福州大学：《离散数学》课程教学资源（教案讲义）第十一章 半群与群

离散数学教案 缩号.C1101 课时安排： 2学时 教学课型：理论课 实验课口习题课口实践课口其它口 题目（教学章、 节或主题)： Ch11半群与群 §11.1半群与独异点 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1.基本掌握半群、交换半群、独异点的定义： 2.掌握群的定义和 一些常见的群的例子： 教学重点、难点： 1)重点：半群、交换半群、独异点的定义 2)难点：半群、交换半群、独异点的定义 教学方法 利用黑板，CAI课件等教学 教学用具： 黑板，CAI课件及其辅助设备。 教学内容（注明：幸重点#难点？疑点）： 概念(60分钟) 1.定义设是一代数系统，S为非空集合，。是S上的二元运算，若 (1)。运算是封闭的。 (2)。运算满足结合律，则称为半群。 2.定义对于◆运算，拥有么元的半群称为含么半群。（又称拟群，么半群，独异点）。 例1 >均为含么半群 而就不为么半群 例2设S为非空集合，p(S)是S的幂集， 则,均为含么半群。而, 其中max(xl,x2)取二者之大值：,其中min(x1x2)取二者之小值，均不为么半群 3.定义设是一半群，TS,且+在T上是封闭的，那么也是半群。 *>是是一个含么半群，TS,且在T上是封闭的，则也是一个含么半群 称的子含么半群。 例3：半群是的子半群，而不是子含么半群。 二、性质及云算(25分钟) 半群 S,*>的载体S为有限集 则必有aeS,使a*aa 设是独异点，对于任意a,b∈S,且a,b均有逆元，则 a)(a-)-=a b)ab有逆元，且(ab)-bla- 三、课堂小结（约5分钟） 1101

1101 离 散 数 学 教 案 编号：C1101 课时安排： 2 学时 教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 其它□ 题目（教学章、节或主题）： Ch11 半群与群 §11.1 半群与独异点 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1. 基本掌握半群、交换半群、独异点的定义； 2. 掌握群的定义和一些常见的群的例子； 教学重点、难点： 1） 重点：半群、交换半群、独异点的定义 2） 难点：半群、交换半群、独异点的定义 教学方法: 利用黑板,CAI 课件等教学. 教学用具: 黑板,CAI 课件及其辅助设备. 教学内容（注明：* 重点 # 难点 ？疑点）： *一、概念（60 分钟） 1. 定义 设是一代数系统，S 为非空集合，  是 S 上的二元运算，若 (1)  运算是封闭的。 (2)  运算满足结合律，则称为半群。 2. 定义 对于*运算，拥有幺元的半群称为含幺半群。（又称拟群，幺半群，独异点）。 例 1 , 均为含幺半群， 而就不为幺半群 例 2 设 S 为非空集合， (S)是 S 的幂集， 则 ,均为含幺半群。而， 其中 max(x1,x2)取二者之大值；，其中 min(x1,x2)取二者之小值，均不为幺半群 3．定义 设是一半群，TS，且*在 T 上是封闭的，那么也是半群， 称是 的子半群。 4．定义 设是一个含幺半群，TS，且*在 T 上是封闭的，则也是一个含幺半群， 称是的子含幺半群。 例 3：半群是的子半群，而不是子含幺半群。 二、性质及运算 （25 分钟） 1．定理 如果半群的载体 S 为有限集，则必有 aS，使 a*a=a 2．定义 设是独异点，对于任意 a，bS，且 a， b 均有逆元，则 a) 1 1 ( ) − − a = a b) a*b 有逆元，且(a*b) −1 =b −1 *a −1 三、课堂小结（约 5 分钟）

离散数学教案 编号：C1102 课时安排： 2学时教学课型：理论课√实验课口习题课口实践课口其它口 题目（教学章、节或主题）： Chl1半群与群 §11.2群的定义与性质 6113子群 教学目的要求（分掌握、热悉、了解三个层次） 1.理解群、子群概念 2。掌握群的有关性质 教学重点、难点： 1)重点：群、子群定义及性质 2)难点：群、子群定义及性质 教学方法 利用黑板，CAI课件等教学 教学用具： 黑板，CAI课件及其辅助设备 教学内容（注明：*重点#难点 ?疑点)： 概念(65分钟 1.定义 是一代数系统，S是非空集合，◆为S上的二元运算，它满足以下四个条件时 则称为群 (1)*运算是封闭的： (2)◆运算是可结合的： (3)存在么元c (4)S中每一个元素均有逆元。 例1：，,等均为群（其中=0,1，Z=0,1,2}),而,只是含么 半群而不是群。 2.定义 设是一个群，如果G是有限集合，则称为有限群，并把G称为群的阶数 如果G为无限集合，则称为无限群 例2：为无限群，上例中为有限群，群的阶为M=-6。 概括地说：代数系统仅仅是具有一个封闭的二元运算的非空集合： 半群是一个具有结合运算的代数系统： 独异点是具有 元的半群： 群是每个元素都有逆元的独异点。 二、性质及运算(25分钟) 1,1)群具有半群和含么半群所具有的所有性质： 2)由于群中存在么元，在群的运算表中一定没有相同的行（和列） 3)在群中，每一个元素均存在逆元，所以群相对半群和含么半群来说有一些特殊的性质。 2. 定理若是一个群，则对任一abeG有： (1)存在唯一的元素x∈G,使a*x=b: 1102

