末菲模型和特鲁德模型的区别在于:引入了泡利不相容原理,要求电子遵循费米一狄拉 克统计分布而不是经典的玻耳兹曼统计分布。本节着重讨论在量子理论基础上电子气的 基本特征。 521索末菲自由电子气模型 索末菲认为,在由若干金属原子聚集形成金属晶体时,原子实的周期排列构成了金 属晶体的晶格结构。与特鲁德模型相似,索末菲认为:价电子由于受原子实的束缚较弱, 而成为能在晶体内部自由运动的自由电子。索末菲进一步假定,在自由电子的运动过程 中,晶格周期场的影响可以忽略,电子间彼此无相互作用。因此可将一个复杂的强关联 的多体问题,转化为在平均势场中运动的单电子问题,在首先求得单电子的能级的基础 上,利用泡利不相容原理,将N个电子填充到这些能级中,获得N个电子的基态。这 种忽略电子一原子实相互作用以及电子一电子相互作用,只考虑一个电子在晶格平均场 和其它电子的平均场中运动的模型是索末菲自由电子气理论的基础 522单电子本征态和本征能量 考虑温度T=0,在体积V=L3内的N个自由电子的系统,在单电子近似下,电子的 运动状态用波函数w(r)描述,(r)满足的定态薛定谔(E. Schrodinger)方程为 [--V+V(rly(r=Ey(r (5.14) 其中r)是电子在金属中的势能,在单电子近似下,令(r)=0,E是电子的本征能量。 (5.14)可写作 Vy(r)=Ey(r) 方程(515)的解具有平面波的形式 () (5.16) 其中C是归一化常数,由于在整个金属体内找到电子的几率为1,所以 ∫wo)bt=1 (5.17) 可得C=高,(5.15)薛定谔方程的解(516)式可写成 ikr (5.18) 式中用以标记波函数的下标k是平面波的波矢。k的方向为平面波的传播方向,k 的大小与平面波的波长有如下关系末菲模型和特鲁德模型的区别在于：引入了泡利不相容原理，要求电子遵循费米—狄拉 克统计分布而不是经典的玻耳兹曼统计分布。本节着重讨论在量子理论基础上电子气的 基本特征。 5.2.1 索末菲自由电子气模型 索末菲认为，在由若干金属原子聚集形成金属晶体时，原子实的周期排列构成了金 属晶体的晶格结构。与特鲁德模型相似，索末菲认为：价电子由于受原子实的束缚较弱， 而成为能在晶体内部自由运动的自由电子。索末菲进一步假定，在自由电子的运动过程 中，晶格周期场的影响可以忽略，电子间彼此无相互作用。因此可将一个复杂的强关联 的多体问题，转化为在平均势场中运动的单电子问题，在首先求得单电子的能级的基础 上，利用泡利不相容原理，将 N 个电子填充到这些能级中，获得 N 个电子的基态。这 种忽略电子—原子实相互作用以及电子—电子相互作用，只考虑一个电子在晶格平均场 和其它电子的平均场中运动的模型是索末菲自由电子气理论的基础。 5.2.2 单电子本征态和本征能量 考虑温度T = 0，在体积V = L3 内的N个自由电子的系统，在单电子近似下，电子的 运动状态用波函数ψ(r)描述，ψ(r)满足的定态薛定谔（E.Schröduinger）方程为 )()()]( 2 [ 2 2 V Eψψ rrr me +∇− = h （5.14） 其中 V(r)是电子在金属中的势能，在单电子近似下，令 V(r) = 0，E 是电子的本征能量。 （5.14）可写作： )()( me =∇− ψψ rEr 2 2 2 h （5.15） 方程（5.15）的解具有平面波的形式： rk r ⋅ = i ψ )( Ce （5.16） 其中 C 是归一化常数，由于在整个金属体内找到电子的几率为 1，所以 1)( 2 = ∫ drr V ψ （5.17） 可得 V 1 C = ，（5.15）薛定谔方程的解（5.16）式可写成 rk k r ⋅ = i e V 1 ψ )( （5.18） 式中用以标记波函数的下标 k 是平面波的波矢。k 的方向为平面波的传播方向，k 的大小与平面波的波长有如下关系： 6