=10<y<1, f(x,y)=10<x<1,0<y<1. 0 1 合】返回主目录
§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 例 14 设X,Y ~ U[0,1]，且相互独立。求： E | X −Y |, D | X −Y | 解： x y 0 1 1 ( , ) 1 0 1, 0 1. ( ) 1 0 1, ( ) 1 0 1, = = = f x y x y f x x f y y X Y 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 例14续 §2方差 E-rJIx-yIf(x.dhy-1x-yl -00-00 00 =∫∫x-+∫yoy-xs -2j-w= 1 -)dx 3 DX-Y=EX-Y-(EX-Y)2 先求： ExYP-f Six-yP Fs.ydxdy-jjix-yP dxdbv 0 -00-00 00 合】返回主目录
§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 例 14续 = − 1 0 0 2 ( ) x dx x y dy = − 1 0 2 2 ) 2 2 ( dx x x 3 1 = 2 2 D X −Y = E X −Y − (E X −Y ) 先求： − = 2 E X Y − = − = − − − 1 0 1 0 E | X Y | | x y | f (x, y)dxdy | x y | dxdy = − + − 1 0 1 0 0 0 ( ) ( ) x y d x x y d y d y y x d x x y 0 y = x 1 1 − = − − | x y | f (x, y)dxdy 2 − 1 0 1 0 2 | x y | dxdy 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 例14（续） §2方差 -x-yid-2 00 则： DX-Y=EX-Y-(EX-Y)2 思考题：若X~N(4,o2),Y~N(4,o2),且它们独立， 求：E|X-Y,D|X-YI 合】返回主目录
§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 例 14（续） 6 1 ( 2 ) 1 0 1 0 2 2 = − + = x xy y dxdy 2 2 D X −Y = E X −Y − (E X −Y ) 则： 18 1 ) 3 1 ( 6 1 2 = − = 思考题：若 X ~ N(, 2 ),Y ~ N(, 2 ),且它们独立， 求：E | X −Y |, D | X −Y | = − 1 0 1 0 2 (x y) dxdy 返回主目录