第四章 随机变量的数字特征 §4.协方差及相关系数 §4协方差 1、定义 COV(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY 为随机变量X,Y的协方差.而COV(X,X)=DX. COV(X,Y) PX灯= √Dx.√D亚为随机变量X,Y的相关系数。 Pw是一个无量纲的量；若Pw=O, 称XY不相关，此时COV(X,Y)=0。 定理：若X,Y独立，则区，Y不相关。 证明：由数学期望的性质有 E(X-EX)(Y-EY)=EX-EX)E(Y-EY) 又E(X-EX=0,E(Y-EY)=0 所以E(X-EXY-EY)=0。 [合】返回主目录 即 COVX,Y=0
§4.协方差及相关系数 §4 协方差 第四章 随机变量的数字特征 1、定义 XY 是一个无量纲的量；若 XY =0， 称 X,Y 不相关,此时 COV(X,Y)=0。 定理：若X，Y独立，则X,Y不相关。 证明：由数学期望的性质有 E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY) 又 E(X-EX)=0, E(Y-EY)=0 所以 E(X-EX)(Y-EY)=0。 即 COV(X,Y)=0 称COV(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY 为随机变量X,Y的协方差. 而 COV(X,X)=DX. DX DY 为随机变量X,Y的相关系数。 COV X Y XY . ( , ) = 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §4协方差 注意：若E(X-EX)Y-EY)≠0，即EXY-EXEY0,则 X,Y一定相关，且X,Y一定不独立。 2、协方差的性质 1)COVX,Y)-COV(Y,X); 2)COV(aX,bY)-abCOVX,Y); 3)COVX+YZ-COVX,Z)+COV(YZ) 4)若X,Y不相关，则：EXY=EXEY,D(aX+bY)=a2Dx+bDY 由方差的性质3)知： D(ax+bY)=a2DX+b2DY+2abCOV(X,Y) 合】返回主目录
2、协方差的性质 1) COV(X,Y)=COV(Y,X); 2) COV(aX，bY)=abCOV(X,Y); 3) COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z); 4) 若 X,Y 不相关，则：EXY=EXEY, D(aX+bY)=a DX b DY 2 2 + 第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 由方差的性质３）知： 注意：若E(X-EX)(Y-EY) 0, 即EXY-EXEY 0， 则 X，Y一定相关，且X，Y一定不独立。 D(aX+bY)= 2 ( , ) 2 2 a DX + b DY + abCOV X Y 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §4协方差 3、相关系数的性质 1)Pxx≤1. 2)pw=1台存在常数a,b使P{Y=a+bX)=1. 证明： 令：e=E[Y-(a+bX]2 EY2+b2EX2+a2-2aEY-2bEXY+2abEx 求a,b使e达到最小 d e =2a+26EX-2EY =0 令 a be ab =26EX2-2EXY+2aEX =0 将a=EY-bEX,代入第二个方程得 bEX2-EXY+(EY-bEX)EX =0,b= EXY-EXEY EX2-(EX)2
3、相关系数的性质 1) 1. XY 2) XY = 1存在常数 a,b 使 P{Y=a+bX}=1. 证明： EY b EX a aEY bEXY abEX e E Y a bX 2 2 2 [ ( )] 2 2 2 2 2 = + + − − + 令： = − + 求 a,b 使 e达到最小 第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 令 = − + = = + − = 2 2 2 0 2 2 2 0 2 bEX EXY aEX b e a bEX EY a e 将 a = EY − bEX , 代入第二个方程得 2 2 2 ( ) ( ) 0, EX EX EXY EXEY bEX EXY EY bEX EX b − − − + − = 故 =
第四章 随机变量的数字特征 §4协方差 6 COV(X,Y). 解得 DX ao EY-bEX EY-EX. COV(X,Y) DX min EIY-(a+bx)=ETY-( -E(Y-EY+Ex COv(X.Y)-_X.COV(X,Y) DX DX =E((Y-EY)-(X-EX). Ov(X,) DX -DYx.co(x-2cov(x)Cov(x. (DX)2 DX DY+ COV(X,Y) -2COV2(X,) DX DX 合】返回主目录
解得 DX COV X Y a EY b EX EY EX DX COV X Y b ( , ) ; ( , ) 0 0 0 = − = − = − + = 2 , min E[Y (a bX)] a b 2 0 0 E[Y − (a + b X )] 2 ) ( , ) ( , ) ( DX COV X Y X DX COV X Y = E Y − EY + EX − 2 ) ( , ) (( ) ( ) DX COV X Y = E Y − EY − X − EX 第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 DX COV X Y DX COV X Y DY ( , ) 2 ( , ) 2 2 = + − DX COV X Y COV X Y DX COV X Y DY DX ( , ) 2 ( , ) ( ) ( , ) 2 2 = + − 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 DY COr2K,=DY-p,DY·DY =(1-Piy)DY DX DX 即：minE[Y-(a+bX)]2=(1-p)DY ab 由上式得 1)1-p3x20,pw1。 2)若p=1,则E[Y-(a,+bX)P=0。 从而D[Y-(a+b,X】+(EY-(a,+bX】)2=EY-(a+b,X]'=0 所以DIY-(a+bX】=0,EY-(a+bX】=0 故P{Y-（a+bX)=0}=1. 即 P{Y=a+bX}=1。 合】返回主目录