1102 离 散 数 学 教 案 编号：C1102 课时安排： 2 学时 教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 其它□ 题目（教学章、节或主题）： Ch11 半群与群 §11.2 群的定义与性质 §11.3 子群 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1. 理解群、子群概念 2. 掌握群的有关性质 教学重点、难点： 1） 重点：群、子群定义及性质 2） 难点：群、子群定义及性质 教学方法: 利用黑板,CAI 课件等教学. 教学用具: 黑板,CAI 课件及其辅助设备. 教学内容（注明：* 重点 # 难点 ？疑点）： *一、概念（65 分钟） 1．定义 设是一代数系统，S 是非空集合，*为 S 上的二元运算，它满足以下四个条件时， 则称为群 （1）*运算是封闭的； （2） *运算是可结合的； （3）存在幺元 e； （4）S 中每一个元素均有逆元。 例 1：, ,等均为群（其中 Z2 ={0,1}, Z3 ={0,1,2} ），而,只是含幺 半群而不是群。 2．定义 设是一个群，如果 G 是有限集合，则称为有限群，并把|G|称为群的阶数， 如果 G 为无限集合，则称为无限群。 例 2：为无限群，上例中为有限群，群的阶为|M| =6。 概括地说：代数系统仅仅是具有一个封闭的二元运算的非空集合； 半群是一个具有结合运算的代数系统； 独异点是具有幺元的半群； 群是每个元素都有逆元的独异点。 二、性质及运算 （25 分钟） 1． 1）群具有半群和含幺半群所具有的所有性质； 2）由于群中存在幺元，∴在群的运算表中一定没有相同的行（和列） 3）在群中，每一个元素均存在逆元，所以群相对半群和含幺半群来说有一些特殊的性质。 2．定理 若是一个群，则对任一 a,bG 有： （1）存在唯一的元素 x G ，使 a * x= b；

(2)存在唯一的元素y∈G,使y◆ab 3.定理若是一个群，则对任一ab,ceG有： (1)a◆b=a*c一b=c(a是左可消去的)： (2)b◆a=c*a三b=c(a是右可消去的) 结论：在代数系统中，二元运算是可结合的，且a是可逆的，则a是可约的 此定理说明群满足消去律。 4.定理一个群中一定不存在零元。 5.定义代数系统中，如果存在aeG,有a*a=a,则称a为等幂元。 6.定理一个群中，除了么元之外，不存在其它等幂元素。 7.定义设S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。 8.定理群的运算表中的每一行或每一列都是G的元素的一个置换。 9.定义设是一个群，且SCG是一个非空集合。若S,*>满足下列三个条件， 则称是的子群： (1)e是的么元，且eeS: (保持么元) (2)对任 ,aeS一定有a-1S (保持逆元) (3)对任一abeS 一定有a*beS。 (运算的封闭性 讨论定义： (1)任一群至少可找到二个子群，即和<G,为了以示区别称此二子群为平凡子群 (2)除了平凡子群以外的子群称为的真子群。 例11.10(S11.2) 例11.11(s1.2) 三、课堂小结（约5分钟） 1103

