离散数学教案 编号：C1201 课时安排： 2学时 牧学课型：理论课) 实验课口习题课口实践课口其它口 题目（教学章、节或主题）： Ch12环与域 §12.1环的定义与性质 §12.2整环与域 教学目的要求（分掌握、熟悉、 了解三个层次) 1. 理解环、整环、域的定义 2。掌握环的性质 教学重点、难点： 1)重点：环的定义与性质 2)难点：域的概念 教学方法： 利用黑板，CAI课件等教学 教学用具： 黑板，CAI课件及其辅助设备 教学内容（注明：◆重点 #难点 ?疑点) 一、概念(20分钟) 1.定义设是代数系统R为集合，+，·为二元运算如果 (1)为阿贝尔群 2)为半群 (3)乘法对加法+适合分配律 则称是环 例1，和都是环+和表示普通加法和乘法 是环，其中Mh(R)是n阶实矩阵的集合，+，分别是矩阵加法和乘法 2A田，⊙>是模n的整数环，其中ZA=01,.A-1,和⊙分别表示模n的加法和乘法 即Xy∈Zn有x⊕y=(x+y)modn x⊙y=(y)modn 二、性质(25分钟) 定理 设是环，则 (1)Va∈R,a0=0a=0. (2)Va,bER,(-a)b=a(-b)=-(ab). (3)Va.bER.(-a)(-b)=ab. (4ab,c∈Rab-c=abac (b-c)a=ba-ca 例4设是环，a,b∈R计算(a-b)2和(a+b)3 1201
1201 离 散 数 学 教 案 编号：C1201 课时安排： 2 学时 教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 其它□ 题目（教学章、节或主题）： Ch12 环与域 §12.1 环的定义与性质 §12.2 整环与域 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1. 理解环、整环、域的定义 2. 掌握环的性质 教学重点、难点： 1）重点：环的定义与性质 2）难点：域的概念 教学方法: 利用黑板,CAI 课件等教学. 教学用具: 黑板,CAI 课件及其辅助设备. 教学内容（注明：* 重点 # 难点 ？疑点）： *一、概念（20 分钟） 1. 定义 设是代数系统,R 为集合,+,·为二元运算,如果 (1)为阿贝尔群, (2)为半群, (3)乘法·对加法+适合分配律, 则称是环 例 1 ,和都是环,+和·表示普通加法和乘法. 是环,其中 Mn (R)是 n 阶实矩阵的集合,+,·分别是矩阵加法和乘法. 是模 n 的整数环,其中 Zn＝{0,1,.,n－1}, 和⊙分别表示模 n 的加法和乘法. 即x,y∈Zn 有 x y＝(x+y) mod n x⊙y＝(xy) mod n 二、 性质（25 分钟） 定理 设是环,则 (1) a∈R,a·0＝0·a＝0. (2) a,b∈R,(-a)b＝a(-b)＝-(ab). (3) a,b∈R,(-a)(-b)＝ab. (4) a,b,c∈R,a(b-c)=ab—ac, (b-c)a＝ba－ca 例 4 设是环, a,b∈R 计算(a-b) 2 和(a+b) 3
「三、整环与域(40分钟) 1.定义在环中，如果乘法适合交换律，则称R是交换环 如果对于乘法有么元则称R是含么环 为了区别含么环中加法么元和乘法么元，通常把加法么元记作0，乘法么元记作1，可以证明加 法么元0恰好是乘法的零元 例2,,,，是交换环吗它们是含么环吗？ 2.定义在环中，如果存在ab∈R,a≠0，b≠0，但ab=0,则称a为R中的左零因子，b为R中的 Va.bER.ab- 则称R为无零因子环 例3：中有2⊙3=0，但2和3都不是0.不是无零因子环是无零因子环 3.整环：若环是交换、含么和无罗因子的，则称R为整环 除环：若环至少含有2个元羞且是含么和无墨因子的，并且过a∈Ra≠0有a1∈R,则 称R为除环 域：若环既是整环，又是除环，则称R是域 四、课堂小结（约5分钟） 1202
1202 三、整环与域（40 分钟） 1．定义 在环中,如果乘法·适合交换律,则称 R 是交换环. 如果对于乘法有幺元,则称 R 是含幺环. 为了区别含幺环中加法幺元和乘法幺元,通常把加法幺元记作 0,乘法幺元记作 1.可以证明加 法幺元 0 恰好是乘法的零元. 例 2 ,,,, 是交换环吗?它们是含幺环吗? 2．定义 在环中,如果存在 a,b∈R,a≠0,b≠0,但 ab＝0,则称 a 为 R 中的左零因子,b 为 R 中的 右零因子.如果环 R 中既不含左零因子,也不含右零因子,即 a,b∈R, ab＝0a＝0 ∨b＝0, 则称 R 为无零因子环. 例 3: 中有 2⊙3＝0,但 2 和 3 都不是 0.不是无零因子环, 是无零因子环. 3．整环: 若环是交换、含幺和无零因子的,则称 R 为整环. 除环: 若环至少含有 2 个元素且是含幺和无零因子的,并且 a∈ R (a≠0)有 a-1∈ R ,则 称 R 为除环. 域: 若环既是整环,又是除环,则称 R 是域. 四、课堂小结（约 5 分钟）