即： − + = 2 , min E[Y (a bX)] a b (1 XY )DY 2 − DX DX DY DY XY = − 2 = (1 X Y )DY 2 − 由上式得: 1) １－ 0, 1 2 XY XY 。 2) 若 = 1, X Y 则 [ ( )] 0 2 E Y − a0 + b0 X = 。 第四章 随机变量的数字特征 从而D[Y − (a0 + b0 X )] + − + = 2 0 0 (E[Y (a b X)] ) [ ( )] 0 2 E Y − a0 + b0 X = 所以 [ ( )] 0, D Y − a0 + b0 X = E[Y − (a0 + b0 X )] = 0 故 P{Y－（a0 + b0 X ) = 0 }=1. 即 P{Y＝a0 + b0 X }=1。 DX COV X Y DY ( , ) 2 = − 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 反之，若存在a,b使PY=a+bX}=1,则 P{Y-(a+b*X)=0}=1, 故[Y-(a*+b*X)]2=0而 0=E[Y-(a'+b'x)]2 min E[Y-(a+bx)2=(1-piy)DY 则1-p=0,Pw=1。 说明 粗关兰新晋肇迎惧企雪X己人今杆关芝嫠墨食的雪 宗6x=J叫·X户人S回率坚平昊稀师关： 泉6x抑联亚士04·X户人S回购解F关芝辄盟： 宗6x=04·X已人>回业基年译F关当（业相关） X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系
反之，若存在 a ,b 使 P{Y＝a b X + }=1，则 P{Y－（a b X + ）＝０}=1， 故 [ ( )] 0 2 − + = E Y a b X 而 = − + 2 0 E[Y (a b X)] − + = 2 , min E[Y (a b X)] a b (1 X Y )DY 2 − 则 1 0, 1 2 − XY = XY = 。 第四章 随机变量的数字特征 说 明 当 X， Y =1时，X 与Y 之间以概率1存在着线性关系； 相关系数是表征随机变 量 X 与Y 之间线性关系紧密程度 的量． 当 X， Y 越接近于0时，X 与Y 之间的线性关系越弱； 当 X， Y =0时，X 与Y 之间不存在线性关系(不相关)． X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系
第四章 随机变量的数字特征 5、例子 §4协方差 G0△(X人)=PS 任X人旨二源企雪·日DX=D人=寸 =X-下=下X-人 张：b山. D尽=D(X-5X)=DX+DX-寸c0A(X:) =丁+寸×寸一寸×丁=J3 D=D(5X-)=X+DX-COA(X') =寸×丁+寸一寸×】=寸 [合】返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 解：( ， ) ，记 设 ， 是二个随机变量，已知 ， ， cov 1 1 4 = = = X Y X Y DX DY = X −2Y， = 2X −Y 试求：， ． D = D(X −2Y) = DX + 4DY −4cov(X，Y) =1+ 44 − 41 =13 D = D(2X −Y) = 4DX + DY −4cov(X，Y) = 41+ 4 − 41 = 4 5、例子 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §4协方差 G0A(食：)=c0A(X-5X:5X-) =丁cOA(XX)-寸cOA(X)-cOA(X)+丁cOA(:) =5DX-2CO(X)+SDA =下×丁-2×灯+下×寸 =2 兴 6·=1DD 1=31世= se CO) 2 213 合 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 cov(，)= cov(X −2Y， 2X −Y) = 2cov(X， X)−4cov(Y， X)−cov(X，Y)+2cov(Y，Y) = 2DX −5cov(X，Y)+ 2DY = 21−51+24 = 5 所以， ( ) D D ， ， cov = 13 4 5 = 26 5 13 = 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 设XY)服从二维正态分布，求： Px §4协方差 c-42_24-46-2+y-2} 012 2 由然知：心a，0a EX=t,DX =Oi,EY=M2,DY =02, Cor(x.Y)=5J(x-m)y-i2)f(x.y)dbxdy _x-4)2 合返回主目录
设(X,Y)服从二维正态分布，求： XY 由上述知： 2 1 2 1 2 ( ) 2 1 1 ( ) − − = x X f x e ， 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( ) − − = y Y f y e − − Cov(X,Y) = (x − )( y − ) f (x, y)dxdy 1 2 , , , , 2 2 2 2 EX = 1 DX = 1 EY = DY = − − − − − − − − − − − − = x y e e dydx x y x 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 [ ] 2(1 ) 1 2 ( ) 1 2 2 1 2 ( )( ) 2 1 1 第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 ( ) ( ) ( )( ) ( ) − + − − − − − − − = 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 exp 2 1 1 2 2 1 x x y y f x， y 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §4协方差 令t= VI-P 02 1 x-41=o14,y-h2=(tW1-p2+p)o2 则 at at Ox dy J= 1-p2 Bu Qu 1 0 ax ay =(- 102V1-p )=-002V1-p2 合】返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 令 [ ] 1 1 1 1 2 2 2 − − − − = y x t ， 1 1 − = x u ， 2 1 2 1 2 1 2 ) 1 1 1 ( = − − − = − − 1 1 2 2 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 − − − − − = = y u x u y t x t J 2 2 1 1 2 则 x − = u , y − = (t 1− + u) 返回主目录