1103 （2）存在唯一的元素 y G ，使 y * a= b。 3．定理 若是一个群，则对任一 a,b,cG 有： （1）a * b = a * c b = c（a 是左可消去的）； （2）b * a = c * a b = c（a 是右可消去的）。 结论：在代数系统中，二元运算是可结合的，且 a 是可逆的，则 a 是可约的。 此定理说明群满足消去律。 4．定理 一个群中一定不存在零元。 5．定义 代数系统中，如果存在 aG,有 a*a=a，则称 a 为等幂元。 6．定理 一个群中，除了幺元 e 之外，不存在其它等幂元素。 7．定义 设 S 是一个非空集合，从集合 S 到 S 的一个双射称为 S 的一个置换。 8．定理 群的运算表中的每一行或每一列都是 G 的元素的一个置换。 9．定义 设是一个群，且 SG 是一个非空集合。若满足下列三个条件， 则称是的子群： （1）e 是的幺元，且 eS； （保持幺元） （2）对任一 aS 一定有 a-1 S ； （保持逆元） （3）对任一 a,bS 一定有 a*bS 。 （运算的封闭性） 讨论定义： （1）任一群至少可找到二个子群，即和 ，为了以示区别称此二子群为平凡子群； （2）除了平凡子群以外的子群称为的真子群。 例 11.10 (§11.2) 例 11.11 (§11.2) 三、课堂小结（约 5 分钟）

离散数学教案 编号：C1103 课时安排： 2学时教学课型：理论课√实验课口习题课口实践课口其它口 题目（教学章、节或主题）： Ch11半群与群 §114陪集与拉格朗日定理 8115正期子群与商群 §11.6群的同态与同构 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1.了解子群的陪集的概念和性质 2.基本掌握拉格朗日定理， 3.了解正规子群和商群的概念 基本掌握群的同态和同构的概念 教学重点、难点： 1)重点：子群的陪集的概念和性质 2)难点：子群的陪集的概念和性质，拉格朗日定理，正规子群和商群的概念，群的同态和同构的概念 教学方法 利用黑板，CAI课件等教学 教学用具： 黑板，CAI课件及其辅助设备。 教学内容（注明：幸重点#难点？疑点片 *一、陪集与拉格朗日定理（约25分钟） L.定义由下面的等价关系~所决定的类叫做子群H的右陪集。包含元4的右陪集用符号H来表示 a~b,当而且只当abeH的时候Iaa=geH,a~a nabicH-→(aby-ba小eH,ab→ba I.ab-lEH,beH(ab)(bc)=acEH a~b,b~c=a~c 倒1G-=0,(12.(13(23.23.（32,H=2,那么 H1)={1),(12},H13=(13),(123)},H23={(23),(132)}, 2.定理一个子群H的右陪生的个数和左陪生的个数相等：它]或者都是无限大，或者都有限并日相等 引理一个子群H与H的每一个右陪集H之间都存在一个一一映射 3.定理假定H是一个有限群G的一个子群。那么H的阶？和它在G里的指数J都能整除G的阶N, 并且N对 4. 定理3一个有限群G的任一个元a的阶”都整除G的阶 二、正规子群与商群（约25分钟） 1.定义一个群G的一个子群N叫做一个不变子群或正规子群，假如Va∈G,都有a=aN。 例1群G的子群G和{e:总是G的不变子群。 1104

1104 离 散 数 学 教 案 编号：C1103 课时安排： 2 学时 教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 其它□ 题目（教学章、节或主题）： Ch11 半群与群 §11.4 陪集与拉格朗日定理 §11.5 正规子群与商群 §11.6 群的同态与同构 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1. 了解子群的陪集的概念和性质 2. 基本掌握拉格朗日定理， 3. 了解正规子群和商群的概念 4. 基本掌握群的同态和同构的概念 教学重点、难点： 1） 重点：子群的陪集的概念和性质 2） 难点：子群的陪集的概念和性质，拉格朗日定理，正规子群和商群的概念，群的同态和同构的概念 教学方法: 利用黑板,CAI 课件等教学. 教学用具: 黑板,CAI 课件及其辅助设备. 教学内容（注明：* 重点 # 难点 ？疑点）： *一、陪集与拉格朗日定理（约 25 分钟） 1. 定义 由下面的等价关系 所决定的类叫做子群 H 的右陪集。包含元 的右陪集用符号 H 来表示。 ，当而且只当 的时候 I. ， II. ， III. ， ， 例 1 G= ={(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，H＝{(1)，(12)}，那么 H(1)={(1)，(12)}， H(13)={(13)，(123)}， H(23)={(23)，(132)}， 2．定理 一个子群 H 的右陪集的个数和左陪集的个数相等：它们或者都是无限大，或者都有限并且相等。 引理 一个子群 H 与 H 的每一个右陪集 H 之间都存在一个一一映射。 3．定理 假定 H 是一个有限群 G 的一个子群。那么 H 的阶 和它在 G 里的指数 都能整除 G 的阶 N， 并且 N= 4． 定理 3 一个有限群 G 的任一个元 的阶 都整除 G 的阶。 二、正规子群与商群（约 25 分钟） 1． 定义 一个群 G 的一个子群 N 叫做一个不变子群(或正规子群)，假如 ，都有 。 例 1 群 G 的子群 G 和{e}总是 G 的不变子群

例2一个交换群G的每一个子群H都是不变子群。 例3G=。那么，N),(123),(132是一个不变子群 2.定理一个群G的一个子群N是一个不变子群的充分而且必要条件是 aNa1=N对于G的任意一个元a都对。 3. 定理一个群G的一个子群N是一个不变子群的充分而且必要条件是：a∈G,∈N→anaeN 4 定理一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说作成一个群 5.定义一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群叫做一个商群。这个群我们用符号G/N来表示 三、群的同态与同构（约35分钟） 1.定义设S1,*>和是半群，函数行S1→S2.若abS1,有fa*bf间h间， 则称f是到S2,>的半群同态。若是双射，则称r为半群同构。 2.定义设S1,*>和是群，函数S1→S2时同态映射，S1价x∈S1叫f的同态像。 Ker(0){Nx∈S1且fxe'}叫同态映射f的核。 3.定义设S1,*>和是群，函数后S1→S2。若a,bES1,有fa*bFf回·fb.则 称是到的群同态。若f是双射，则称r为群同构。 4.定义设和是群，函数fS1→S2时同态映射，S1=x∈S1)叫f的同态像 Ker(-{Nx∈S且fx-e')叫同态映射f的核 四、课堂小结（约5分钟） 1105

1105 例 2 一个交换群 G 的每一个子群 H 都是不变子群。 例 3 G= 。那么，N={(1)，(123)，(132)}是一个不变子群。 2． 定理 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子群的充分而且必要条件是： 对于 G 的任意一个元 都对。 3． 定理 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子群的充分而且必要条件是： 4． 定理 一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说作成一个群。 5。定义 一个群 G 的一个不变子群 N 的陪集所作成的群叫做一个商群。这个群我们用符号 来表示。 三、群的同态与同构（约 35 分钟） 1．定义 设和是半群，函数 f：S1 → S2。若  a，b∈S1，有 f (a  b)= f (a) • h (b)， 则称 f 是到的半群同态。若 f 是双射，则称 f 为半群同构。 2．定义设和是群，函数 f：S1 → S2 时同态映射，f(S1)={f(x)|x∈S1}叫 f 的同态像， Ker(f)={x| x∈S1 且 f(x)= e  } 叫同态映射 f 的核。 3．定义 设和是群，函数 f：S1 → S2。若  a，b∈S1，有 f (a  b)= f (a) • f (b)，则 称 f 是到的群同态。若 f 是双射，则称 f 为群同构。 4．定义 设和是群，函数 f：S1 → S2 时同态映射，f(S1)={f(x)|x∈S1}叫 f 的同态像， Ker(f)={x| x∈S1 且 f(x)= e  } 叫同态映射 f 的核。 四、课堂小结（约 5 分钟）

离散数学教案 编号：C1104 课时安排： 2学时教学课型：理论课√实验课口习题课口实践课口其它口 题目（教学章、节或主题）： Chl1半群与群 §11.7循环群和置换群 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1.理解循环群概念 2.理解置换群概念 教学重点、难点： 1)重点：循环群和置换群的概念，重要的循环群和置换群 2)难点：循环群和置换群的概念。 教学方法： 利用黑板，CAI课件等教学。 教学用具： 黑板，CA课件及其辅助设备 教学内容（注明：*重点#难点 ？疑点)： 、循环群概念(50分钟) 1定义如果群中运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群（或称为交换群）。 2.定理设是一个群， 是阿贝尔群的充分必要条件是对任一ab∈G有 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 3.定义设是一个群，【是整数集合，若存在一个元素gG,对于G中每一个 元素a都能表示成g"的形式(n∈I),则称是一个循环群，g称为群的生成元。 4.定理设是由g生成的循环群，若存在一个正整数m,使g"=心成立，则整数中最 小的m称为生成元g的周期，若不存在这样的m,则称周期为无穷大。 例1：(1)N,+>是一个群，生成元g=1 而g的周期为无穷大： (2)I为整数集合。“模m同余”是一个等价关系。 设：m=4,N4表示“模4同余”所产生的等价类的集合 [注]在循环群中，由生成元的周期分为有限循环群和无限循环群二类： 5.定理每一个循环群必然是阿贝尔群。 6.定理设是由元素gG生成的循环群，若是n阶的（即Gm),则g”=e,以致 G={gl,g2,.g”=e,而且n是能使g”=e的最小正整数。 二、置换群概念(35分钟) 1.定义设S={1,2,n},S上的任何双射函数o:S一S构成了S上n个元素的置换，称为n元置换 例2，S=12,3,令o.S- ，且有：(1)=2,o2=3,o31, 则c将1,2,3分别置换成2,31，此置换常被记为 1106

1106 离 散 数 学 教 案 编号：C1104 课时安排： 2 学时 教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 其它□ 题目（教学章、节或主题）： Ch11 半群与群 §11.7 循环群和置换群 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1. 理解循环群概念 2. 理解置换群概念 教学重点、难点： 1） 重点：循环群和置换群的概念，重要的循环群和置换群。 2） 难点：循环群和置换群的概念。 教学方法: 利用黑板,CAI 课件等教学. 教学用具: 黑板,CAI 课件及其辅助设备. 教学内容（注明：* 重点 # 难点 ？疑点）： *一、循环群概念（50 分钟） 1 定义 如果群中运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群（或称为交换群）。 2．定理 设是一个群， 是阿贝尔群的充分必要条件是对任一 a ,bG 有 (a*b)*(a*b) = (a*a)*(b*b)。 3．定义 设是一个群，I 是整数集合，若存在一个元素 gG，对于 G 中每一个 元素 a 都能表示成 g n 的形式（n  I），则称是一个循环群，g 称为群的生成元。 4．定理 设是由 g 生成的循环群，若存在一个正整数 m ，使 g m =e 成立，则整数中最 小的 m 称为生成元 g 的周期，若不存在这样的 m ，则称周期为无穷大。 例 1：（1）是一个群，生成元 g=1，而 g 的周期为无穷大； （2）I 为整数集合。“模 m 同余”是一个等价关系。 设：m=4，N4 表示“模 4 同余”所产生的等价类的集合 [注] 在循环群中，由生成元的周期分为有限循环群和无限循环群二类； 5．定理 每一个循环群必然是阿贝尔群。 6．定理 设是由元素 gG 生成的循环群，若是 n 阶的（即|G|=n），则 g n =e ，以致 G={g1 , g2 ,. g n = e} ，而且 n 是能使 g n = e 的最小正整数。 二、置换群概念 （35 分钟） 1．定义 设 S＝{1,2,,n},S 上的任何双射函数 :S→S 构成了 S 上 n 个元素的置换,称为 n 元置换. 例 2，S={1,2,3}，令 :S→S ，且有: (1)=2, (2)=3, (3)=1, 则  将 1,2,3 分别置换成 2,3,1,此置换常被记为

2.n个不同元素有nl种排列的方法，所以，S上有nl个置换 b)ab有逆元，且(ab)l-b1*a 3.对于n元置换也可以用不交的轮换之积来表示. )msn 那么的映射关系是 而其他的元素都有 a→a称t为m次轮换 任何n元置换都可表成不交的轮换之积. 4.n元对称群、n元置换群 ·设S={L,2n},S上的nl个置换构成集合S,其中恒等置换1s-(∈Sn.在Sn上规定二元运算，对于 任意n元置换o,t∈Sn,表示。与t的复合显然tPc也是S上的n元置换，所以，Sn对运算是封闭的 且是可结合的.任取Sn中的置换。，有 ·恒等置换Is(1)是Sn中的么元且c的逆置换 1= 就品。的元 即：Sn关于置换的复含枸成一个群，称之为S上的n元对称群 Sn的任何子群称为S上的n元置换群 例11.35（§1.7） 三、课堂小结（约5分钟） 1107

1107 2．n 个不同元素有 n!种排列的方法,所以,S 上有 n!个置换. b) a*b 有逆元，且(a*b) −1 =b −1 *a −1 3．对于 n 元置换也可以用不交的轮换之积来表示.=( ), mn 那么  的映射关系是 , 而其他的元素都有 a→a. 称  为 m 次轮换. 任何 n 元置换都可表成不交的轮换之积. 4．n 元对称群、 n 元置换群 ⚫ 设 S = {1,2,.n} ,S 上的 n!个置换构成集合 S,其中恒等置换 Is=(1)∈Sn．在 Sn 上规定二元运算,对于 任意 n 元置换 , ∈Sn, 表示  与  的复合.显然  也是 S 上的 n 元置换,所以,Sn 对运算是封闭的, 且是可结合的.任取 Sn 中的置换 ,有  Is= Is =  ⚫ 恒等置换 Is=(1)是 Sn 中的幺元且  的逆置换  −1 = 就是  的逆元。 即:Sn 关于置换的复含构成一个群,称之为 S 上的 n 元对称群. Sn 的任何子群称为 S 上的 n 元置换群. 例 11.35 (§11.7) 三、课堂小结（约 5 分钟）